運(yùn)籌學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃ppt課件

1、第八章 動(dòng)態(tài)規(guī)劃多階段決策過程：是指這樣一類決策過程，它可以按時(shí)間分為假設(shè)干階段稱為時(shí)段，每一個(gè)階段都需求做出決策，以便在過程的最終階段得到最優(yōu)結(jié)局。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一個(gè)重要特點(diǎn)是利用所謂的“最優(yōu)化原理，將問題用函數(shù)方程來(lái)表示即遞推方程，然后利用方程遞推地進(jìn)展計(jì)算、求解。1一、最短道路問題最短道路問題：是指給定始點(diǎn)和終點(diǎn)，并且知由始點(diǎn)到終點(diǎn)的各種能夠的途徑，需求找出由始點(diǎn)到終點(diǎn)的最短道路。這里的最短道路可以是通常意義下的間隔，也可以是運(yùn)輸?shù)臅r(shí)間或運(yùn)輸費(fèi)用等等。2例由A到D地要鋪設(shè)一條煤氣管道。其中須經(jīng)過兩級(jí)中間站，第一級(jí)中間站分別為B1和B2，第二級(jí)中間站分別為C1、C2、C3。兩站之間有連線的就表

2、示可鋪設(shè)管道，沒有連線的就表示不能鋪設(shè)管道。連線中間的數(shù)字表示兩點(diǎn)間鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度，試確定一條由A點(diǎn)到D點(diǎn)的鋪設(shè)管道的最短道路。AB2B1C3C2C1D212331343413符號(hào)和概念A(yù)B2B1C3C2C1D21233134341n：表示由當(dāng)前的形狀到終點(diǎn)之間的階段數(shù)。：表示由當(dāng)前的形狀到終點(diǎn)之間的階段數(shù)。如由如由A點(diǎn)到點(diǎn)到D點(diǎn)點(diǎn)n=3；由；由B2到到D點(diǎn)點(diǎn)n=2等等。等等。n=3n=2n=14符號(hào)和概念A(yù)B2B1C3C2C1D21233134341s：表示當(dāng)前所處的位置，稱為形狀變量。：表示當(dāng)前所處的位置，稱為形狀變量。如如s可以是可以是A、B1、B2、C1、C2等等。等等。5符號(hào)和概念A(yù)

3、B2B1C3C2C1D21233134341Xn(s)：稱為決策變量，它表示由階段數(shù)為：稱為決策變量，它表示由階段數(shù)為n的某個(gè)形狀的某個(gè)形狀s演化到下一個(gè)階段的某個(gè)形狀，演化到下一個(gè)階段的某個(gè)形狀，決策者做出的一種選擇。決策者做出的一種選擇。如，如，X2(B1)表示已處于表示已處于B1形狀，還有形狀，還有2個(gè)階段就到達(dá)個(gè)階段就到達(dá)D點(diǎn)了，此時(shí)決策者可選擇的地點(diǎn)了，此時(shí)決策者可選擇的地點(diǎn)；點(diǎn)；X2(B1)可取可取C1,C2或或C3。6符號(hào)和概念A(yù)B2B1C3C2C1D21233134341fn(s)：表示由階段數(shù)為：表示由階段數(shù)為n的某個(gè)形狀的某個(gè)形狀s至終點(diǎn)的最短間隔。至終點(diǎn)的最短間隔。例如，

4、例如，f2(B1)表示由階段數(shù)為表示由階段數(shù)為2的形狀的形狀B1沿最優(yōu)道路到達(dá)終點(diǎn)的間隔，即沿最優(yōu)道路到達(dá)終點(diǎn)的間隔，即B1到到D點(diǎn)的最點(diǎn)的最短間隔。短間隔。顯然本例就是要求顯然本例就是要求f3(A)及及f3(A)所確定的最短道路。所確定的最短道路。7符號(hào)和概念A(yù)B2B1C3C2C1D21233134341d(s，Xn(s)：表示當(dāng)前處于形狀：表示當(dāng)前處于形狀s時(shí)，選取決策變量時(shí)，選取決策變量Xn(s)后，由點(diǎn)后，由點(diǎn)s到點(diǎn)到點(diǎn)Xn(s)的間隔。的間隔。例如，例如，d(B1，C3)=1，d(C2，D)=3 8分析要求出f3(A)的值及相應(yīng)的戰(zhàn)略從起點(diǎn)A開場(chǎng)分析 AB2B1C3C2C1D2123

