高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總習(xí)題八H

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1向量代數(shù)向量代數(shù) 1、向量、向量(自由向量自由向量)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示kajaiazyx ),(zyxaaa 222zyx ),(zyxr 設(shè)設(shè) r)cos,cos,(cos ),(1222zyxzyx 給定向量的模與方向角，給定向量的模與方向角，則則則則)cos,cos,(cos r ),(zyxr 2.一、向量及其線性運(yùn)算一、向量及其線性運(yùn)算 ar)(aaar 在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影 r第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)r)cos(ar 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則則 ba),(zzyyxxba

2、baba a ),(zyxaaa ，為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) 3.abab xxab yyabzzabzyxaaa,當(dāng)當(dāng)中為零，中為零，zyxbbb,中對(duì)應(yīng)中對(duì)應(yīng)的值也為零的值也為零. .),(111zyxA),(121212zzyyxx 212212212)()()(zzyyxx 對(duì)兩點(diǎn)對(duì)兩點(diǎn), ),(222zyxB BA BA與與4.到到x軸、到軸、到xOy面的距離分別為面的距離分別為,2121zy 1z),(111zyxA第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 31. 定義定義ba 二、數(shù)量積二、數(shù)量積(點(diǎn)積點(diǎn)積)小結(jié)小結(jié)2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零向量為兩個(gè)非零向量,則有則有 aa)

3、1(2aba,)2(0 baba 3. 運(yùn)算律運(yùn)算律 )(2( ba )( ba )(ba )3(cba )1(abba 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示zzyyxxbababa ba ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) babjrPb babaajrP ba題型題型求夾角、求投影、將?；癁閿?shù)量積、判求夾角、求投影、將?；癁閿?shù)量積、判斷向量垂直斷向量垂直 cbca ),cos(baba 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 41. 定義定義方向方向 :且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則 ba ),sin( baab與與 a , b 垂直，垂直，2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 則則aa )1(0 ba

4、,)2(0 baba4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式 bakji 3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2)(3)ab cba )(cbca ba )( )( ba )(ba ba )1(題型題型xayazaxbybzb求面積、求與兩向量同垂直的向量求面積、求與兩向量同垂直的向量三、向量積三、向量積(叉積叉積)小結(jié)小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5空間解析幾何空間解析幾何一、曲面一、曲面1. 1. 球球面面2. 2. 旋轉(zhuǎn)曲旋轉(zhuǎn)曲面面4. 4. 二次曲二次曲面面 2202020Rzzyyxx 0),(22 zyxf3. 3. 柱柱面面 0,zyF準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為母線平行母線平行x軸的柱面，軸的柱面，如旋

5、轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)雙曲面、圓錐面等如旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)雙曲面、圓錐面等00),( xzyF如橢圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面、平面等如橢圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面、平面等 . 橢球面橢球面 拋物面拋物面:1222222 czbyax(橢圓拋物面橢圓拋物面)同同號(hào)號(hào)、qpzqypx,2222 軸軸繞繞z 00, xzyf第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6 雙曲面雙曲面: 橢圓錐面橢圓錐面: (單葉雙曲面單葉雙曲面)2222byax 22cz 1 (雙葉雙曲面雙葉雙曲面)2222byax 22cz 1 22222zbyax 二、二、曲線曲線1. 1. 一般方

6、一般方程程2. 2. 參數(shù)方參數(shù)方程程3. 3. 在坐標(biāo)平面上的投影在坐標(biāo)平面上的投影. . . 0, 0, zyxGzyxF tzztyytxx 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7三、三、平面的方程平面的方程1. 1. 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程 0000 zzCyyBxxA2. 2. 一般式方程一般式方程0 DCzByAx3. 3. 截距式方程截距式方程 1 czbyax（特殊平面的系數(shù)特點(diǎn)）（特殊平面的系數(shù)特點(diǎn)）4. 4. 平面束方程平面束方程 022221111 DzCyBxADzCyBxA 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8四、四、直線的

7、方程直線的方程1. 1. 一般方程一般方程2. 2. 對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程 3. 3. 參數(shù)方程參數(shù)方程 pzznyymxx000 （m, n, p 中有零時(shí)的含義）中有零時(shí)的含義）ptzzntyymtxx 0000022221111 DzCyBxADzCyBxA第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9五、面面、線線、線面間的關(guān)系五、面面、線線、線面間的關(guān)系均轉(zhuǎn)化為均轉(zhuǎn)化為向量夾角余弦的絕對(duì)值向量夾角余弦的絕對(duì)值 cos222222212121212121CBACBACCBBAA cos222222212121212121pnmpnmppnnmm sin,3.,3.線面夾角

