292反證法張鳳娟

1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材華 師 版 29.2 反證法反證法輝縣市城北中學(xué)輝縣市城北中學(xué) 張鳳娟張鳳娟 中國古代有一個(gè)叫中國古代有一個(gè)叫路邊苦路邊苦李李的故事：王戎的故事：王戎7歲時(shí)，與小伙歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不摘取果子，只有王戎站在原地不動(dòng)。有人問王戎為什么？動(dòng)。有人問王戎為什么？王戎回答說：王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李。樹在道邊而多子，此必苦李?！毙』锇檎∫粋€(gè)嘗了一下果然是苦李。小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李。 王戎是怎樣知道李子是苦的呢？他運(yùn)用了怎

2、王戎是怎樣知道李子是苦的呢？他運(yùn)用了怎樣的推理方法？樣的推理方法？解析：解析：由由C=90C=90可知是直角三可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知角形，根據(jù)勾股定理可知 a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三邊有何關(guān)系？為什三邊有何關(guān)系？為什么？么？A AC CB Ba ab bc c探究：探究：假設(shè)假設(shè)a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理的逆定理可，由勾股定理的逆定理可知三角形知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形

3、，且C=90C=90，這與，這與已知條件已知條件C90C90矛盾。假設(shè)不成立，從而說矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論明原結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CB B 若將上面的條件改為若將上面的條件改為“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，請，請問結(jié)論問結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立嗎？請說明成立嗎？請說明理由。理由。a ab bc c問題問題：l自學(xué)課本自學(xué)課本80頁到頁到81頁，寫下摘要疑惑頁，寫下摘要疑惑l1、摘要、摘要：l什么叫反證法：什么叫反證法：l反證法證題的基本步驟：反

4、證法證題的基本步驟：l（1） 命題的結(jié)論的反面是正確的；（反設(shè)）命題的結(jié)論的反面是正確的；（反設(shè)）l（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與_ 矛矛 盾；（歸謬）盾；（歸謬）l（3）由）由 判定假設(shè)不正確，從而判定假設(shè)不正確，從而 命題的結(jié)命題的結(jié)論是正論是正確的.（結(jié)論）結(jié)論）l2、疑惑、疑惑：在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證：求證：B B C CA AB BC C證明：假設(shè)證明：假設(shè) ，則則 （ ）這與這與矛盾矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立B B C CABABACAC等角對等邊等角對等邊已知已知ABACABACB B C C小結(jié)：小結(jié)：

5、反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立邏輯推理得出矛盾邏輯推理得出矛盾肯定原結(jié)論正確肯定原結(jié)論正確.那么過那么過O，O兩點(diǎn)就有兩點(diǎn)就有_條直線，這與條直線，這與“過兩過兩點(diǎn)點(diǎn) ”矛盾，所以假設(shè)不成立，矛盾，所以假設(shè)不成立，則則 。求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).已知：已知： ； 求證：求證： ；CBADO兩條兩條相交直相交直線線AB與與CDAB與與CD只有一個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn).兩兩有且只有一有且只有一條條直直線線。AB與與CD只有一個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn).O證明：假設(shè)證明：假設(shè)AB，CD相交于兩個(gè)交點(diǎn)相交于兩個(gè)交點(diǎn)O與與O，例例1 1求證：如

6、果兩條直線都和第三條直線平行，求證：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。那么這兩條直線也互相平行。(1)你首先會選擇哪一種證明方法？你首先會選擇哪一種證明方法？(2)如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？什么產(chǎn)生矛盾？定理定理幾何語言表示：幾何語言表示：ac，bc， ab例例2 2A A 證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a與與b b不平行不平行，則可設(shè)它們相交于，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)點(diǎn)A A。 小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出的結(jié)論，除了可以與根據(jù)假設(shè)推出的結(jié)論，除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的