5、31343419當(dāng)處于形狀A(yù)時(shí)，有幾種可供選擇的道路 AB2B1C3C2C1D2123313434110當(dāng)處于形狀A(yù)時(shí)，有兩種可供選擇的道路AB1：闡明由A點(diǎn)所選擇的下一點(diǎn)是B1由B1形狀到終點(diǎn)D的最短間隔為f2(B1)假設(shè)選此條道路，那么由A出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最短間隔可表示為 d(A,B1)+ f2(B1)AB2：闡明由A點(diǎn)所選擇的下一點(diǎn)是B2由B2形狀到終點(diǎn)D的最短間隔為f2(B2)假設(shè)選此條道路，那么由A出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)的最短間隔可表示為 d(A,B2)+ f2(B2)11綜合思索兩種情況可知，由形狀A(yù)出發(fā)，到終點(diǎn)D的最優(yōu)道路應(yīng)是上述兩種最短間隔中的最小值，即 可見，要計(jì)算f3(A)就得先計(jì)算f

6、2(B1)和f2(B2)。 2221213,minBfBAdBfBAdAf12由B1、B2點(diǎn)出發(fā)分別有幾種可供選擇的道路？ AB2B1C3C2C1D2123313434113由B1點(diǎn)出發(fā)有三種可供選擇的道路 B1C1最短間隔為 d(B1,C1)+ f1(C1)B1C2最短間隔為 d(B1,C2)+ f1(C2)B1C3最短間隔為 d(B1,C3)+ f1(C3)14綜合思索三種情況可知，由形狀B1出發(fā)，到終點(diǎn)D的最優(yōu)道路應(yīng)是上述三種最短間隔中的最小值，即可見，要計(jì)算f2(B1)就得先計(jì)算和f1(C1)、f1(C2)、f1(C3)。 31312121111112,minCfCBdCfCBdCfC

7、BdBf15由B2點(diǎn)出發(fā)有三種可供選擇的道路 B2C1最短間隔為 d(B2,C1)+ f1(C1)B2C2最短間隔為 d(B2,C2)+ f1(C2)B2C3最短間隔為 d(B2,C3)+ f1(C3)16綜合思索三種情況可知，由形狀B2出發(fā)，到終點(diǎn)D的最優(yōu)道路應(yīng)是上述三種最短間隔中的最小值，即可見，要計(jì)算f2(B2)就得先計(jì)算和f1(C1)、f1(C2)、f1(C3)。 31322122111222,minCfCBdCfCBdCfCBdBf17由于由形狀C1、C2、C3出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)D只需經(jīng)過一個(gè)階段，所以 DCdCfDCdCfDCdCf,33122111118由以上分析可以看出，計(jì)算f3(A

8、)的過程實(shí)踐是一個(gè)倒推的過程，即由最后的階段向前逐級(jí)進(jìn)展計(jì)算。AB2B1C3C2C1D2123313434119當(dāng)n=1時(shí) DCDCdCfDCDCdCfDCDCdCf3331222111114,3,1,相應(yīng)的最短路線為相應(yīng)的最短路線為相應(yīng)的最短路線為20圖示AB2B1C3C2C1D2123313434121當(dāng)n=2時(shí) DCBCfCBdCfCBdCfCBdBf11313121211111124564413313,min相應(yīng)的最短路線為DCBCfCBdCfCBdCfCBdBf12313221221112223563413312,min相應(yīng)的最短路線為22圖示AB2B1C3C2C1D21233134

9、34123當(dāng)n=3時(shí) DCBABfBAdBfBAdAf1122212136763442min,min相應(yīng)的最短路線為24圖示AB2B1C3C2C1D21233134341所以，鋪設(shè)管道的最短道路應(yīng)是AB1C1D。 25總結(jié)對(duì)于最短道路問題，普通地有如下的遞推關(guān)系式： 這個(gè)遞推公式是根據(jù)最優(yōu)化原理得到的 為終點(diǎn)狀態(tài)其中： E,2,min11Esdsfnsxfsxsdsfnnnn26最優(yōu)化原理最優(yōu)化原理一個(gè)過程的最優(yōu)戰(zhàn)略具有這樣的性質(zhì)，即無(wú)論其初始形狀和初始決策如何，其今后諸決策對(duì)第一個(gè)決策所構(gòu)成的形狀作為初始形狀和過程而言，必需構(gòu)成最優(yōu)戰(zhàn)略。 27二、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的運(yùn)用281、“背包問題/最優(yōu)裝載問

