高考數(shù)學(xué)復(fù)習點撥-攻克“抽象函數(shù)與分段函數(shù)”的常規(guī)題型

1、攻克“抽象函數(shù)與分段函數(shù)”的常規(guī)題型抽象函數(shù)是沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出函數(shù)的抽象表達關(guān)系式，利用這些關(guān)系式解題；分段函數(shù)是將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干個子區(qū)間，不同的子區(qū)間有不同的表達式.由于這兩類函數(shù)表達形式比較特殊，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點，而這兩類函數(shù)在函數(shù)內(nèi)容又占重要位置，本文就這兩類函數(shù)對其常見的題型歸納評析如下：一、確定解析式問題1.,一 例1已知y=f (x) ?兩足af (x) bf(-) cx,其中a、b、c都是非布的吊數(shù)，a xwb,求函數(shù)的解析式.【分析】y=f (x)沒有具體結(jié)構(gòu)，條件中的a、b、c a、b、c都是已知的常數(shù)，1一 . 一不可用待定系數(shù)法去求解

2、.此題可用 af(x) bf(-) cx,轉(zhuǎn)化出另一個式子，米 x用解方程組的方法求解.1111 一.【斛析】: af(x) bf(-) cx,以一代換x得：af(-) bf(x) c-,聯(lián)立兩 xxxx式消去 f(l)得：(a2 b2) f (x) c(ax b) .a2 b2,f (x)2 c 2 (ax -).xxa b x【點評】從所給式子出發(fā)，看成一個變式，把 x換成-以后得到方程組，故x視f(x)為一個未知量，解之得f(x),稱此法為“函數(shù)方程法”.求抽象函數(shù)解析式這是常用的方法.例2設(shè)f(x)是定義域為R的函數(shù)，且滿足f(-x)=-f(x)，當xe 0 , +8 )時，f (x)

3、 x(1 3/x),求f(x)的解析式.【分析】利用f(x)=f(x)求一8, 0上的表達式即可.【解析】: f( x)= f (x),又當x0,由已知f (x)x(1 x),則 f (x) x(1 取)x3,變形得： f(n) 上Cn3,由 f (1) f(2) 22f(2)得：f (n 1) n 112 2002一3f (2)f(1),又 f (1)=2002,于是有 f(2) 2002, . f(n),故3n(n 1)f (2002)= -2-.2003【點評】由 fn=n2 fn (n 1)2 fn1n3推出 fn的表達式，整個運算過程，都需要有一定的觀察分析能力，善于從式子結(jié)構(gòu)出發(fā)，

4、 向下進行，進而求出f (2002). x2 1(x 0)例4已知函數(shù)f(x),假設(shè)f(x)=10,求x=.2x(x 0)【分析】首先確定用那一部分的函數(shù)表達式求解x,從f(x)=10可以看出，要求函數(shù)的值是正數(shù)，故不用f(x)= 2xx0.【解析】由于f(x)=100,而當f (x)= -2xx0時，f(x)0,于是應(yīng) 用 f (x) x2 1(x 0),令 x2 1 =10, x=3,由于 x0,故 x= -3.三、定義域與值域問題例5已知函數(shù)y=f(2x+1)的定義域是0 , 1,求y=f(x)的定義域.【分析】函數(shù)y=f(2x+1)的定義域是0, 1,是指解析式中x的取值范圍， 2x+

5、1不是自變量，而是中間變量，f (2x+1)中的中間變量相當于f(x)中的x,所 以此題是已知x C 0 , 1,求2x+1的取值范圍.【解析】.函數(shù) y=f(2x+1)的定義域是0 , 1 , .0Wx01, . 1&2x03, .函數(shù)y=f(x)的定義域是1 , 3.【點評】假設(shè)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為a, b,求y=f(g(x)的定義域， 只需將g(x)代換為x,解不等式ag(x) 0,都有 f(x)0, f(3)= 3.1證明函數(shù)y=f (x)是R上的單調(diào)減函數(shù)；2試求函數(shù)y=f(x)在m| nm, nCZ且mn0 =上的值域.【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；由1的結(jié)論可知f

6、(m)、f(n)分 別是函數(shù)y4(x)在m) n上的最大值與最小值，故求出f (m與f(n)即可得所求 函數(shù)的值域.【證明】1任取 x1、x2 R ,且 x x2, f (x2) f x (x2 x1),由題設(shè)f (x+x)=f (x)+f (x),可知 f (x2)f (x1)f (x2x1) ,x10,f ( x2 x1)0,f(x2)f (x1)f (x2x1)1.2、奇偶性例9設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x+2)=-f(x),且xC0, 2時, f (x) 2x x2 .1求xC2, 0時，f(x)的表達式；2求 f(9)和 f( 9)的值；3證明f(x)是奇函數(shù).【分析】這

7、是一個分段函數(shù)問題，首先求出函數(shù)的表達式，然后在利用定義 證明函數(shù)是奇函數(shù).【解析】1,.x -2, 0時,x+2 0,2, . f (x)= f (x+2)= 2( x+2)(x+2)2,即 xC 2, 0時,f(x) x2 2x .2v f (x+2)= - f (x) , f (x+4)= - f (x+2)= f(x),，f(x)是以 4 為周期 的周期函數(shù).一. f(9)=f(1)=1 , f( 9)= f(-1)=-1,._2-(3) . f(x)2x x (x 0,2)2_x 2x(x 2,0)一 一 一2x又. f(x)+f (x)=2x22_-,f(x)+f(x)=0,x(

8、x)2( x), x 0,2一 一2一2x 2( x) ( x) , x 2,0xC2,2，.(乂)在2,2上為奇函數(shù).假設(shè) xC 4k 2,4k+2 , k C Z, 則一xC 4k2, 4k +2 , , , f (x)= f (x-4k) , f ( x)= f( x+4k),且 x 4k 與x+4kC 2, 2又.一x+4k=x 4k，f一x+4k=- f(x-4k), .f(x)= f(x),.f(x)為奇函數(shù).3、周期性例10設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，Xt任意x1、1X2 0,都有 f(xi x2)f(xi) f(x2),且 f(1)= a0.2一、，

9、111求 f(2)、f(-)；2證明f(x)是周期函數(shù).【分析】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱，可以 判定函數(shù)f(x)是周期函數(shù).1,【解析】1由 f(x1 x2) f(x1) f(x2), x1、x2 0,-,知f(x) f(|) f(|) 0, xe0, 1 , f(1) fg) fg) fg)2,1111111111f(-)f(-) f(-) f(-)2 0,又 f(1)=a0, . f(1) a2, f(-) a4.2444242依題意設(shè) y=f(x)關(guān)于直線 x=1 對稱，. f (x)= f (1+1 x) , f (x)= f (2 -x),又./一x)

10、= f (x) , . f (x)= f (x+2), 函數(shù) f(x)是 R 上的周期函數(shù), 且2是它的一個周期.五、反函數(shù)問題例11已知定義域為R的函數(shù)f(x)，對任息 x、yC R 恒有 f (xy)=f (x)+f (y).1求證：當 xC R* 時，f(-)f (x)；x2假設(shè)x1時，恒有f (x) 0 ,求證：f(x)必有反函數(shù);3設(shè)f 1(x)是f(x)的反函數(shù)，求證：f 1(x)在其定義域內(nèi)包有-1- 1- 1f (Xi X2) f (Xi) f (X2).11一.證明：1. f(1) f(x -) f(x) f(),則有 f(1)= f(1)+f(1), .有 Xxf(1)=0

11、 ,f(1) f(x).X2x1, x2 R ,且 x1 x2 時， 1 ,f (-2) 0 .X1X1由 f(x) f(- y) f(-) f(y),得 f (-) f (x) f ( y), yyyf(x2) f (X1) f (x2) 0,知f(x)在R*上為單調(diào)遞減函數(shù).；f(x)必有反X1函數(shù).3設(shè) f k) n1, f 1(X2) 1,.“) X,f(n2) X2 ,f(nn2)f(n【)”出)Xx2,即 f 1(x1X2)f1(x)f1(x?).例12已知函數(shù)f(x) x2 2tx 1,其定義域為x|0 x 1或7 x 8 .1假設(shè)f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，求t的取值范圍；2

12、在1的條件下，求反函數(shù)f 1(x) .解：1:“乂)在x R時其對稱軸為x=t.當t 0時，f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以此時f(x)有反函數(shù)；同理，當t 8時，f(x)在其定義域內(nèi)也有反函數(shù)；當1 t 4時，f(x)圖象在x 0,1的一段比在x 7,8的一段更靠近對稱軸.那么要使得f(x)在定義域內(nèi)有反函數(shù)，應(yīng)有f (0) f (7).則得1 50 14t ,解得1 t 7;9 當4 t 7時，同理應(yīng)有f(8) f(1),解得一t 7;2當0 t 1,或7 t 8時f(x)顯然不存在反函數(shù).有以上討論可知，f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)的t的范圍為：.、7 .、9.、t 0或 1 t 或t

13、 7或 t 8. 222由 y x2 2tx 1 ,得(x t)2 y t2 1 .當 t 0 時知，x t 0 , x t /121 .此時反函數(shù)為f 1(x)tJxt21 ,其中 x6516t,5014t22t,1當 t 8 時，x t后1 .此時反函數(shù)為f 1(x)tJxt21 ,其中 x6516t,5014t22t,1,7 . 當1 t 或t 7時，反函數(shù)為221 t.xt21(x2 2t,1 )f (x)、t xt21(x50 14t,6516t )六、相關(guān)不等式問題例12設(shè)函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x)w0,對于任意不、x2 R都 有 f (x1 x2) f (x1) f (

14、x2).(1)求證：f(x)0；(2)求證：f(x1 x2)3假設(shè) f(1)=2 ,解不等式 f(3x) 4f(x).【分析】由于函數(shù)y ax具有本例中f(x)的條件與結(jié)構(gòu)，因而在求解過程中應(yīng)以指數(shù)函數(shù)y axa 0且a*1 【解析】1令x1 x2 1，則f (t) , f (t)0,即 f(x) 0,.2f (x1)f (x1 x2 x2)f (x1為模型類比求解.f(；) fg) f2C2)，- f(t) W0，x2) f(x2),又 f (x) W0,f(x x2)f (X)f %)3. f(1)=2 ,2f(x)= f(1)f(x)= f(1 + x), 4 f(x)=2 2 f(x)=f(1)f(1 + x)= f (2+x) ,f (3x) 4f(x),即 f(3x) f(2+x).又 f(x)是定義域R上的增函數(shù)，. 3x2+x, - x1,故不等式f (3x) 4f(x)的 解集為x|x1.【點評】 在解有關(guān)抽象函數(shù)問題時， 可以根據(jù)題中的抽象函數(shù)關(guān)系式的特例， 即具體函 數(shù)，類比求解，這樣可以使解題方向明確例13已知函數(shù)f(x)的定義域為0, +8且在其上為增函數(shù)，滿足 f(xy尸f(x)+f(y), f(2)=1 ,試解不等式