時間序列分析講義平穩(wěn)時間序列分析PPT課件

1、 練習與補充第1頁/共185頁 第2頁/共185頁1tttxxx111tptptpxxxkttt kxxx第3頁/共185頁第4頁/共185頁 1,pxBxtppt第5頁/共185頁 10B為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0) 1()1 (第6頁/共185頁 p0(1)( 1)ppppittpt iixBxC x (1)kkttt ktxxxBx 第7頁/共185頁 )(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz第8頁/共185頁 特征方程 特征方程的根稱為特征根，記作 1 1, , 2

2、2, , , p 齊次線性差分方程的通解 不相等實數(shù)根場合 有相等實根場合 復根場合02211ppppaaatpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321)(第9頁/共185頁 非齊次線性差分方程的特解 使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解zt 非齊次線性差分方程的通解 齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和zttttzzz )(2211thzazazazptpttt 第10頁/共185頁 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） A

3、RMA模型（Auto Regression Moving Average model）第11頁/共185頁AR模型的定義AR模型平穩(wěn)性判別平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質第12頁/共185頁AR(p)的定義AR(p)的中心化變換自回歸系數(shù)多項式AR(p)的特征方程特征方程與系數(shù)多項式第13頁/共185頁 具有如下結構的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR(p) 特別當 0=0時，稱為中心化AR(p)模型0112220()0(),()0,0,tttptptptttsstxxxxEVarEstExst ，第14頁/共185頁 稱yt為xt的中心化序列 ，令011p ttyx 第15頁/共185頁 引進延遲算子

4、，中心化AR(p)模型又可以簡記為 自回歸系數(shù)多項式( )ttB x 212( )1ppBBBB 第16頁/共185頁 中心化AR(p)模型 可以看成p階常系數(shù)非齊次線性差分方程 它對應的齊次方程的特征方程為 也稱為AR(p)模型的特征方程1122tttptptxxxx1110pppp 1122tttptptxxxx第17頁/共185頁 特征方程 的根與系數(shù)多項式 的零點根互為倒數(shù)212( )1ppuuuu1110pppp 第18頁/共185頁 判別原因判別方法第19頁/共185頁 AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 例如第20頁/共185頁1(1) 0.8

5、tttxx 1(2) 1.1tttxx 12(3) 0.5ttttxxx 11(4) 0.5ttttxxx 第21頁/共185頁1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx第22頁/共185頁1(2)1.1tttxx ttttxxx115 . 0)4(第23頁/共185頁第24頁/共185頁AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外第25頁/共185頁平穩(wěn)域12 ,p 都征根在單位圓內特第26頁/共185頁AR(1)模型特征方程特征根平穩(wěn)域1011111tttxx第27頁

6、/共185頁 平穩(wěn)域2112121122424211,12221，且1122ttttxxx2120 第28頁/共185頁8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判別平穩(wěn)域判別結論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第29頁/共185頁均值方差協(xié)方差自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)第30頁/共185頁 如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 t 為白噪聲序列，有 推導出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,第31頁/共185頁Green函

7、數(shù)方差AR(1)模型的Green函數(shù)和方差第32頁/共185頁 AR模型的傳遞形式 其中系數(shù)Gj , j=1,2,稱為Green函數(shù)110010()( )1ppjtittiitiijipjiitjtjjijjkxGkBBBk 第33頁/共185頁 原理 方法 待定系數(shù)法 遞推公式pkpkjGGGkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttBGBBGxxB)()()()(第34頁/共185頁 平穩(wěn)AR模型的傳遞形式 兩邊求方差得函數(shù)為GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0第35頁/共185頁例3.2 求平穩(wěn)AR(1)模型的方差 平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為

8、Green函數(shù)為 平穩(wěn)AR(1)模型的方差11001()1iitttt iiixBB 1,0,1,jjGj222212001( )( )1jtjtjjVar xG Var 第36頁/共185頁 在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘xt-k，再求期望 根據(jù) 得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式 例題)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxE0)(kttxE1,kpkpkkk2211第37頁/共185頁例3.3 3.3 求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差 遞推公式 平穩(wěn)AR(1)模型的方差為 協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為0111kkk212011,12121kkk第38頁/共185頁例3.4 3.4 求