10、題假設(shè)有一個(gè)徒步游覽者，它所能接受的游覽背包的總分量式A公斤，今有n種游覽物品供它選擇裝入背包中，知，aj：第j種物品的單位分量公斤cj：第j種物品的單位運(yùn)用價(jià)值闡明給該游覽者所帶來(lái)的益處的一種數(shù)量目的我們的問題是：如何確定這n種物品的數(shù)量x1、x2、xn，使得該游覽者的背包分量不超越A公斤，而且對(duì)游覽者來(lái)說(shuō)總的運(yùn)用價(jià)值最大？ 29例假設(shè)有以下“背包問題 總分量不超越5物品編號(hào) 123單位重量aj325每件使用價(jià)值量cj8512物品件數(shù)xjx1x2x330數(shù)學(xué)模型3 , 2 , 105523. .1258max321321jxxxxtsxxxfj且全為整數(shù)，31思緒分析給待裝物品編號(hào)：1、2、

11、n分n步裝載物品。為與階段數(shù)同一，假設(shè)從編號(hào)為n的物品開場(chǎng)倒序裝載。即先裝第n號(hào)物品，再裝n-1號(hào)物品，最后裝1號(hào)物品。如本例，先裝3號(hào)物品，再裝2號(hào)物品，最后裝1號(hào)物品。32思緒分析當(dāng)裝n號(hào)物品時(shí)，假設(shè)決議裝xn件， xn 應(yīng)滿足以下條件 xn為決策變量、A為總分量限制nnnnnA, 0,Aaxxxa整數(shù)33遞推公式n種物品的最大價(jià)值量= 第n種物品的價(jià)值量 + 剩余n-1種物品的最大價(jià)值量即： ymax1nnnnfxcyf34形狀變量確實(shí)定“背包只需一個(gè)約束條件：分量限制。裝載階段不同，“背包剩余的分量限制會(huì)發(fā)生變化。因此可確定“分量限制為形狀變量。公式可寫成 n2時(shí)nn1nnn,aAxn

12、AmaxAnnxafxcf且為整數(shù)35當(dāng)n=1時(shí) 1111,01111maxaycxcyfxyxa為整數(shù)36求解例題用遞推關(guān)系式計(jì)算：我們的問題是求f3(5) 012,5max5512max5512max5max5221 ,0323,55032333233,503333333ffxfxxfxxafxcfxxxxax為整數(shù)為整數(shù)37可見要計(jì)算f3(5),要先計(jì)算f2(5)、f2(0) 110,35,5max255max255max5max51112, 1 ,0213,25021222122,502222222fffxfxxfxxafxcfxxxxax為整數(shù)為整數(shù) 002f38可見，要計(jì)算f2(5

13、)、f2(0) ，要先計(jì)算f1(5)、f1(3)、 f1(1)、f1(0) 1583585511111axacf 1383383311111axacf 0103181111111axacf 0003080011111axacf39將f1值代入f2中，得到 )0, 0(000) 1, 1(,1310138max010858max52112212xxffxx，f40將f2值代入f3中，得到“背包問題的最優(yōu)解為 X1=1, X2=1, X3=0, 最優(yōu)值為13。 0, 1, 113012,13max53213xxxf412、投資分配問題/資源分配問題資源分配問題：設(shè)有某種資源如電力、煤炭等，可用于資

