信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換ppt課件

1、第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S域分析域分析 上一章討論的傅里葉變換法對系統(tǒng)分析無疑是有用的上一章討論的傅里葉變換法對系統(tǒng)分析無疑是有用的.它使響應(yīng)的求解得到簡化。特別在有關(guān)信號的分析與它使響應(yīng)的求解得到簡化。特別在有關(guān)信號的分析與處理方面諸如有關(guān)諧波成分、頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、處理方面諸如有關(guān)諧波成分、頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、波形失真等問題上，它所給出的結(jié)果都具有清楚的物波形失真等問題上，它所給出的結(jié)果都具有清楚的物理意義。理意義。但它也有不足之處：但它也有不足之處：1、傅里葉變換存在的充分條件是、傅里葉變換存在的充分條件是 =有限值，有限值，因而有些工程中常用的信號如因而有些工程中常用的信號

2、如 、 等并等并不滿足該條件，因而不能從定義來求。還有一些信號不滿足該條件，因而不能從定義來求。還有一些信號如如 根本不存在傅里葉變換根本不存在傅里葉變換,無法在頻域進行無法在頻域進行分析分析. dttf t ttte t 0 2、傅里葉逆變換的確定有時是很困難的，因此使傅里、傅里葉逆變換的確定有時是很困難的，因此使傅里葉變換的應(yīng)用受到限制。葉變換的應(yīng)用受到限制。 3、它只能求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)還得用、它只能求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)還得用其他方法確定。其他方法確定。 在這一章中將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到在這一章中將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題復(fù)頻

3、域來解決這些問題-即拉普拉斯變換。即拉普拉斯變換。 應(yīng)用拉普拉斯變換進行系統(tǒng)分析的方法，同樣是應(yīng)用拉普拉斯變換進行系統(tǒng)分析的方法，同樣是建立在線性時不變系統(tǒng)具有疊加性和齊次性的基礎(chǔ)上建立在線性時不變系統(tǒng)具有疊加性和齊次性的基礎(chǔ)上的，只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。因此這兩種的，只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。因此這兩種變換，無論在性質(zhì)上或是在進行系統(tǒng)分析的方法上都變換，無論在性質(zhì)上或是在進行系統(tǒng)分析的方法上都有著很多類似的地方。事實上，傅里葉變換可看成是有著很多類似的地方。事實上，傅里葉變換可看成是拉普拉斯變換的一種特殊情況。拉普拉斯變換的一種特殊情況。在頻域分析中，以在頻域分析中，以tje

4、為基本信號，為基本信號， 在復(fù)頻域分析中，以在復(fù)頻域分析中，以tse 為基本信號，為基本信號， js 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ste其中其中 因此，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一個特例。因此，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一個特例。拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣。拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣。由于當(dāng)由于當(dāng) js , 0tjstee 本章共四節(jié)：拉普拉斯變換；拉普拉斯變換的性質(zhì)；本章共四節(jié)：拉普拉斯變換；拉普拉斯變換的性質(zhì)；拉普拉斯逆變換；復(fù)頻域分析；拉普拉斯逆變換；復(fù)頻域分析； ntjnneFtf)(1( )()2j tf tF jed一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 那么，能不能將

5、這些信號乘上一個衰減因子，這那么，能不能將這些信號乘上一個衰減因子，這樣它就可能滿足絕對可積條件？正是這種想法，樣它就可能滿足絕對可積條件？正是這種想法，引出了拉普拉斯變換。引出了拉普拉斯變換。 0 tet如：一個指數(shù)增長的信號如：一個指數(shù)增長的信號 顯然不滿顯然不滿足絕對可積條件，且它的傅里葉變換是不存在的。足絕對可積條件，且它的傅里葉變換是不存在的。 51 拉普拉斯變換拉普拉斯變換對任意信號對任意信號 乘以一個衰減因子乘以一個衰減因子 ,適當(dāng)適當(dāng)選取選取 的值使的值使 當(dāng)當(dāng) 時時,信號幅度趨于信號幅度趨于0，從而使其滿足絕對可積的條件：，從而使其滿足絕對可積的條件： tfte tetf t