7、定理、公理矛盾定理、公理矛盾. 已知：如圖有已知：如圖有a a、b b、c c三條直線，且三條直線，且a/c,b/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/babc那么過點(diǎn)那么過點(diǎn)A A 就有就有兩條直線兩條直線a a、b b與直線與直線c c平行，平行，這與這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行知直線平行”矛盾矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。 a/b.a/b. 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于于或等于6060。已知：已知：ABCABC求證：求證：ABCABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中至少有一個(gè)

8、內(nèi)角小于或等于6060. .證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則。，即即。這與這與矛盾假設(shè)不成立矛盾假設(shè)不成立ABCABC中沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180A+B+C180A+B+C180三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180180度度ABCABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060. .點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：“至少至少”的反面是的反面是“沒有沒有”，“至多至多”的反面是的反面是“不止不止”！例例3 3已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=A

9、CAB=AC，APBAPCAPBAPC。求證：求證：PBPCPBPCA AB BC CP P證明：假設(shè)證明：假設(shè)PB=PCPB=PC。 在在ABPABP與與ACPACP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（公共邊）（公共邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S)S.S.S) APB=APC( APB=APC(全等三角形對應(yīng)邊全等三角形對應(yīng)邊相等）相等） 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾，矛盾，假設(shè)不成立假設(shè)不成立. . PBPC PBPC 美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明,小偷翻進(jìn)小偷翻

10、進(jìn)鮑克家偷走了許多東西鮑克家偷走了許多東西,根據(jù)跡象表明小偷就根據(jù)跡象表明小偷就是本村人是本村人,華盛頓靈機(jī)一動(dòng)華盛頓靈機(jī)一動(dòng),對全村人講起了對全村人講起了故事故事:“黃蜂是上帝的使者黃蜂是上帝的使者,能辨別人間的真能辨別人間的真假假.”忽然華盛頓大聲喊道忽然華盛頓大聲喊道:“小偷就是他，黃小偷就是他，黃蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！”大家回頭張望，看著那個(gè)想把帽子上的黃蜂大家回頭張望，看著那個(gè)想把帽子上的黃蜂趕走的人，其實(shí)哪有什么黃蜂？華盛頓大喝趕走的人，其實(shí)哪有什么黃蜂？華盛頓大喝一聲：一聲：“小偷就是他！小偷就是他！”你知道華盛頓是如何推理的嗎？

11、你知道華盛頓是如何推理的嗎？華盛頓抓小偷華盛頓抓小偷假設(shè)結(jié)論的反面正確假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證推理論證得出結(jié)論得出結(jié)論回顧與歸納回顧與歸納反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論 得出矛盾（已知、得出矛盾（已知、公理、定理等）公理、定理等） 假設(shè)不成立，原假設(shè)不成立，原命題成立命題成立.大家議一議！大家議一議！ 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你們覺得哪些題型宜用反證法 ？ 我來告訴你（我來告訴你（經(jīng)驗(yàn)之談經(jīng)驗(yàn)之談） （1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陳述的命題；式陳述的命題；（3）關(guān)于）關(guān)于“唯一性唯一性”結(jié)論的命題；結(jié)

12、論的命題；（4）一些不等量命題的證明；）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等等等.(如平行線的傳遞性的證明）如平行線的傳遞性的證明）1“ab Ca=b Da=b或或ab2用反證法證明用反證法證明“若若ac，bc，則，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（時(shí)，應(yīng)假設(shè)（ ） Aa不垂直于不垂直于c Ba，b都不垂直于都不垂直于c Cab Da與與b相交相交3用反證法證明命題用反證法證明命題“在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等所對的角也不相等”時(shí)，應(yīng)假設(shè)時(shí)，應(yīng)假設(shè) 4用反證法證明用反證法證明“若若a2，則，則a4”時(shí)，應(yīng)假設(shè)時(shí)，應(yīng)假設(shè) 5請說出下列結(jié)論的反面請說出下列結(jié)論的反面:（1）d是正數(shù)是正數(shù); （2）a0;