14、源分配問題：設(shè)有某種資源如電力、煤炭等，可用于n種消費(fèi)，假設(shè)資源的總數(shù)種消費(fèi)，假設(shè)資源的總數(shù)量為量為A，用于第，用于第j種消費(fèi)的資源數(shù)量為種消費(fèi)的資源數(shù)量為xj時(shí)，可以得到收益時(shí)，可以得到收益gj(xj),j=1,2,n，問：對(duì)資，問：對(duì)資源源A應(yīng)如何進(jìn)展分配，使得總的收益最大？應(yīng)如何進(jìn)展分配，使得總的收益最大？投資分配問題：設(shè)有總數(shù)為投資分配問題：設(shè)有總數(shù)為A的資金，要分配給的資金，要分配給n個(gè)工程或工廠、部門等，用于擴(kuò)個(gè)工程或工廠、部門等，用于擴(kuò)展再消費(fèi)或其他建立，假設(shè)展再消費(fèi)或其他建立，假設(shè)xj：表示分配給第：表示分配給第j個(gè)工程的資金數(shù)；個(gè)工程的資金數(shù)；gj(xj):表示第表示第j個(gè)個(gè)

15、工程得到數(shù)量為工程得到數(shù)量為xj的資金后，所提供的利潤(rùn)值；問：如何確定各工程的資金數(shù)，使得的資金后，所提供的利潤(rùn)值；問：如何確定各工程的資金數(shù)，使得總的投資利潤(rùn)最大？總的投資利潤(rùn)最大？ 42分析無(wú)妨假設(shè)，分n個(gè)階段思索分配給n個(gè)工程的資金，由于每個(gè)階段的決策不僅影響到該工程得到的資金多少，同時(shí)也會(huì)影響到今后其他工程所能夠得到的資金數(shù)資金總數(shù)A已確定，所以可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)求解，令：fk(x):數(shù)量為x的資金分配給前k個(gè)工程所得到的最大利潤(rùn)值；xk：分配給第k個(gè)工程的資金數(shù)，滿足條件：0 xkx顯然，我們的目的是求fn(A) 43分析當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)表示將數(shù)量為x的資金分配給一個(gè)工程的最

16、大利潤(rùn)，由于只需一個(gè)工程，所以f1(x)=g1(x)當(dāng)n=k2時(shí)，gk(xk)表示分配給第k個(gè)工程資金數(shù)為xk時(shí)的利潤(rùn)值；(x-xk)表示分配給前k個(gè)工程資金數(shù)為x，那么分配給前k-1個(gè)工程的資金數(shù)為x-xk；fk-1(x-xk)表示以數(shù)量為x-xk的資金分配給k-1個(gè)工程所得到的最大利潤(rùn)值。 kkkkxxkxxfxgxfk10max44例：股東投資30萬(wàn)元給三個(gè)工廠進(jìn)展工廠擴(kuò)建，每個(gè)工廠擴(kuò)建后的利潤(rùn)與投資額的大小有關(guān)，投資后的利潤(rùn)值如下表：?jiǎn)枺簯?yīng)如何分配這30萬(wàn)元使得這四個(gè)工廠擴(kuò)建后總利潤(rùn)最大？ 投資x利潤(rùn)0102030g1(x)0205065g2(x)0204050g3(x)0256075

17、45解 03010202010300max30max302323232330,20,10,0323333fgfgfgfgxfxgfx要計(jì)算f3(30)， 要先計(jì)算f2(30)，f2(20)，f2(10)，f2(0)46 03010202010300max30max301212121230,20,10,0212222fgfgfgfgxfxgfx )0()20()10(10200max20max2012121220,10,0212222fgfgfgxfxgfx47 010100max10max10121210, 0212222fgfgxfxgfx 002f要計(jì)算f2(30)，f2(20)，f2(1

18、0)，f2(0)， 要先計(jì)算f1(30)，f1(20)，f1(10)，f1(0) 48將以上結(jié)果代入前面各式 0002010105020206530301111111111gfgfgfgxgf49 20,107005020405020650max03010202010300max30max30121212121230,20,10,0212222xxfgfgfgfgxfxgfx50 20, 0500402020500max)0()20()10(10200max20max201212121220,10,0212222xxfgfgfgxfxgfx51 0,1010, 020020200max0101

