結(jié)構(gòu)力學(xué)(第三章)-虛功原理

1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAy AAAPAxAyt 鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。(2) 超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求）施

2、工要求（3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、實(shí)功、實(shí)功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work)力力力作用點(diǎn)沿力方向上的位移力作用點(diǎn)沿力方向上的位移力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功PPW21力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的

3、功力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功tPWPCtt (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、實(shí)功、實(shí)功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（1）屬）屬同一同一體系；體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移）均為可能狀態(tài)。即位移 應(yīng)滿足應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件； 力狀態(tài)應(yīng)滿足力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)完全無關(guān)； (Principle of Virtual Work)二、廣義力二、廣義力(Generaliz

4、ed force)、廣義位移、廣義位移(Generalized displacement) P PWMW MABMMMMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 （1）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和某一位置處于平衡的必要和充分條件是：充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的虛位移，的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即做虛功之和為零。也即（2）剛體系的虛位移原理）剛體系的虛位移原理 去掉約束而代以相應(yīng)的去掉約束而代以相

5、應(yīng)的反力，該反力便可看成外反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：衡的必要和充分條件是： 對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的的虛位移，作用于剛虛位移，作用于剛體系的所有外力所體系的所有外力所做虛功之和為零。做虛功之和為零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP原理的表述：原理的表述： 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功在虛位移上所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛形體各微段

6、外力在微段變形位移上作的虛功之和功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成立。也即恒有如下虛功方程成立We = =Wi（3）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算利用變形連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外

7、力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計(jì)算利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+d

8、Wi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算利用變形連續(xù)

9、性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計(jì)算利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上

10、的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b幾個(gè)問題幾個(gè)問題:1. 虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是條件。因此原理僅是必要性命題必要性命題。2. 原理的證明表明原理的證明表明:原理適用于原理適用于任何任何 (線性和非線性線性和非線性)的的

11、變形體變形體，適用于，適用于任何結(jié)構(gòu)任何結(jié)構(gòu)。3. 原理可有兩種應(yīng)用：原理可有兩種應(yīng)用： 實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將將平衡問題化為幾何問題來求解平衡問題化為幾何問題來求解。 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將將位移分析化為平衡問題來求解位移分析化為平衡問題來求解。Wi 的計(jì)算的計(jì)算:Wi =N+Q+Mds微段外力微段外力: 微段變形可看成由如下幾部分組成微段變形可看成由如下幾部分組成:（4）變形體虛功方程的展開式）變形體虛功方程的展開式MdMM NdNN QdQQqds微段剪

12、切微段剪切ds微段拉伸微段拉伸dsds微段彎曲微段彎曲對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有:We =N+Q+Mds 1）虛功原理用于）虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與與實(shí)際的實(shí)際的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)之間。之間。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端約束并代以反力端約束并代以反力 X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直線直線待分析平衡的力狀態(tài)待分析平衡的力狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)0CXPX由外力虛功總和為零，

13、即：由外力虛功總和為零，即：baCX/將將代入得代入得:abPX/通常取通常取xX 1單位位移法單位位移法(Unit-Displacement Method)(1)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān),故可設(shè)故可設(shè)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題用幾何法來解靜力平衡問題0 BM1 x例例. 求求 A 端支座發(fā)生豎向位移端支座發(fā)生豎向位移 c 時(shí)引起時(shí)引

14、起C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 . 2）虛功原理用于）虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)與與實(shí)際的實(shí)際的協(xié)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)調(diào)位移狀態(tài)之間。之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載單位荷載。ABaCbAC c1ABCAY由由 求得：求得： 0BMabYA/ 01cYAacb/解得：解得： 這是這是單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也稱為提出，故也稱為M

15、axwell-Mohr Method(1)所建立的所建立的虛功方程虛功方程,實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是幾何方程幾何方程。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力可設(shè)單位廣義力 P=1(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。平衡關(guān)系。(4)是用靜力平衡法來是用靜力平衡法來解幾何問題。解幾何問題。虛功方程為：虛功方程為：單位位移法單位位移法的虛功方程的虛功方程 平衡方程平衡方程單位荷載法單位荷載法的虛功方程的虛功方程 幾何方程幾何方程 第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為而將第二種應(yīng)用稱為“虛力原理虛力原理”。更確切的。更確切的說法為，說法為，