高等數(shù)學(xué)公式(自己整理)

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：2(tgx)'=secx(arcsinx)'=21-x2(ctgx)'=-cscx(secx)'=secxtgx(cscx)'=-cscxctgx(a)'=alna(logaxx(arccosx)'=-(arctgx)'=11+x21-x2x)'=1xlna(arcctgx)'=-11+x2基本積分表：tgxdxctgxdxsecaxa=-lncosx+C=lnsinx+Ccossindx2xx=seccsc2xdx=tgx+Cxdx=-ctgx+Cdx22xdx=lnsecx+tgx+Ccs

2、cxdx=lncscx-ctgx+Cdx2secxtgxdxcscxctgxdxax=secx+C=-cscx+C+C+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12ashxdxchxdx2=chx+C=shx+C=ln(x+x±a)+C2222a-x2=arcsin+Cdxx±a222In=sin02nxdx=cosxdx=nn-1naaa2In-2x+a)+Cx-axa+C2222x+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+22222222ln(x+lnx

3、+arcsin22+C2多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)為極大值2AC-B>0時(shí)，A>0,(x0,y0)為極小值2則：值A(chǔ)C-B<0時(shí)，無極AC-B2=0時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用：Df(x,y)dxdy=D'f(rcos,rsin)rdrdzz1+ + dxdyxy曲面z=f(x,y)的面積A=Dx平面薄片的重心：=MMx(x,y)d=D(x,y)dD,=MMy=DDy(x,y)d(x,y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：平面薄片（

4、位于Fx=f對(duì)于x軸Ix=Dy(x,y)d,對(duì)于y軸Iy=x(x,y)dxoy平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fy=f3D(x,y)xdD(x,y)ydFz=-fa3D(x,y)xd3(x+y+a)2(x+y+a)2(x+y+a)2222曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分）：x=(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t),則：y=(t)Lf(x,y)ds=x=t22f(t),(t)'(t)+'(t)dt(<)特殊情況：y=(t)第二類曲線積分（對(duì)坐設(shè)L的參數(shù)方程為標(biāo)的曲線積分）：x=(t)，則：

5、y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dyL=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)'(t)dt兩類曲線積分之間的關(guān)L上積分起止點(diǎn)處切向量格林公式：(D系：Pdx+Qdy=L(PcosL+Qcos)ds，其中和分別為的方向角。)dxdy=Qx-PyLPdx+Qdy格林公式：(DQx-Py)dxdy=12PdxL+QdyQP當(dāng)P=-y,Q=x-=2時(shí)，得到D的面積：A=xy·平面上曲線積分與路徑1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，·二元函數(shù)的全微分求積在QxPy注意方向相反?。?，且Qx無關(guān)的條

6、件：Ddxdy=xdyL-ydxPy。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常設(shè)(x0,y0)x0=y0=0。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1+q+q2+ +qn-1=1-qn1-q等差數(shù)列：1+2+3+ +n=調(diào)和級(jí)數(shù)：1+12+13+ +1n(n+1)n2是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：設(shè)：=limn<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂un，則>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散=1時(shí)，不確定<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散=1時(shí)，不確定散。2、比值審斂法：U設(shè)：=li

7、mn+1nnU3、定義法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的審斂法如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1+u2+u3+ +un+ 如果(2)收斂，則如果(2)發(fā)散，而調(diào)和級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)：(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)(1)收斂，則稱萊布尼茲定理：unun+1limu=0，那么級(jí)數(shù)收斂且其和nnsu1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnun+1。收斂級(jí)數(shù)；(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。n1nn發(fā)散，而收斂；(-1)n12p級(jí)數(shù)：1np時(shí)發(fā)散p>1時(shí)收斂冪

8、級(jí)數(shù)：1+x+x2+x3+ +xn+ x<1時(shí)，收斂于x1時(shí)，發(fā)散11-x對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全x<R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使x>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時(shí)不定0時(shí)，R=求收斂半徑的方法：設(shè)liman+1an=，其中an，an+1是(3)的系數(shù)，則1n=0時(shí)，R=+=+時(shí)，R=0函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：余項(xiàng)：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f''(x0)2!(x-x0)+ +2f(n)(x0)n!(x-x0)+n()(n

9、+1)!,f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的f''(0)2!2充要條件是：limRn=0nx0=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +f(n)(0)n!x+n一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：(1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x+ +n-12m(m-1) (m-n+1)n!x+ (-1<x<1)nsinx=x-3!+x5!- +(-1)x2n-1(2n-1)!+ (-<x<+)微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0：一階微分方程可以化為g(y)dy=f(x)dx的形式

10、，解法：可分離變量的微分方程g(y)dy=yxf(x)dx得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。程可以寫成dudx，u+dudxdydx=f(x,y)=(x,y)，即寫成dxx=duyx的函數(shù)，解法：yx代替u，齊次方程：一階微分方設(shè)u=，則dydx=u+x=(u)，(u)-u分離變量，積分后將即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dydx+P(x)y=Q(x)-P(x)dxy=Ce當(dāng)Q(x)=0時(shí),為齊次方程，當(dāng)Q(x)0時(shí)，為非齊次方程，2、貝努力方程：dydxy=(Q(x)enP(x)dxdx+C)e-P(x)dx+P(x)y=Q(x)y，(n0,1)全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：u(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的通解。u分方程，即：u=P(x,y)=Q(x,y) xy二階微分方程： dydx22+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)f(x)0時(shí)為齊次f(x)0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： (*)y''+py'+qy=0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：()r+pr+q=0