高中物理 磁場（三）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的臨界極值問題與

1、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的臨界極值問題與多解問題一、 帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界極值思維方法 物理系統(tǒng)由于某些原因而要發(fā)生突變時所處的狀態(tài)，叫做臨界狀態(tài)突變過程是從量變到質(zhì)變的過程，在臨界狀態(tài)的前后，系統(tǒng)服從不同的物理規(guī)律，按不同的規(guī)律變化。在高考試題中涉及的物理過程中常常出現(xiàn)隱含著一個或幾個臨界狀態(tài)，需要通過分析思考，運(yùn)用所學(xué)的知識和已有的能力去分析臨界條件，挖掘出臨界值，那么如何確定它們的臨界條件？ 下面介紹三種尋找臨界點的兩種有效方法：1對稱思想帶電粒子垂直射入磁場后，將做勻速圓周運(yùn)動。分析粒子運(yùn)動，會發(fā)現(xiàn)它們具有對稱的特點，即：粒子的運(yùn)動軌跡關(guān)于入射點P與出射點Q的中垂線對稱，軌跡圓心

2、O位于對稱線上，入射速度、出射速度與PQ線間的夾角(也稱為弦切角)相等，并有 2t，如圖所示。應(yīng)用這一粒子運(yùn)動中的“對稱性”不僅可以輕松地畫出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡，對于某些臨界問題的求解也非常便捷?！镜淅咳鐖D所示，半徑r10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切；磁場B033T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的粒子；已知粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，則粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角及在磁場中運(yùn)動的最長時間t各多少？【審題指導(dǎo)】本題粒子速率一定，所以在

3、磁場中圓周運(yùn)動半徑一定，由于粒子從點O進(jìn)入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角不同，要使粒子在運(yùn)動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角最大，則必使粒子在磁場中運(yùn)動經(jīng)過的弦長最大，因而圓形磁場區(qū)域的直徑即為粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)過的最大弦，依此作出粒子的運(yùn)動軌跡進(jìn)行求解?！久麕燑c睛】當(dāng)速度一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間越長。2放縮法帶電粒子以任意速度沿特定方向射入勻強(qiáng)磁場時，它們將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，其軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v0越大，運(yùn)動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這樣的粒子源產(chǎn)生的粒子射

4、入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP上。由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類粒子運(yùn)動的臨界條件時，可以以入射點P為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問題迎刃而解，這種方法稱為“放縮法”。【典例】 如圖所示，寬度為d的勻強(qiáng)有界磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM和NN是磁場左右的兩條邊界線現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直射入磁場中，45°.要使粒子不能從右邊界NN射出，求粒子入射速率的最大值為多少？3平移法帶電粒子以一定速度沿任意方向射入勻強(qiáng)磁場時，它們將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，其軌跡半徑相同，若射入初速度為v0，則圓

5、周運(yùn)動半徑為Rmv0/(qB)，如圖所示。同時可發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源的粒子射入磁場后，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，圓心在以入射點P為圓心、半徑Rmv0/(qB)的圓(這個圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”)上。由此我們也可以得到一種確定臨界條件的方法：確定這類粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界條件時，可以將一半徑為Rmv0/(qB)的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“平移法”?！镜淅?如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B0.60 T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l16 cm處，有一個點狀的放射源S，它向各個

6、方向發(fā)射粒子，粒子的速率都是v3.0×106 m/s。已知粒子的電荷量與質(zhì)量之比5.0×107 C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度?！窘馕觥苛Ｗ訌腟點垂直磁場以一定大小的速度朝各個方向射入，在磁場中均沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，可求出它們的運(yùn)動軌跡半徑R，由qvBm，得R，代入數(shù)值得R10 cm，可見2R>l>R.由于朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，可先考查速度沿負(fù)y方向的粒子，其軌跡圓心在x軸上的A1點，將粒子運(yùn)動軌跡的圓心A1點開始，沿著“軌跡圓心圓”逆時針方向移動，如圖所示。 【答案】 20 cm【典例】 如圖所示

