第六章結構位移計算

1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAy AAAPAxAyt 鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。(2) 超靜定、動力和穩(wěn)定計算超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求）施

2、工要求公路工程：公路工程：1/600跨度跨度（3）理想聯結）理想聯結 (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、實功、實功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work)力力力作用點沿力方向上的位移力作用點沿力方向上的位移力在自身所產生的位移上所作的功力在自身所產生的位移上所作的功P

3、PW21力在非自身所產生的位移上所作的功力在非自身所產生的位移上所作的功tPWPCtt (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、實功、實功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（1）屬）屬同一同一體系；體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移）均為可能狀態(tài)。即位移 應滿足應滿足變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件； 力狀態(tài)應滿足力狀態(tài)應滿足平衡條件平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關完全無關； (Principle of Virtual Work)二

4、、廣義力二、廣義力(Generalized force)、廣義位移、廣義位移(Generalized displacement) P PWMW MABMMMMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(（1）剛體系的虛位移原理）剛體系的虛位移原理 去掉約束而代以相應的去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：衡的必要和充分條件是： 對于任何對于任何可能可能的的虛位移，作用于剛虛位移，作用于剛體系的所有外力所體系的所有外力所做虛功之和為零。做虛功之和為零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/20232

5、22 PPP原理的表述：原理的表述： 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功在虛位移上所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成立。也即恒有如下虛功方程成立（2）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理We = =Wi外力虛功外力虛功 = = 變形虛功變形虛功變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用利用變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件計算計算 所有微段的外力虛功之和

6、所有微段的外力虛功之和We微段外力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用利用平衡條件平衡條件條件計算條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功

7、 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b為什么為什么d dWn0?(0?(相互作用力相互作用力+協(xié)調位移協(xié)調位移) ) 為什么為什么dWdWn n0?(0?(剛體位移剛體位移+ +平衡條件平衡條件) ) 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒

8、恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計算利用變形連續(xù)性條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平

9、衡條件條件計算利用平衡條件條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b幾個問題幾個問題:1. 虛功原理里存在兩個狀態(tài)：虛功原理里存在兩個狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調條件。力

10、狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調條件。2. 原理的證明表明原理的證明表明:原理適用于原理適用于任何任何 (線性和非線性線性和非線性)的的變形體變形體，適用于，適用于任何結構任何結構。3. 原理可有兩種應用：原理可有兩種應用： 實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設的協(xié)調位移狀態(tài)，實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設的協(xié)調位移狀態(tài)，將將平衡問題化為幾何問題來求解平衡問題化為幾何問題來求解。 實際待分析的協(xié)調位移狀態(tài)，虛設的平衡力狀態(tài)，實際待分析的協(xié)調位移狀態(tài)，虛設的平衡力狀態(tài)，將將位移分析化為平衡問題來求解位移分析化為平衡問題來求解。Wi 的計算的計算:Wi =N+Q+Mds微段外力微段外力: 微段變形

11、可看成由如下幾部分組成微段變形可看成由如下幾部分組成:（3）變形體虛功方程的展開式）變形體虛功方程的展開式MdMM NdNN QdQQqds微段剪切微段剪切ds微段拉伸微段拉伸dsds微段彎曲微段彎曲對于直桿體系，由于變形互不耦連，有對于直桿體系，由于變形互不耦連，有:We =N+Q+Mds 1）虛位移原理虛位移原理: 虛功原理用于虛功原理用于虛設的虛設的協(xié)調位協(xié)調位移狀態(tài)移狀態(tài)與與實際的實際的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)之間。之間。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端約束并代以反力端約束并代以反力 X，構造相應的虛位移狀態(tài)，構造相

12、應的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直線直線待分析平衡的力狀態(tài)待分析平衡的力狀態(tài)虛設協(xié)調的位移狀態(tài)虛設協(xié)調的位移狀態(tài)0CXPX由外力虛功總和為零，即：由外力虛功總和為零，即：baCX/將將代入得代入得:abPX/通常取通常取xX 1單位位移法單位位移法(Unit-Displacement Method)(1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是實際受力狀態(tài)的平衡方程實際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實際力狀態(tài)無關虛位移與實際力狀態(tài)無關,故可設故可設(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。求解時關鍵一