9、平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差 平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkk，第39頁/共185頁 自相關系數(shù)的定義 平穩(wěn)AR(p)模型的自相關系數(shù)遞推公式0kk1122kkkpkp 第40頁/共185頁 AR(1)模型 AR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk第41頁/共185頁 拖尾性 呈復指數(shù)衰減 例題1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )0pkiiikc第42頁/共185頁例3.5 考察如下AR模型的自相關圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5

10、. 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (第43頁/共185頁 自相關系數(shù)按復指數(shù)單調收斂到零1(1)0.8tttxx第44頁/共185頁1(2)0.8tttxx 第45頁/共185頁 自相關系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性12(3)0.5ttttxxx第46頁/共185頁 自相關系數(shù)不規(guī)則衰減12(4)0.5ttttxxx 第47頁/共185頁 定義 對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量xt-1,xt-2,xt-k+1的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，xt-k對xt影響的相關度量。用數(shù)學語言描述就是2,)()(11ktktktkt

11、ttxxxxxExExExxExEkttktt第48頁/共185頁 滯后k偏自相關系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk)()(2ktktktktttkkxExExExxExE第49頁/共185頁 AR(p)模型偏自相關系數(shù)p階截尾pkkk,0第50頁/共185頁ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (第51頁/共185頁 理論偏自相關系數(shù) 樣本偏自相關圖1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk第52頁/共185頁 理論

12、偏自相關系數(shù) 樣本偏自相關圖1(2)0.8tttxx 0.8,10,2kkkk第53頁/共185頁 理論偏自相關系數(shù) 樣本偏自相關圖12(3)0.5ttttxxx2/3,10.5,20,3kkkkk 第54頁/共185頁例3.5 理論偏自相關系數(shù) 樣本偏自相關系數(shù)圖12(4)0.5ttttxxx 2,130.5,20,3kkkkk 第55頁/共185頁3.2.2 MA模型MA模型的定義MA模型的統(tǒng)計性質MA模型的可逆性第56頁/共185頁 具有如下結構的模型稱為q階自回歸模型，簡記為MA(q) 特別當 = 0時，稱為中心化MA(q)模型112220( )0( ),()0,ttttqt qqtt

13、tsxEVarEst ，第57頁/共185頁 引進延遲算子，中心化MA(q)模型又可以簡記為 q階移動平均系數(shù)多項式( )ttxB qqBBBB2211)(第58頁/共185頁常數(shù)均值常數(shù)方差自協(xié)方差函數(shù)自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)第59頁/共185頁1122(ttttq t qExE ) 均值為 特別地，中心化MA(q)的均值為零第60頁/共185頁方差22212211)1 ()()(qqtqttttVarxVar第61頁/共185頁自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)q階截尾q kqkkkqiikikqk , 01 ,)(0 ,)1 (212221第62頁/共185頁自相關系數(shù)q階截尾qkqkkqkqiik

14、ikk , 01 ,10 , 12211第63頁/共185頁 MA(1)模型 MA(2)模型1211,0,110,2kkkk1122212222121,0,11,210,3kkkkk 第64頁/共185頁 滯后k偏自相關系數(shù)由Yule-Walker方程確定 可以證明:偏自相關系數(shù)是拖尾的11021121120211220kkkkkkkkkkkkkkkkk 第65頁/共185頁212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx第66頁/共185頁 112tttx（）120.5tttx（ ）第67頁/共185頁 124163525ttt

15、tx（ ）125254416ttttx（ ）第68頁/共185頁 112tttx（）120.5tttx（ ）第69頁/共185頁 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）第70頁/共185頁 MA模型自相關系數(shù)的不唯一性 例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx第71頁/共185頁 可逆MA模型定義 若一個MA模型能夠表示成為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型 可逆概念的重要性 一個自相關系數(shù)列唯一對應一個可逆MA模型

16、。第72頁/共185頁可逆MA(1)模型 1tttx11tttx21ttBx1ttBx11可逆, 1可逆, 1第73頁/共185頁 MA(q)模型的可逆條件是： MA(q)模型的特征根都在單位圓內 等價條件是移動平滑系數(shù)多項式的根都在單位圓外11i1i第74頁/共185頁 原理 方法 待定系數(shù)法 遞推公式qkqkjIIIkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，ttttttxxBIBxBIBx)()()()(第75頁/共185頁212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx第76頁/共185頁 逆函數(shù) 逆轉形式不可逆122