6、 dtetft f t dt dtedttett 022 例如例如 tetft 2 不滿足絕對可積的條件。不滿足絕對可積的條件。 teetftt 2 只需只需2 dteett02 滿足絕對可積的條件。滿足絕對可積的條件。又如又如 tttf 也不滿足絕對可積的條件。也不滿足絕對可積的條件。 tteetftt 只需只需0 dtett0 滿足絕對可積的條件。滿足絕對可積的條件。上述積分結(jié)果是上述積分結(jié)果是 的函數(shù)，令其為的函數(shù)，令其為 即：即： j jFb jFb dtetftj dejFetftjbt 21假設(shè)假設(shè) 滿足絕對可積條件，那么滿足絕對可積條件，那么 tetf 由傅立葉逆變換得：由傅立葉

7、逆變換得： dtetfdteetfetftjtjtt 收斂收斂 dejFtftjb 21 dejFtftjb21令令 ， 為實數(shù)，那么為實數(shù)，那么 于是上于是上面面兩個式子變?yōu)椋簝蓚€式子變?yōu)椋簀s jdsd 2 . 21 jjstbdsesFjtf 1 . dtetfsFstb 式稱為雙邊拉普拉斯變換對；式稱為雙邊拉普拉斯變換對； 稱為稱為 的雙邊拉氏變換或象函數(shù)）；的雙邊拉氏變換或象函數(shù)）； 稱為稱為 的雙邊拉氏逆變換或原函數(shù)）。的雙邊拉氏逆變換或原函數(shù)）。 21 sFb tf tf sFb jFb dtetftj 二、收斂域二、收斂域 如前所述，選擇適當(dāng)?shù)娜缜八?，選擇適當(dāng)?shù)?值才可能使值

8、才可能使 滿滿足絕對可積足絕對可積,才可使才可使(1)式積分收斂，信號式積分收斂，信號 的雙邊的雙邊拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換存在。 通常把通常把 滿足絕對可積的滿足絕對可積的 值的范圍稱為值的范圍稱為收斂域。收斂域。 tf tetf tetf 1 dtetfdteetfetftjtjtt 收斂收斂我們先來研究兩種信號：我們先來研究兩種信號： （1因果信號因果信號 )0 , 0( ttf（2反因果信號反因果信號 )0 , 0( ttf 1 dtetfdteetfetftjtjtt 收斂收斂例例5.1-1 設(shè)因果信號設(shè)因果信號 0 , 0 , 01tettetftt求其拉氏變換。求其拉氏變換

9、。 解：解： 0 1dtedtetesFtssttb s1 0sets 0 seetjt sRe收斂域收斂域 為為實實數(shù)數(shù) 可見對于因果信號，僅當(dāng)可見對于因果信號，僅當(dāng) 時，時，其拉氏變換才存在。其收斂域為其拉氏變換才存在。其收斂域為 。 sRe sRe在以在以 為橫軸，為橫軸， 為縱軸的為縱軸的 平面復(fù)平面），平面復(fù)平面）， 是一個區(qū)域，稱為拉普拉斯變換的收斂域或是一個區(qū)域，稱為拉普拉斯變換的收斂域或象函數(shù)的收斂域。如下圖象函數(shù)的收斂域。如下圖 所示。所示。js sRe因果函數(shù)的收斂域S平面平面收斂邊界收斂邊界 0 , 0 , 01tettetftt例例5.1-2 設(shè)反因果信號設(shè)反因果信號

10、0, 00, e 2 tttetftt為實數(shù)，為實數(shù)， 求其雙邊拉氏變換。求其雙邊拉氏變換。 0 2dtedtetesFtssttb 解：解： 0 sets s1 0 seetjt sRe 收斂域收斂域可見對于反因果信號，僅當(dāng)可見對于反因果信號，僅當(dāng) 時，時，其拉氏變換才存在。其收斂域為其拉氏變換才存在。其收斂域為 。如下圖。如下圖。 sRe sRe反因果函數(shù)反因果函數(shù)的收斂域的收斂域S平面平面 0, 00, e 2 tttetftt如果一個雙邊函數(shù)如果一個雙邊函數(shù) 0 0 21 tetetftftftt 其雙邊拉氏變換為其雙邊拉氏變換為 sFsFsFbbb21 假設(shè)假設(shè) ，當(dāng)然存在共同的收斂

11、域，當(dāng)然存在共同的收斂域 ，收斂域是帶，收斂域是帶狀區(qū)域狀區(qū)域 ; sRe假設(shè)假設(shè) 則沒有共同的收斂域，則沒有共同的收斂域， 不存在。不存在。 sFb雙邊函數(shù)雙邊函數(shù)的收斂域的收斂域 sRe sRe因果函數(shù)的收斂域反因果函數(shù)反因果函數(shù)的收斂域的收斂域 tetft 1 tetft 2 0 0 21 tetetftftftt 雙邊函數(shù)雙邊函數(shù)的收斂域的收斂域 當(dāng)收斂域包含虛軸時，拉氏變換與傅氏當(dāng)收斂域包含虛軸時，拉氏變換與傅氏變換同時存在，將變換同時存在，將 代入即可得其傅氏代入即可得其傅氏變換。變換。 js 雙邊拉氏變換便于分析雙邊信號雙邊拉氏變換便于分析雙邊信號,但其收斂但其收斂條件較為苛刻條

12、件較為苛刻,這也限制了它的應(yīng)用這也限制了它的應(yīng)用單邊拉氏變換單邊拉氏變換實際用到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其為坐標(biāo)原實際用到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其為坐標(biāo)原點，這樣，點，這樣， 時，時， 從而拉氏變換可寫成從而拉氏變換可寫成0 t 0 tf 0dtetfsFst單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換 本章僅討論單邊拉普拉斯變換，單邊拉普拉斯變本章僅討論單邊拉普拉斯變換，單邊拉普拉斯變換簡稱為拉普拉斯變換或拉氏變換。換簡稱為拉普拉斯變換或拉氏變換。 0這里這里 0是指是指 三、三、 （單邊）（單邊） 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 的拉氏變換簡記為的拉氏變換簡記為: tf sFtfL 逆變換簡記為逆變換

13、簡記為: tfSFL 1其變換與逆變換也簡記為其變換與逆變換也簡記為: sFtf1、拉普拉斯變換的符號表示、拉普拉斯變換的符號表示為了使為了使 存在，積分式必須收斂。存在，積分式必須收斂。對此有如下定理：對此有如下定理： 0dtetfst若因果函數(shù)若因果函數(shù) 滿足：滿足： tf（2存在某個存在某個 有有 0 0 , 0lim ttetf(1) 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 內(nèi)可積。內(nèi)可積。bta 那么對于那么對于 ，拉氏積分收斂。，拉氏積分收斂。 0Re s2收斂域單邊拉氏變換存在條件）收斂域單邊拉氏變換存在條件）我們稱我們稱 為為 指數(shù)階的。指數(shù)階的。 tf0 其中其中ba0(1) 在有限區(qū)間在有限

14、區(qū)間 內(nèi)可積。內(nèi)可積。bta 條件條件1表明，表明， 可以包含有限個間斷點，只要求它在有限可以包含有限個間斷點，只要求它在有限區(qū)間可積。區(qū)間可積。 tf tt1（2存在某個存在某個 有有 0 0 , 0lim ttetf滿足條件滿足條件2，且，且 有界，其拉氏變換有界，其拉氏變換存在存在bbdtt021 tt1滿足條件滿足條件2，但，但 無界，其拉氏變換無界，其拉氏變換不存在不存在bbtdtt00ln1闡明：闡明：(1) 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 內(nèi)可積。內(nèi)可積。bta 條件條件2表明，表明， 可以是隨可以是隨t的增大而增大的，只要它比某些的增大而增大的，只要它比某些指數(shù)函數(shù)增長的慢即可。指數(shù)函數(shù)