7、，S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OSL，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場； 若電子的發(fā)射速率為V0，要使電子一定能經(jīng)過點O，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？ 若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？ 若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？【審題指導(dǎo)】電子從點S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動，由于電子從點S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點S向與SO成

8、銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點O；由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡構(gòu)成繞S點旋轉(zhuǎn)的一動態(tài)圓，動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖所示，最低點為動態(tài)圓與MN相切時的交點，最高點為動態(tài)圓與MN相割，且SP2為直徑時P為最高點?！敬鸢浮恳娊馕觥久麕燑c睛】本題利用了動態(tài)園法尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。二、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界極值問題1. 有界磁場分布區(qū)域的臨界問題該類問題主要解決外界提供什么樣以及多大的磁場，使運(yùn)動電荷在有限的空間內(nèi)完成規(guī)定偏轉(zhuǎn)程度的要求，一

9、般求解磁場分布區(qū)域的最小面積，它在實際中的應(yīng)用就是磁約束。容易混淆點是：有界磁場的圓形區(qū)域與粒子運(yùn)動徑跡的圓弧。解決的方法就是加強(qiáng)有界磁場圓形區(qū)域與帶電粒子運(yùn)動徑跡所在圓的圓心以及半徑的對比。在涉及多個物理過程問題中，依據(jù)發(fā)生的實際物理場景，尋求不同過程中相銜接和聯(lián)系的物理量，采用遞推分析或者依據(jù)發(fā)生的階段，采用順承的方式針對不同階段進(jìn)行分析，依據(jù)不同的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行解決?！镜淅?一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。【審題指導(dǎo)】由題中條件求出粒子在磁場中作勻速圓

10、周運(yùn)動的半徑為一定，故作出粒子沿AB進(jìn)入磁場而從BC射出磁場的運(yùn)動軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實線圓所示?！镜淅咳鐖D所示，ABCD是邊長為a的正方形質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場. 不計重力，求：(1) 此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；(2) 此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積?！緦忣}指導(dǎo)】根據(jù)帶電粒子的電性和入射、出射方向，結(jié)合左手定則能否判定勻強(qiáng)磁場區(qū)

11、域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。坑蒀點入射的粒子的運(yùn)動軌跡，能否確定出粒子運(yùn)動的上邊界？取邊BC中點，畫出軌跡，以D為原點、DC為x軸、DA為y軸建立坐標(biāo)系，能否寫出P點的坐標(biāo)，你會有什么發(fā)現(xiàn)？【解析】 (1) 設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B. 令圓弧 是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場的作用力fBev0 ，應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。 圓弧 的圓心在CB邊或其延長線上依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，圓半徑為a ，按照牛頓定律有fm聯(lián)立得B 圖中，圓弧 的圓心為O，PQ垂直于BC邊，由式知，圓弧 的半徑仍為a，在以D為原點、

12、DC為x軸、AD為y軸的坐標(biāo)系中，P點的坐標(biāo)(x，y)為xasinya(aacos)acos這意味著，在范圍0內(nèi)，P點形成以D為圓心、a 為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周 和 所圍成的，其面積為S2(a2a2)a2.【答案】(1) 垂直于紙面向外 (2) a2【名師點睛】確定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的最小面積時，可將粒子運(yùn)動的邊界點的運(yùn)動軌跡用標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖，然后借助數(shù)學(xué)方法找出邊界的特點，最終由幾何方法求出面積2求解運(yùn)動電荷初始運(yùn)動條件的邊界臨界問題該類問題多指