13、步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題用幾何法來解靜力平衡問題0 BM1 x例例. 求求 A 端支座發(fā)生豎向位移端支座發(fā)生豎向位移 c 時引起時引起C點的豎向位移點的豎向位移 . 2） 虛力原理虛力原理: 虛功原理用于虛功原理用于虛設的虛設的平衡力狀平衡力狀態(tài)態(tài)與與實際的實際的協(xié)調位移狀態(tài)協(xié)調位移狀態(tài)之間。之間。解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載單位荷載。ABaCbAC c1ABCAY由由 求得：求得： 0BMabYA/ 01cYAa

14、cb/解得：解得： 這是這是單位荷載法單位荷載法 (Unit Load Method)(1)所建立的所建立的虛功方程虛功方程,實質上是實質上是幾何方程幾何方程。(2)虛設的力狀態(tài)與實虛設的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關，故際位移狀態(tài)無關，故可設單位廣義力可設單位廣義力 P=1(3)求解時關鍵一步是求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。平衡關系。(4)是用靜力平衡法來是用靜力平衡法來解幾何問題。解幾何問題。虛功方程為：虛功方程為：單位位移法單位位移法(虛位移原理虛位移原理) 平衡方程平衡方程單位荷載法單位荷載法 (虛力原理虛力原理) 幾何方程幾何方程 6.3 荷載作用產生的位移

15、計算荷載作用產生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法1P求求k點豎向位移點豎向位移.由變形體虛功方程由變形體虛功方程:變形協(xié)調的位移狀態(tài)平衡的力狀態(tài)We =Wi 適用于各種桿件體系適用于各種桿件體系(線性線性,非線性非線性).We =P iP P=1iiP位移位移廣義荷載廣義荷載Wi =NP +QP +MP ds iP =NP +QP +MP ds MQN 6.3 荷載作用產生的位移計算荷載作用產生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法kiP1P求求k點豎向位移點豎向位移.變形協(xié)調的位移狀態(tài)平衡的力狀態(tài)-適用于各種桿件體系適用于各種桿件體系(線性線性,非線性非線性).對于由對于由線彈性線彈性直桿

16、直桿組成的結構，有：組成的結構，有：EIM ,GAkQ ,EANPPPPPPdsEIMMGAQkQEANNPPPip 適用于線彈性適用于線彈性直桿體系直桿體系,iP =NP +QP +MP ds qPQPM1 PQMxl dsEIMMGAQkQEANNPPPpA 例例 1：已知圖示梁的：已知圖示梁的E 、G,求求A點的豎向位移。點的豎向位移。解：構造虛設單位力狀態(tài)解：構造虛設單位力狀態(tài).0)(, 0)(xNxNP)()(, 1)(xlqxQxQP1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPlhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10

17、/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設24GAlEIkMQ1001MQ 對于細長桿對于細長桿,剪切變形剪切變形對位移的貢獻與彎曲變對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計形相比可略去不計.例例 2：求曲梁：求曲梁B點的豎向位移點的豎向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示RddsNPNQPQRMPRMPPPsin,sincos,cossin,sinP=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNPPPip )(4443EIPRGAkPREAPR)(5 . 2/,10/1/, 5/6,1

18、2/,3鋼砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3設12001MN4001MQ 小曲率桿可利用直桿公式近小曲率桿可利用直桿公式近似計算似計算;軸向變形軸向變形,剪切變形對位剪切變形對位移的影響可略去不計移的影響可略去不計 6.3 荷載作用產生的位移計算荷載作用產生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法1.梁與剛架梁與剛架二二.位移計算公式位移計算公式dsEIMMPip 2.桁架桁架dsEANNPip EAlNNP3.組合結構組合結構 AElNNdsEIMMPPip4.拱拱dsEANNEIMMPPip解：解：例例:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點水平位