17、1tttx可逆15 . 05 . 01tttx05 . 0kktktx1,5 . 01kIkk第77頁/共185頁 逆函數(shù) 逆轉形式可逆1, 125165412221ttttx, 1 , 0,23, 0133,) 1(1nnknnkIknk或013130338 . 0) 1(8 . 0) 1(nntnnnntnntxx不可逆11625162545221ttttx第78頁/共185頁ARMA模型的定義平穩(wěn)條件與可逆條件傳遞形式與逆轉形式ARMA模型的統(tǒng)計性質第79頁/共185頁 具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q) 特別當 0=0時，稱為中心化ARMA(p,q)模型

18、tsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt, 0, 0)(,)(0)(00211110，第80頁/共185頁 引進延遲算子，中心化ARMA(p,q)模型又可以簡記為 p階自回歸系數(shù)多項式 q階移動平均系數(shù)多項式ttBxB)()(qqBBBB2211)(ppBBBB2211)(第81頁/共185頁 ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件 p階自回歸系數(shù)多項式 (B)=0的根都在單位圓外 即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定 ARMA(p,q)模型的可逆條件 q階移動平均系數(shù)多項式 (B)=0的根都在單位圓外 即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平

19、滑部分的可逆性決定第82頁/共185頁 傳遞形式 逆轉形式11)()(jjtjtttGBBx011,1kkjkjjjGGGk11)()(jjtjtttxIxxBB011,1kkjkjjjIIIk第83頁/共185頁 均值 協(xié)方差 自相關系數(shù)ptEx101 )(02ikiiGGk020)0()()(jjjkjjGGGkk第84頁/共185頁第85頁/共185頁例3.7 考察ARMA模型的相關性 擬合模型ARMA(1,1): 并直觀地考察該模型自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質。 10.50.8ttttxx第86頁/共185頁 樣本自相關圖 樣本偏自相關圖第87頁/共185頁模型模型自相關系數(shù)自相關系

20、數(shù)偏自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)AR(p)拖尾拖尾p階截尾階截尾MA(q)q階截尾階截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾第88頁/共185頁 建模步驟 模型識別 參數(shù)估計 模型檢驗 模型優(yōu)化第89頁/共185頁平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗模型優(yōu)化序列預測YN第90頁/共185頁 樣本自相關系數(shù) 樣本偏自相關系數(shù)nttkntkttkxxxxxx121)()(DDkkk第91頁/共185頁基本原則選擇模型選擇模型拖尾拖尾p階截尾階截尾AR(p)q階截尾階截尾拖尾拖尾MA(q)拖尾拖尾拖尾拖尾ARMA(p,q)kkk第92頁/共185頁 因為由于樣本的隨機性，樣本的相

21、關系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應截尾的 或 仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況 由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關性，隨著延遲階數(shù) ， 與 都會衰減至零值附近作小值波動？當 或 在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？ kkkkkkkkkk第93頁/共185頁 Barlett QuenouillennNk,)1, 0(nnNkk,)1, 0(第94頁/共185頁 95的置信區(qū)間 模型定階的經驗方法 如果樣本(偏)自相關系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95的自相關系數(shù)都落在2倍標準差

22、的范圍以內，而且通常由非零自相關系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。22Pr0.9522Pr0.95kkknnnn第95頁/共185頁選擇合適的模型ARMA擬合1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。第96頁/共185頁第97頁/共185頁第98頁/共185頁 自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內波動，這表明序列明顯地短期相關。但序列由顯著非零的相關系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關系數(shù)可視為不截尾 偏自相關圖顯示除了延遲1階的偏自相關系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關系數(shù)都在2倍標

23、準差范圍內作小值隨機波動，而且由非零相關系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關系數(shù)可視為一階截尾 所以可以考慮擬合模型為AR(1)第99頁/共185頁美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列 第100頁/共185頁第101頁/共185頁第102頁/共185頁 自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數(shù)在2倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關系數(shù)都在2倍標準差范圍內波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關系數(shù)1階截尾 偏自相關系數(shù)顯示出典型非截尾的性質。 綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質，為擬合模型定階為MA(1)