13、運(yùn)動電荷以不同的運(yùn)動條件進(jìn)入限定的有界磁場區(qū)域，在有限的空間內(nèi)發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)，有可能是一個相對完整的勻速圓周運(yùn)動，也有可能是圓周運(yùn)動的一部分，對于后者往往要求在指定的區(qū)域射出，但由于初速度大小以及方向的差別，致使運(yùn)動電荷在不同的位置射出，因此也就存在著不同情況的邊界最值問題。因外界磁場空間范圍大小的限定，使運(yùn)動的初始條件有了相應(yīng)的限制，表現(xiàn)為在指定的范圍內(nèi)運(yùn)動確定運(yùn)動軌跡的圓心，求解對應(yīng)軌跡圓的幾何半徑，通過圓心角進(jìn)而表述臨界最值，這應(yīng)當(dāng)是解決該類問題的關(guān)鍵。（1）帶電粒子在“平行直線邊界磁場”中的運(yùn)動甲 乙 丙a. 圓心在磁場原邊界上（如圖甲） 速度較小時，作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出； 速度增加為

14、某臨界值時，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切； 速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出。b. 圓心在過入射點跟邊界垂直的直線上（如圖乙） 速度較小時，作圓周運(yùn)動通過射入點； 速度增加為某臨界值時，粒子作圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切； 速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出。c. 圓心在過入射點跟跟速度方向垂直的直線上（如圖丙） 速度較小時，作圓弧運(yùn)動后從原邊界飛出； 速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切； 速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出?！镜淅咳鐖D甲所示，真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成角

15、的速度V0垂直射入磁場中。要使粒子必能從EF射出，則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？【審題指導(dǎo)】如圖乙所示，當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何知識即可求解速度的臨界值；對于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可。由圖知粒子不可能從P點下方向射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點A進(jìn)入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域為PG，且由圖知: ?！敬鸢浮恳?/p>

16、解析【名師點睛】帶電粒子在磁場中以不同的速度運(yùn)動時，圓周運(yùn)動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運(yùn)用“放縮法”探索出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時關(guān)鍵尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。（2）帶電粒子在“矩形邊界磁場”中的運(yùn)動 a. 圓心在磁場原邊界上 速度較小時粒子作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出； 速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出； 速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動從對面邊界飛出。b. 圓心在過入射點跟速度方向垂直的直線上 速度較小時粒子做部分圓周運(yùn)動后從原邊界飛出； 速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛； 速

17、度較大時粒子做部分圓周運(yùn)動從右側(cè)面邊界飛出； 速度更大時粒子做部分圓周運(yùn)動從下側(cè)面邊界飛出。【典例1】 (多選) 如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點。一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0后剛好從c點射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是()A若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從cd邊射出磁場B若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ad邊射出磁場C若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0

18、，則它一定從bc邊射出磁場D若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是t0，則它一定從ab邊射出磁場【解析】 如圖所示，【答案】AC【典例】 如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)從ad邊的中點O處，以垂直磁場且跟ad邊成30°角的速度方向射入一帶電粒子。已知粒子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，ad邊長為l，不計粒子重力。求：(1) 若要粒子從ab邊上射出，則入射速度v0的范圍是多少？(2) 粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為多少？【解析】 帶電粒子在O點所受洛倫茲力方向垂直于v0，即圖中OO1方向，所有粒子的軌道圓心均應(yīng)在直線OO1上 因矩形區(qū)域abcd足夠

19、長，所以當(dāng)軌道與cd相切時，其半徑應(yīng)是所有從ab上射出的粒子中最大的，對應(yīng)粒子的速度也最大設(shè)上述切點為M，則該粒子軌道的圓心必在過M且與cd垂直的直線上 設(shè)軌道與cd相切的粒子，其軌道半徑為R1，由幾何關(guān)系可得R1sin30°R1解得R1l，由公式qvBmv2/R，得該軌道上粒子速度為v01. 對于從ab射出的、速度最小的粒子，其軌道應(yīng)與ab相切，設(shè)切點為N，圓心為O2，半徑為R2，則R2R2cos60°l，解得R2l，由qvBmv2/R可得v02.【答案】(1)<v0<(2)（3）帶電粒子在 “圓形邊界磁場”中的運(yùn)動a. 帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運(yùn)動【典例】 核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運(yùn)動的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖9-19所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強(qiáng)度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×C/，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度。試計算：（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度?！緦忣}指導(dǎo)】本題也屬于極值類