第八章1多元函數(shù)微分學相關概念

1、 多元微積分的概念、理論、方法是一元微多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，積分中相應概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法）又有許多本質的不同，要善于進行比較，法）又有許多本質的不同，要善于進行比較，既要認識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注既要認識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。解，融會貫通。 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)微積分在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)

2、微積分，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數(shù)的函數(shù)多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。 重點重點 多元函數(shù)基本概念，偏導數(shù)，全微分，多元函數(shù)基本概念，偏導數(shù)，全微分，復合函數(shù)求導，隱函數(shù)求導，偏導數(shù)的幾何復合函數(shù)求導，隱函數(shù)求導，偏導數(shù)的幾何應用，多元函數(shù)極值。應用，多元函數(shù)極值。難點難點復合函數(shù)求導，多元函數(shù)極值。復合函數(shù)求導，多元函數(shù)極值。 函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質上要出現(xiàn)一些新東西，但二元函數(shù)本質上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，從二

3、元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推， 因此這里基本上只討論二元函數(shù)。因此這里基本上只討論二元函數(shù)。掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，了解二元極限、連續(xù)了解二元極限、連續(xù)深刻理解二元函數(shù)偏導數(shù)，能熟練求出一深刻理解二元函數(shù)偏導數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導數(shù)，階和高階偏導數(shù)，掌握全微分概念掌握全微分概念會求復合函數(shù)偏導數(shù)，掌握隱函數(shù)的求會求復合函數(shù)偏導數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導方法，導方法，會求曲線的切線、法平面，曲面的切平會求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，面和法線，會求多元函數(shù)極值會求多元函數(shù)極值基本要求基本要求（1）鄰域）鄰域 設設),(000yxP是是x

4、oy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU， ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內點的內點為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設設EPEPUPPE 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念.為為開開集集則則稱稱的的點點都都是是內內點點，如如果果點點集集EE例如，例如，41),(221 yxy

5、xE即為開集即為開集EP 的的邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內內既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEP的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結起來，連結起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內內是開集如果對于是開集如果對于設設DDDDEP 例如，例如，.41| ),(22 yxyx開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.例如，例如，.41| ),(

6、22 yxyxxyoxyo則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點集對于點集EEPKAPKAPAEPKE 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域 41 | ),(22 yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；0| ),( yxyx無界開區(qū)域無界開區(qū)域（3）聚點）聚點 設設 E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內內總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點

7、點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點.xyo 內點一定是聚點；內點一定是聚點； 邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；例例10| ),(22 yxyx(0,0)既是邊界點也是聚點既是邊界點也是聚點 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E例如例如,10| ),(22 yxyx(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合例如例如,1| ),(22 yxyx邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合（4）n維空間維空間 設設n為為取取定定的的一一個個自自然然數(shù)數(shù)，我我們們稱稱n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間

8、，而而每每個個n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱稱為為n維維空空間間中中的的一一個個點點，數(shù)數(shù)ix稱稱為為該該點點的的第第i個個坐坐標標. n維空間的記號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地當特殊地當 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：鄰域： nRPPPPPU ,|),(00 內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定

9、義設兩點為設兩點為（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義 設設D是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應應，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.例例1 1 求求 的定義域的定義域222

10、)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP ),(，對應的函數(shù)值為，對應的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標、為橫坐標、y為縱坐為縱坐標、標、z為豎坐標在空間就確定一點為豎坐標在空間就確定一點),(zyxM，當當x取遍取遍D上一切點時，得一個空間點集上一切點時，得一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個

11、點集稱，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如右圖）（如右圖）二元函數(shù)的圖形通二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面常是一張曲面.定 義定 義 1 1 設 函 數(shù)設 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點，如果對于任意給定的是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點，都有點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時的極限，時的極限，記為記為 Ayxfyyxx

12、),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限（1）定義中）定義中 的方式可能是多種多樣的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質差異的根本原這是產(chǎn)生本質差異的根本原因。因。0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二

13、元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復習，寫出有關結論等價無窮小代換等，建議自行復習，寫出有關結論以鞏固和加深理解。以鞏固和加深理解。說明：說明：01sin)(lim222200 yxyxyx證證01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當當 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結論成立原結論成立例例2 2 求證求證 例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyx

14、yx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4 4 證明證明 不存在不存在 26300limyxyxyx 證證取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),

15、(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關關，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處極限不存在處極限不存在 定義定義 2 2 設設n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點的 一 切 點

16、DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當當0PP 時的極限，記為時的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有 設設n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點且是其聚點且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點在點0P處連續(xù)處連續(xù). . 設設0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.例例5 5 討

17、論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 當當 時時 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220lim

18、xkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間

19、的任何值至少一次多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點點在在的的定定義義域域的的內內點點，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時時，如

20、如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質四、小結四、小結 若點若點),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點點),(00yx時，函數(shù)時，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考題解答思考題解答練練 習習 題題一一、 填填空空題題: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_ _ _ _ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_ _ _ _