24、 第103頁/共185頁 1880-19851880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列 第104頁/共185頁第105頁/共185頁第106頁/共185頁 自相關系數(shù)顯示出不截尾的性質 偏自相關系數(shù)也顯示出不截尾的性質 綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列第107頁/共185頁 待估參數(shù) p+q+2個未知參數(shù) 常用估計方法 矩估計 極大似然估計 最小二乘估計211, ,pq 第108頁/共185頁 原理 樣本自相關系數(shù)估計總體自相關系數(shù) 樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差111111( ,)( ,)pqp qpqp q 1ni

25、ixxn2221221211xqp第109頁/共185頁例3.10 求AR(2)模型系數(shù)的矩估計 AR(2)模型 Yule-Walker方程 矩估計（Yule-Walker方程的解）ttttxxx22112112121112121112121221第110頁/共185頁例3.11 求MA(1)模型系數(shù)的矩估計 MA(1)模型 方程 矩估計11tttx2201111220111(1)1 12112411第111頁/共185頁例3.12 求ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估計 ARMA(1,1)模型 方程 矩估計1111ttttxx1111 112011 1211()(1)12 1122122112

26、121,2,242,24,ccccccc第112頁/共185頁 優(yōu)點 估計思想簡單直觀 不需要假設總體分布 計算量?。ǖ碗A模型場合） 缺點 信息浪費嚴重 只用到了p+q個樣本自相關系數(shù)信息，其他信息都被忽略 估計精度差 通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值 第113頁/共185頁 原理 在極大似然準則下，認為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大的參數(shù)值 ,);(max),;,(21121kkxpxxL第114頁/共185頁 由于 和 都不是 的顯式表達式。因而似然方程組實際上是由p+q+1個超越方程構

27、成，通常需要經過復雜的迭代算法才能求出未知參數(shù)的極大似然估計值 ( )Sln 0)(21ln21);(02)(2);(2422SxlSnxl第115頁/共185頁 優(yōu)點 極大似然估計充分應用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高 同時還具有估計的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計性質 缺點 需要假定總體分布第116頁/共185頁 原理 使殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值即為最小二乘估計值 211111( )min( )min()nttptptqt qtQQxxx 第117頁/共185頁 實際中最常用的參數(shù)估計方法 假設條件 殘差平方和方程 解法 迭代法0 ,0txtnitit

28、itnitxxQ121112)(第118頁/共185頁 優(yōu)點 最小二乘估計充分應用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高 條件最小二乘估計方法使用率最高 缺點 需要假定總體分布第119頁/共185頁 確定1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑 擬合模型：AR(1) 估計方法：極大似然估計 模型口徑tttxx169. 017.2517.16)(2Var第120頁/共185頁 確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑 擬合模型：MA(1) 估計方法：條件最小二乘估計 模型口徑ttBx)82303. 01 (40351. 492

29、9.2178)(2Var第121頁/共185頁 確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑 擬合模型：ARMA(1,1) 估計方法：條件最小二乘估計 模型口徑119 . 0407. 0003. 0ttttxx016. 0)(2Var第122頁/共185頁 模型的顯著性檢驗 整個模型對信息的提取是否充分 參數(shù)的顯著性檢驗 模型結構是否最簡第123頁/共185頁 目的 檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分） 檢驗對象 殘差序列 判定原則 一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列 反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著

30、殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效第124頁/共185頁 原假設：殘差序列為白噪聲序列 備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某個1, 01第125頁/共185頁221(2)() ( )mkkLBn nmnk第126頁/共185頁 檢驗1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性 殘差白噪聲序列檢驗結果延遲階數(shù)延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量P值值檢驗結論檢驗結論65.830.3229擬合模型擬合模型顯著有效顯著有效1210.280.50501811.380.8361第127頁/共185頁 目的 檢驗每一個未知參數(shù)是否