19、00max10max101212121210, 0212222xxxxfgfgxfxgfx或 0, 0, 00122xxf52 0,10,2010, 0,208007520605025700max03010202010300max30max303231232323232330,20,10,0323333xxxxxxfgfgfgfgxfxgfx或得最優(yōu)解為 最優(yōu)值為80 533、多階段消費(fèi)安排問題 /多階段配置問題設(shè)有某種原料，其數(shù)量為A噸，用于消費(fèi)兩種不同類型的產(chǎn)品，記為類型、類型，知投入該原料進(jìn)展消費(fèi)后，還可以回收部分原料用于下一階段的再消費(fèi)，假設(shè)g1(a)：投入數(shù)量為a的原料，消費(fèi)型產(chǎn)品的

20、收益值；g2(a) ：投入數(shù)量為a的原料，消費(fèi)型產(chǎn)品的收益值； r1(a)：消費(fèi)型產(chǎn)品的回收率0r11；r2(a)：消費(fèi)型產(chǎn)品的回收率0r21我們的目的是，對(duì)于總數(shù)為A的原料進(jìn)展n個(gè)階段消費(fèi)，每個(gè)階段應(yīng)如何分配原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品及型產(chǎn)品，使得經(jīng)過n個(gè)階段消費(fèi)之后總收益最大？ 54分析由于問題本身就是多階段的，所以可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解，令：fk(a)：初始原料數(shù)量為a，進(jìn)展k個(gè)階段的消費(fèi)，采取最優(yōu)分配戰(zhàn)略所獲得的最大收益；x：進(jìn)展k個(gè)階段的消費(fèi)時(shí)，在消費(fèi)的第一個(gè)階段用于消費(fèi)型產(chǎn)品的原料數(shù)量0 xa。在進(jìn)展某階段消費(fèi)時(shí)，當(dāng)前階段的收益為 xagxg2155分析該階段消費(fèi)之后，總的回收原料的數(shù)量為

21、 它是在以后將要進(jìn)展的k-1個(gè)階段消費(fèi)的形狀變量的值，這些原料用于k-1個(gè)階段消費(fèi)，采取最優(yōu)分配戰(zhàn)略所獲得的最大收益為)(21xarxrxrrarfxarxrfkk212121156分析根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理，當(dāng)2kn時(shí)，有 當(dāng)k=1時(shí)即只進(jìn)展一個(gè)階段消費(fèi)，有 顯然，我們的目的是計(jì)算fn(A) xarxrfxagxgxfkaxk211210max xagxgafax2101max57例在多階段消費(fèi)安排問題中，設(shè)收益函數(shù)分別為回收率分別為消費(fèi)階段數(shù)為n=3，現(xiàn)有原料為A=100噸。 xxgxxg5 . 06 . 0214 . 01 . 021rr58解：先整理一些算式 xaxaxxarxrxa

22、xaxxagxg3 . 04 . 0)(4 . 01 . 0)(1 . 05 . 0)(5 . 06 . 0212159當(dāng)k=1時(shí) 對(duì)于一個(gè)階段消費(fèi)問題，最大收益為0.6a，最正確消費(fèi)安排是：全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品； )(6 .01 .05 .0maxmax02101axaxaxagxgafaxax60當(dāng)k=2時(shí) 可知，當(dāng)進(jìn)展兩個(gè)階段消費(fèi)時(shí)，最大收益為0.74a最正確消費(fèi)安排是：全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品； )0(74. 008. 074. 0max3 . 04 . 06 . 01 . 05 . 0maxmax002112102xaxaxaxaxarxrfxagxgafaxaxax61當(dāng)k=3時(shí)

23、可知，當(dāng)進(jìn)展三個(gè)階段消費(fèi)時(shí)，最大收益為0.796a最正確消費(fèi)安排是：全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品； )0(796.0122.0796.0max3 .04 .074.01 .05 .0maxmax002122103xaxaxaxaxarxrfxagxgafaxaxax62將知數(shù)據(jù)代入上式得 即投入100噸原料進(jìn)展三階段消費(fèi)時(shí)，可獲得的最大收益為79.6萬(wàn)元。此時(shí)，最正確消費(fèi)安排是：第一階段k=3全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品；第二階段k=2全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品；第三階段k=1全部原料用于消費(fèi)型產(chǎn)品； 萬(wàn)元）(6 .79100796. 01003f63第一階段：把全部原料100噸投入型產(chǎn)品消費(fèi) 收益=0.5*