8、線面夾角1. 面面夾角面面夾角2， 線線夾角線線夾角 2121nnnn 2121ssss snsn 222222pnmCBACpBnAm 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 100212121 CCBBAA21/ 21212121DD CCBBAA21 重重合合與與21 21212121DDCCBBAA 重重合合或或21 、21/ 0212121 ppnnmm21/ LL212121ppnnmm 21LL 0 CpBnAm LpCnBmA /L內(nèi)內(nèi)在在或或 L重合重合或或21、LL第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)21ss 21/ ssns/ns 21nn 21/ nn2121

9、21CCBBAA 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11點(diǎn)點(diǎn) 到平面到平面 0000,zyxP0 DCzByAx的距離的距離六、六、點(diǎn)到平面、直線的距離點(diǎn)到平面、直線的距離),(0000zyxM到直線到直線的距離的距離pzznyymxx111 點(diǎn)點(diǎn)ssMMd 10 kji 2221pnm101010 zzyyxx pnm d 10nnPP 222000CBADCzByAx 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12P416. 6解解故在故在xOy面上的投影為面上的投影為故在故在xOz面上的投影為面上的投影為同理在同理在yOz面上的投影為面上的投影為 .(3) (2) ,sin(

10、1) ,cos 程程投投影影曲曲線線的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方在在三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的求求螺螺旋旋線線 bzayax, 0,222 zayx, 0,cos ybzax0sin xbzay由由(1)、(2)得：得：,222ayx 由由(1)、(3)得：得：,cosbzax 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 13解解|a|b 23 22|ba 22|2|bbaa 1 ),cos(babaP51.7的夾角。的夾角。與向量與向量求向量求向量設(shè)設(shè)babababa ,6),( , 1 , 3 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 72 1.求向量與向量夾角用數(shù)量積求向量與向量夾角用數(shù)量

11、積,類(lèi)似有類(lèi)似有8、9題題2.向量的?？苫癁閿?shù)量積向量的?？苫癁閿?shù)量積)()(baba 7 22|2|bbaa )()(|bababa 講講7、10、11、16、17 )()(baba2 |ba),cos( ba bababababa )()(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 14P51.8).,(,274,573 bababababa求求設(shè)設(shè)解解 0)27)(4( , 0)57)(3( babababa 0|830|70|1516|72222bbaabbaababa 2|2122 bababa3),( babab 22baa 22式，得：式，得：將之代入方程組中任一將之代入方程組中任一兩式相減：

12、兩式相減：22346bba 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 |),cos(bababa 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15P51.9.,),(,), 1, 1(),2, 1, 2( 并并求求此此最最小小值值最最小小為為何何值值時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn)設(shè)設(shè) bazzba解解)(2321|),cos(2 zfzzbababa 0)2(34)(32 zzzf令令 的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)。是是得得zfz4 4),(4 最最小小，最最小小值值為為時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) baz是是減減函函數(shù)數(shù)，上上，由由于于在在 cos0 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1

13、6P51.10積。積。為邊的平行四邊形的面為邊的平行四邊形的面求以求以設(shè)設(shè)babababa3,2,6),( , 3, 4 解解bbabbaaa 623ba 5)3()2(babaS 6sin345 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 1.求面積用向量積的模求面積用向量積的模,類(lèi)似有類(lèi)似有18題題2.向量積滿(mǎn)足反交換律向量積滿(mǎn)足反交換律講講7、10、11、16、17 )3()2(baba|5ba 30 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 17P51.11.,14Pr,),2, 1, 2(),3, 2, 1(),1, 3, 2( rrjbrarrcbac求求滿(mǎn)滿(mǎn)足足向向量量設(shè)設(shè) 解解321132 kjibar 設(shè)

14、設(shè)ccr 2 )2,10,14( r3)2514( ,brar 而而第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 求與兩向量垂直的量用叉乘求與兩向量垂直的量用叉乘投影可用數(shù)量積表示投影可用數(shù)量積表示講講7、10、11、16、17ccba )( rjcPr bakji 5714 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 18P51.12解解 kikjiba364322310)( cba共面共面、cba bkakc21設(shè)設(shè) 642123332212121kkkkkk1, 521 kk證證明明設(shè)設(shè)),6 ,12, 3(),4, 3, 2(),2 , 3 , 1( cba. ,cbacba表表示示和和并并用用共共面面、三三向向量量第