31、顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結構最精簡 假設條件 檢驗統(tǒng)計量mjHHjj10:0:10)()(mntQamnTjjjj第128頁/共185頁 檢驗1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著 參數(shù)檢驗結果檢驗參數(shù)檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量統(tǒng)計量P值值結論結論均值均值46.120.0001顯著顯著6.720.0001顯著顯著1第129頁/共185頁 問題提出 當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。 優(yōu)化的目的 選擇相對最優(yōu)模型 第130頁/共185頁第131頁/共185頁第132頁/共185頁

32、第133頁/共185頁 根據(jù)自相關系數(shù)2 2階截尾，擬合MA(2)模型 參數(shù)估計 模型檢驗 模型顯著有效 三參數(shù)均顯著 ttBByield)31009. 032286. 01 (17301.512第134頁/共185頁 根據(jù)偏自相關系數(shù)1階截尾，擬合MA(1)模型 參數(shù)估計 模型檢驗 模型顯著有效 兩參數(shù)均顯著 Byieldtt42481. 0126169.51第135頁/共185頁 同一個序列可以構造兩個擬合模型，兩個模型都顯著有效，那么到底該選擇哪個模型用于統(tǒng)計推斷呢？ 解決辦法 確定適當?shù)谋容^準則，構造適當?shù)慕y(tǒng)計量，確定相對最優(yōu)第136頁/共185頁 最小信息量準則（An Informa

33、tion Criterion） 指導思想 似然函數(shù)值越大越好 未知參數(shù)的個數(shù)越少越好 AIC統(tǒng)計量)(2)ln(2未知參數(shù)個數(shù)nAIC第137頁/共185頁 AIC準則的缺陷 在樣本容量趨于無窮大時，由AIC準則選擇的模型不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多 SBC統(tǒng)計量)(ln()ln(2未知參數(shù)nnSBC第138頁/共185頁例3.13續(xù) 用AIC準則和SBC準則評判例3.13中兩個擬合模型的相對優(yōu)劣 結果 AR(1)優(yōu)于MA(2)模型模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866第139頁/共185頁 線性預測函數(shù)

34、 序列xt的第 l 步預測值10titiixC x 0 ( )tit iix lD x第140頁/共185頁 預測誤差 et(l) 預測方差最小原則 由此，用傳遞形式，得到( )( )tt lte lxx l( )( )min( )t lxttVare lVar e l第141頁/共185頁 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 預測誤差預測值101(,)( )(,) ( )t lttl it iit ltttE xx xx lGVar xx xVar e l第142頁/共185頁 估計誤差 期望 方差1111)(tlltlttGGle1022)(l

35、iitGleVar0)(leEt第143頁/共185頁 預測值 預測方差 9595置信區(qū)間)() 1()( 1plxlxlxtpt22121)1 ()(ltGGleVar12221112 ( )1tlx lzGG第144頁/共185頁 已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/ /每月） 今年第一季度該超市月銷售額分別為：101101，9696，97.297.2萬元 請確定該超市第二季度每月銷售額的95的置信區(qū)間 12100.60.3,(0,36)tttttxxxN第145頁/共185頁 四月份 五月份 六月份12.973 . 06 . 010) 1 (233xxx432.973

36、. 0) 1 (6 . 010)2(333xxx5952.97) 1 (3 . 0)2(6 . 010)3(333xxx第146頁/共185頁 Green函數(shù) 方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG6416.64)()3(96.48)()2(36)1 (222212032212032203GGGeVarGGeVarGeVar第147頁/共185頁 公式 估計結果)(96. 1)(,)(96. 1)(3333leVarlxleVarlx預測時期預測時期95置信區(qū)間置信區(qū)間四月份四月份（85.36，108.88） 五月份五月份（83.72，111.15） 六月份六月份（8

37、1.84，113.35） 第148頁/共185頁例2.5:北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預測圖 第149頁/共185頁MA(q)序列的預測 預測值 預測方差, ( ),qit l ii ltlqx llq 222112221(1), ( )(1),ltqlqVar e llq第150頁/共185頁 已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）： 最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預測數(shù)量如下： 預測未來5年該地區(qū)常住人口的95置信區(qū)間1231000.80.60.2tttttx年份年份統(tǒng)計人數(shù)統(tǒng)計人數(shù)預測人數(shù)預測人數(shù)200210411020031081002004105109第1