15、增長的慢即可。 tf tt（2存在某個存在某個 有有 0 0 , 0lim ttetf2te滿足條件滿足條件1，但不滿足條件，但不滿足條件2，其拉氏變換不存在，其拉氏變換不存在闡明：闡明：滿足條件滿足條件1，且，且 選選 ，有，有 其拉氏變換存在其拉氏變換存在00 0limttetf再例如：再例如： 0lim 3t3 ttteete 3Re0 s 0lim 2t2 ttteete 2Re0 s 0lim t tett 0Re0 s 0lim t tnnettt 0Re0 s增長比任何指數(shù)階都快，所以不存在拉氏變換。增長比任何指數(shù)階都快，所以不存在拉氏變換。 、 2tet ttt而而 0 , 0

16、lim ttetf定理表明，滿足條件定理表明，滿足條件1和和2的因果函數(shù)的因果函數(shù) 存在拉氏變換，其存在拉氏變換，其收斂域為收斂域為 以右，即以右，即 的半平面，而且積分是一致的半平面，而且積分是一致收斂的收斂的 tf0 0sR(1) 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 內(nèi)可積。內(nèi)可積。bta （2存在某個存在某個 有有 0 0 , 0lim ttetf闡明：闡明：另外，要注意還有一類信號：時限信號另外，要注意還有一類信號：時限信號收斂域收斂域0t2 tf b1T2Tt0 tf a時限信號的收斂域為整個時限信號的收斂域為整個 平面。平面。s SRe即即 時限信號對于任何時限信號對于任何 都有都有 0lim

17、ttetf例例5.1-3 求求 其余其余 , 0t0 , 12tgtf的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：這個信號顯然是可積的，且對于任何解：這個信號顯然是可積的，且對于任何 都有都有 0lim ttetf所以收斂域是整個所以收斂域是整個 S 平面。平面。3常用信號的拉氏變換常用信號的拉氏變換 00dtedtetftfLststsesesst 1 0setgs 12 SRe例例5.1-4 求求 、 的象函數(shù)。的象函數(shù)。 t t解：解： ， 均為時限信號，所以收斂域均為時限信號，所以收斂域為整個為整個 平面。平面。 t ts 100 dttdtettLst ssedtdedtettLtsttstst 00

18、0 1t St SRe SRe例例5.1-5 求復(fù)指數(shù)函數(shù)求復(fù)指數(shù)函數(shù) 的象函數(shù)。的象函數(shù)。 tetftso 式中式中 為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù) 0s 00 0000ssedteeteLtsssttsts01ss 0ReRess 解：解：特例：特例： 100 s stL1 0Re s 2 0 0 s steLt1 sRe 3 0 0 s steLt1 sRe 4 0 0 js jsteLtj 1 0Re s 5 0 0 js jsteLtj 1 0Re s01ss 0ReRess tets 0 setgs 12 SRe 1t St SRe SRe 010sstets 0ReRess *.收斂域簡單記憶法收斂域簡單記憶法 ： sF其中其中 為為 所有極點的實部的最大值。所有極點的實部的最大值。 0 的收斂域為：的收斂域為： sF Re0 s*.由于單邊拉氏變換的積分區(qū)間是由于單邊拉氏變換的積分區(qū)間是 ， 所以所以 ， 與與 的拉氏變換相同。的拉氏變換相同。 為簡便，時間函數(shù)中的為簡便，時間函數(shù)中的 也常略去不寫。也常略去不寫。 0 ttf tf t 010