15、八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且與且與，和點(diǎn)和點(diǎn)，求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)3100003 xOyBA法法1 設(shè)所求平面的單位法向量為：設(shè)所求平面的單位法向量為：),(CBAn ,3 角角成成與與 kn213cos kn21 C1222 CBA626 B03326 zyx所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 0B An3CA ,61 (-3,0,1)B An0)1(326 zyx即：即：目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成

16、面成且與且與，和點(diǎn)和點(diǎn)，求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)3100003 xOyBA法法2設(shè)所求平面為：設(shè)所求平面為：,213cos knkn,2199322 bbb即即 , 13 zbyx第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 bbzybx333 263 b03326 zyx所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且與且與，和點(diǎn)和點(diǎn)，求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)3100003 xOyBA法法3 設(shè)所求平面的單位法向量為：設(shè)所求平面的單位法向量為：),(CBAn ,3 角角成成與與 kn213cos kn21 C則所求平

17、面的方程可設(shè)為：則所求平面的方程可設(shè)為：0 DCzByAx 1003222CBADCDA,61,21 AD626 B03326 zyx平面過(guò)平面過(guò) A, B 點(diǎn)點(diǎn)所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22P51.16 程程。的的垂垂線線，求求此此平平面面的的方方到到直直線線，并并通通過(guò)過(guò)從從點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)一一平平面面垂垂直直于于平平面面 001:111, 0 xzyLAzALBL的方向向量的方向向量 001xzy10 zyx解解第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 )1 , 1 , 0( s的的方方程程為為垂垂直直的的平

18、平面面且且與與過(guò)過(guò) LA0 zy即即 , 0111110 zyx),21,21, 0(B 求求得得所求平面的法向量所求平面的法向量)0 , 1 ,21( 所求平面方程為所求平面方程為0)1(2)1( yx012 yx即即kABn n講講7、10、11、16、17k先求點(diǎn)先求點(diǎn)B.) () ( nABk目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23的交點(diǎn)的交點(diǎn)的垂線與的垂線與到直線到直線設(shè)從點(diǎn)設(shè)從點(diǎn)L LA由由 001xzy0)1()1( zy),21,21, 0(B 求求得得說(shuō)明說(shuō)明第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 得得sABLB ,ALB求點(diǎn)求點(diǎn)B的坐標(biāo)也可用下面方法的坐標(biāo)也可用下面方法),(zyxB為為和和目

19、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24P51.17 相交的直線方程。相交的直線方程。又與直線又與直線且平行于平面且平行于平面，求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)21311:, 01043:,401 zyxLzyxA 解解 確確定定的的平平面面法法向向量量與與點(diǎn)點(diǎn)LA),1 , 4, 3(:2 n的的法法向向量量為為平平面面 所求直線的方向向量所求直線的方向向量1433410 kji所求直線的方程所求直線的方程為為28419161 zyxA L第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 B0skji3410 sBAsn 01 21nns430211 kji kji281916講講7、10、11、16、172n1n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

20、 25P51.18 的的面面積積最最小小。使使，軸軸上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)試試在在，已已知知點(diǎn)點(diǎn)ABCCzBA ,120,001 解解 kjzizzkjiACAB2)1(201121 ,00zC，設(shè)設(shè)2222)12(42121 zzzACABSABC524)51(55252122 zzz.51最最小小時(shí)時(shí)，ABCSz 所以當(dāng)所以當(dāng)?shù)诎苏驴偭?xí)題第八章總習(xí)題 ),1, 2, 1( AB), 0, 1(zAC 講講7、10、11、16、17目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 26P51. 20 0222 xyxO x y z 故立體在故立體在xOy面上的面上的投影為投影為即即xOy面的區(qū)域面的區(qū)域 1122 y

21、x第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 求錐面求錐面 與柱面與柱面 所圍立體在所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影三個(gè)坐標(biāo)面上的投影22yxz xz22 解解xzyxz2222 在在 中消去中消去z得：得：01)1(22 zyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27O x y z 0, 044224 zyzz故立體在故立體在yOz面上的面上的投影為投影為第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 O x y z xzyxz2222 在在 中消去中消去x得：得：00, 44)2(222 xzyzO x y z 022 yyxz在在 中消去中消去y得：得：xz 故立體在故立體在zOx面上的投影為面上的投影為 02yxzxxzyxz2222 在在 中消去中消去y得：得：xz22 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)