24、100=50萬(wàn)元，回收=0.4*100=40噸第二階段：把全部原料40噸投入型產(chǎn)品消費(fèi) 收益=0.5*40=20萬(wàn)元，回收=0.4*40=16噸第三階段：把全部原料16噸投入型產(chǎn)品消費(fèi) 收益=0.6*16=9.6萬(wàn)元，回收=0.1*16=1.6噸 三個(gè)階段總收益為：50+20+9.6=79.6萬(wàn)元 每個(gè)階段消費(fèi)安排644、多階段存儲(chǔ)問題 把一年或一段時(shí)間分為n個(gè)周期也稱階段，知倉(cāng)庫(kù)的最大容量為w，第i個(gè)周期的需求量為ri，單位產(chǎn)品的購(gòu)進(jìn)費(fèi)為ai，單位產(chǎn)品的周期保管費(fèi)為bi。問：各個(gè)周期應(yīng)訂多少貨，才可以既滿足需求，又使n個(gè)周期總存儲(chǔ)費(fèi)最小。假設(shè)：1、各個(gè)周期的訂貨在該周期末才干存儲(chǔ)，而各周期的

25、需求應(yīng)在該周期初給予滿足，而且不允許缺貨。2、第一個(gè)周期的初始存儲(chǔ)量z1為知，第n個(gè)周期的期末存儲(chǔ)量zn+1也為知。3、期初存儲(chǔ)量不低于本期需求量。 65例某個(gè)居民區(qū)每年四個(gè)季度對(duì)煤的需求量、該區(qū)煤場(chǎng)各個(gè)季度購(gòu)進(jìn)煤的單價(jià)和存儲(chǔ)煤的保管費(fèi)用都列于下表。知煤場(chǎng)的最大容量為9百噸，每年年底都要求有8百噸煤的存儲(chǔ)，如今問，煤場(chǎng)應(yīng)如何安排各個(gè)季度的進(jìn)煤量，才最合理。假設(shè)：1、各個(gè)周期的訂貨在該周期末才干存儲(chǔ)，而各周期的需求應(yīng)在該周期初給予滿足，而且不允許缺貨。2、第一個(gè)周期的初始存儲(chǔ)量z1為知，第n個(gè)周期的期末存儲(chǔ)量zn+1也為知。3、期初存儲(chǔ)量不低于本期需求量。單位第一季度第二季度第三季度第四季度需求

26、量 ri每百噸購(gòu)買價(jià) ai每百噸保管費(fèi) bi百噸千元千元840.5520.7530.763.50.666分析存儲(chǔ)問題的周期數(shù)n為一定數(shù)，故定購(gòu)費(fèi)在一年內(nèi)也是一個(gè)常數(shù)；又由于不允許短缺，所以可以不思索定購(gòu)費(fèi)與短缺費(fèi)。這樣，總存儲(chǔ)費(fèi)就等于購(gòu)進(jìn)費(fèi)與保管費(fèi)之和。設(shè)第i個(gè)周期的初始存儲(chǔ)量為zi，訂貨量為qii1,2,n，由假設(shè)知，有如下關(guān)系式成立： ) 3(0, 0)2(), 2 , 1() 1 (1iiiiiiiiqznirzwzrzq67分析令fk(z)=初始存儲(chǔ)量為z，還有k個(gè)周期，采取最優(yōu)戰(zhàn)略時(shí)的最低總存儲(chǔ)費(fèi)。顯然，我們的目的是求fn(z1)。假設(shè)設(shè)第i個(gè)周期的初始存儲(chǔ)量為z，進(jìn)貨量為q，由公式

27、12可知 1iirrzqw68分析再結(jié)合公式3知令得當(dāng)i=n時(shí)，有 即 1, 2 , 1,max1nizrroqzrwiiizrroezrwliiiii1,max,1, 2 , 1,nieqlii1nnzrzqzrzqnn169分析由“最優(yōu)化原理可得遞推公式： nklqerzqfzbqazfzrzqzbqazfknknknkknknknnnn, 2minmin1111111170解這是一個(gè)四階段的存儲(chǔ)問題，且z1=z5=8，w=9，由遞推公式，得其中 4 , 3 , 2minmin55515545441klqerzqfzbqazfzrzqzbqazfkkkkkkk4 , 3 , 29, 0max5565