38、51頁/共185頁例3.15解 隨機擾動項的計算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120022xxxxxxttt第152頁/共185頁例3.15解 估計值的計算100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx第153頁/共185頁例3.15解 預測方差的計算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 ()3(41)1 ()2(25)1 (223222122322212222

39、12212ttttteVareVareVareVareVar第154頁/共185頁例3.15解 置信區(qū)間的計算預測年份預測年份95置信區(qū)間置信區(qū)間2005（99，119） 2006（83，109） 2007（87，115） 2008（86，114） 2009（86，114） 第155頁/共185頁ARMA(p,q)序列預測 預測值 預測方差 ( ),1 ( ),0ttt kx kkx kxk2222011 ( )()tlVar e lGGG第156頁/共185頁例3.16 已知模型為： 且 預測未來3期序列值的95的置信區(qū)間。 110.80.6ttttxx0025. 021000.3x1000

40、.01第157頁/共185頁例3.16解：估計值的計算14976. 0)2(8 . 0)3(1872. 0) 1 (8 . 0)2(234. 06 . 08 . 0) 1 (100100100100100100100 xxxxxx第158頁/共185頁例3.16解：預測方差的計算 Green函數(shù) 方差16. 02 . 0111210110GGGGG002664. 0)()3(0026. 0)()2(0025. 0)1 (222212010022120100220100GGGeVarGGeVarGeVar第159頁/共185頁例3.16解：置信區(qū)間的計算時期時期95置信區(qū)間置信區(qū)間101（0.1

41、36，0.332） 102（0.087，0.287） 103（0.049，0.251） 第160頁/共185頁 定義 所謂的修正預測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預測值 方法 在新的信息量比較大時把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型 在新的信息量很小時不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預測值，提高預測精度第161頁/共185頁 在舊信息的基礎上，xt+l的預測值為 假設新獲得一個觀察值xt+1，則 xt+l的修正預測值為 修正預測誤差為 預測方差為11 ( )tltltx lGG)() 1(1111111lxGGGGlxttltltltlt2201) 1(tllttGGle2

42、22201)()1(ltGGleVar第162頁/共185頁 假設新獲得p個觀察值xt+1,xt+p,則 xt+l的修正預測值為 修正預測誤差為 預測方差為)()(11lxGGplxttlptplpt110)(ptplltptGGple22120)()(plptGGpleVar第163頁/共185頁例3.14續(xù):假如四月份的真實銷售額為100萬元，求二季度后兩個月銷售額的修正預測值 計算四月份的預測誤差 計算修正預測值 計算修正方差443 (1)10097.122.88xx50.99) 3()2(16.99)2() 1 (34243414xGxxGx96.48)()2()2(36)1 ()1

43、(221203422034GGeVareVarGeVareVar第164頁/共185頁預測時期預測時期修正前置信區(qū)間修正前置信區(qū)間修正后置信區(qū)間修正后置信區(qū)間四月份四月份（85.36，108.88） 五月份五月份（83.72，111.15） （87.40，110.92） 六月份六月份（81.84，113.35） （85.79，113.21） 第165頁/共185頁1.已知AR(1)模型為：求Ext, Var(xt), 2 2, 22,補充:求Green函數(shù).210.7,(0,)ttttxxWN 第166頁/共185頁2.已知AR(2)模型為：且 1 10.5, 0.5, 2 2 0.3, 0.

44、3, 求 1, 2的值.補充:求 11, 22.21122,(0,)tttttxxxWN 第167頁/共185頁3.已知AR(2)模型為：求Ext, Var(xt), k, kk, k=1,2,3補充:求Green函數(shù).2(1 0.5 )(1 0.3 ),(0,)tttBB xWN 第168頁/共185頁 4.已知AR(2)模型為： 確定c的取值范圍,以保證xt為平穩(wěn)序列,并求 k .補充:求Green函數(shù).212,(0,)tttttxxcxWN 第169頁/共185頁5. 證明對任意常數(shù)c,如下定義的AR(3)序列： 一定是非平穩(wěn)序列2123,(0,)ttttttxxcxcxWN 第170頁/共185頁6.對于AR