19、移點水平位移.Paak100PPP2NPEAlNNPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA練習練習:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點豎向位移點豎向位移.aaPk00P2PNPEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEA11122N11021N例例: 1)求求A點水平位移點水平位移 6.3 荷載作用產生的位移計算荷載作用產生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法二二.位移計算公式位移計算公式 所加單位廣義力與所求廣義位移相對應所加單位廣義力與所求廣義位移相對應,該單位該單位廣義力在所求廣義位移上做功廣義力在所求廣義位移上

20、做功.三三.單位力狀態(tài)的確定單位力狀態(tài)的確定PAB2)求求A截面轉角截面轉角3)求求AB兩點相對水平位移兩點相對水平位移4)求求AB兩截面相對轉角兩截面相對轉角1P1P1P1PBA?AB(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。P=1?A(g)A

21、?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。 在桿件數量多的情況下在桿件數量多的情況下,不方便不方便. 下面介紹下面介紹計算位移的圖乘法計算位移的圖乘法. EIsMMPiPd (Graphic Multiplication Method and its Applications)剛架與梁的位移計算公式為：剛架與梁的位移計算公式為：一、圖乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(對于等對于等截面桿截面桿)(對于直桿對于直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式

22、為圖乘法求位移公式為: EIycip 圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么?圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當時年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院為莫斯科鐵路運輸學院的的學生學生。例例. 試求圖示梁試求圖示梁B端轉角端轉角.解解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MP)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在為什么彎矩圖在桿件同側圖乘結桿件同側圖乘結果為正果為正?M例例. 試求圖示結構試求圖示結構B點豎向位移點豎向位移.解解:sEIMMPBydEIycPlMP)(34)3221(13EIPlllPlllPl

23、EI1lPEIBEIllM二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法C2nl2)1(nln1nhl h二次拋物線二次拋物線M圖圖21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM圖圖281qlBAq1例例:求圖示梁求圖示梁(EI=常數常數,跨長為跨長為l)B截面轉角截面轉角B解解:三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIBM三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10E

24、I4020MP3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 當兩個圖形均當兩個圖形均為直線圖形時為直線圖形時,取那取那個圖形的面積均可個圖形的面積均可.M)(16)431212214212243221221(12EIPlPllPlllPllEIB4/PlMP三、圖形分解三、圖形分解B求求1)(16)21421(12EIPlPllEIB 取取 yc的圖形必的圖形必須是直線須是直線,不能是曲不能是曲線或折線線或折線.AB2/ lEI2/ lP2/1M能用能用 M圖面積乘圖面積乘MP圖豎標嗎圖豎標嗎?三、圖形分解三、圖形分解B

25、求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMP)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB402060204020)(100)21102032601021(1EIEIBM三、圖形分解三、圖形分解B求求1MP)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlM三、圖形分解三、圖形分解C求求C截面豎向位移截面豎向位移MP)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqll

26、llqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqM三、圖乘法小結三、圖乘法小結1. 圖乘法的應用條件：圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數；為常數；（2）兩個）兩個M圖中應有一個是直線；圖中應有一個是直線；（3） 應取自直線圖中。應取自直線圖中。cy2. 若若 與與 在桿件的同側，在桿件的同側， 取正值；取正值；反之，取負值。反之，取負值。cycy3. 如圖形較復雜，可分解為簡單圖形如圖形較復雜，可分

27、解為簡單圖形. 例例 1. 已知已知 EI 為常數，求為常數，求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 。CD 三、應用舉例三、應用舉例AlqBhq8/2qlh11hMP)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖M 例例 2. 已知已知 EI 為常數，求鉸為常數，求鉸C兩側截面相對轉角兩側截面相對轉角 。C三、應用舉例三、應用舉例解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11M)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql

28、 例例 3. 已知已知 EI 為常數，求為常數，求A點豎向位移點豎向位移 。A三、應用舉例三、應用舉例)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11M2/ l 例例 4. 圖示梁圖示梁EI 為常數，求為常數，求C點豎向位移。點豎向位移。三、應用舉例三、應用舉例M2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(24122123

29、1132EIqllqllEIEIycc32/2ql 例例 4. 圖示梁圖示梁 EI 為常數，求為常數，求C點豎向位移點豎向位移 。三、應用舉例三、應用舉例M2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例 4. 圖示梁圖示梁 EI 為常數，求為常數，求C點豎向位移點豎向位移 。M2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllE

30、IEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2qlAlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 圖示結構圖示結構 EI 為常數，求為常數，求AB兩點兩點(1)相對豎向位相對豎向位移移,(2)相對水平位移相對水平位移,(3)相對轉角相對轉角 。MMP 練習練習11Pll11llM0EIycABX0EIycAB對稱彎矩圖對稱彎矩圖反對稱彎矩圖反對稱彎矩圖 對稱結構的對稱彎矩圖與對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘其反對稱彎矩圖圖乘,結果結果為零為零.1111M 作變形草圖作變形草圖PPPl1111繪制變形圖時，

31、應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：反彎點的利用。如：求求B點水平位移。點水平位移。練習練習解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各桿剛度各桿剛度可能不同可能不同Ml 已知已知 EI 為常數，求為常數，求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 ,并畫出變形圖。并畫出變形圖。CD MPl11lM)(1211)832213221(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷

32、載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlCDqlq2qlql 已知已知 EI 為常數，求為常數，求B截面轉角。截面轉角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖ABkN/m2m4kN6m2m31124)(38)21443213112421(1EIEIEIycBM)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求求B點水平位移點水平位移,EI=常數。常數。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2lM練習練習解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載

33、彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB求求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11Mll 已知：已知： E、I、A為常數，求為常數，求 。Cy ABCP2l2laD解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖)(4482211432)4221(23EAPaEIPlaPEAlPllEICyABCP2laD4PlPM2/PNP2lABC12laD4lM2/1iN2l若把二力桿換成彈簧若把二力桿換成彈簧,該如何計算該如何計算?B支座處

34、為剛度支座處為剛度k的彈簧，該如何計算的彈簧，該如何計算C點豎向位移？點豎向位移？4PlPM2/PPS 4lM21iSABC2lk2l=1PABC2lk2lkSSsEIMMiPPd練習練習解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB求求A點豎向位移點豎向位移,EI=常數常數 。1/2MMPPl2/Pl2/PllPlAk1k6. 5 靜定結構溫度變化時的位移計算靜定結構溫度變化時的位移計算 (Analysis of Displacements in a Sta

35、tically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)6. 5 靜定結構溫度變化時的位移計算靜定結構溫度變化時的位移計算變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kP其中其中:荷載作用荷載作用求求K點豎向位移點豎向位移./EIkPPMWe =1kt溫度作用溫度作用求求K點豎向位移點豎向位移.關鍵是計算微段的溫度變形關鍵是計算微段的溫度變形pidMWpdMkpdsQduNttpidMW設溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫設溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度度 ，上、下邊緣的溫差，上、下邊緣的溫差 ,線膨脹系數

36、線膨脹系數0tt 12tttstutdd0 hththtthhtt211212110 )(微段的溫度變形分析微段的溫度變形分析hsttdd 無剪應變無剪應變hsMtsNthstMstNMNdddd)ddsQdu(00ttkt若若,/ 221hhh2120/)(tttMithtlNt)(0溫度引起的位移計算公式溫度引起的位移計算公式:hsMtsNtitdd0對等對等 截截 面面 直直 桿桿:上式中的正、負號：上式中的正、負號：若若 和和 使桿件的同一邊使桿件的同一邊產生拉伸變形，其乘積為正。產生拉伸變形，其乘積為正。 Mt 例：例： 剛架施工時溫度為剛架施工時溫度為20 ，試求冬季外側溫度為，試

37、求冬季外側溫度為 -10 ，內側溫度為，內側溫度為 0 時時A點的豎向位移點的豎向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：構造虛擬狀態(tài)解：構造虛擬狀態(tài)CtCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lM1Nl )(125llhllh10121101)(.m0050例：例： 求圖示桁架溫度改變引起的求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉角桿轉角.解：構造虛擬狀態(tài)解：構造虛擬狀態(tài)lNtiAB0N41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement)1c2c3cKKKC1K1R2R3R變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:計算公式為計算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX