3月中考數(shù)學(xué) 特殊四邊形證明及計算提高練習(xí) 試題

1、中考特殊四邊形證明及計算提高練習(xí)平行四邊形1（2012威海）（1）如圖，ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)求證：AE=CF（2）如圖，將ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處，設(shè)FB1交CD于點G，A1B1分別交CD，DE于點H，I求證：EI=FG2（2011貴陽）閱讀在平面直角坐標系中，以任意兩點P（ x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為運用（1）如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為_（2）在直角坐標系中，

2、有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標3（2007黑龍江）在ABC中，AB=AC，點P為ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PEAC交AB于點E，PFAB交BC于點D，交AC于點F若點P在BC邊上（如圖1），此時PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明4（2006泰安）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，AEBD，CFBD，

3、垂足分別為E，F(xiàn)，連接AF，CE（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BAD的平分線與FC的延長線交于點G，則ACG是等腰三角形嗎？并說明理由5（2006陜西）如圖，在RtABC中，BAC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使AD=AB連接DE，DF（1）求證：AF與DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的長6如圖，以ABC三邊為邊在BC同側(cè)作三個等邊ABD、BCE、ACF請回答下列問題：（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形菱形7（2010盤錦）如圖，ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為

4、邊作等邊ADE，過點C作CFDE交AB于點F（1）若點D是BC邊的中點（如圖），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出AEF和ABC的面積比；（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由8（2011海南）如圖，在菱形ABCD中，A=60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ（1）求證：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（結(jié)果保留根號）9（2009龍巖）在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿ABC向終點C運動，連接DM交AC于點N（1）如圖1，當(dāng)點M在

5、AB邊上時，連接BN：求證：ABNADN；若ABC=60°，AM=4，ABN=，求點M到AD的距離及tan的值（2）如圖2，若ABC=90°，記點M運動所經(jīng)過的路程為x（6x12）試問：x為何值時，ADN為等腰三角形10（2007常德）如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點時，連接BG交AC于F，過F作FHCD交BC于H，可以證明結(jié)論成立（考生不必證明）（1）探究：如圖2，上述條件中，若G在CD的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（2）計算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60°，G在直線CD

6、上，且CG=16，連接BG交AC所在的直線于F，過F作FHCD交BC所在的直線于H，求BG與FG的長（3）發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論還成立嗎？11（2001河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動；設(shè)點M移動的時間為t秒（0t10）（1）點N為BC邊上任意一點，在點M移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；（2）點N從點B（與點M出發(fā)的時刻相同）以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；（3）點N從點B（與點M出發(fā)的時

7、刻相同）以每秒a（a2）個單位長的速度沿著射線BC方向（可以超越C點）移動，過點M作MPAB，交BC于點P當(dāng)MPNABC時，設(shè)MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時的值矩形12（2002無錫）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點（1）在邊AD上取一點M，使點A關(guān)于BM的對稱點C恰好落在EF上設(shè)BM與EF相交于點N，求證：四邊形ANGM是菱形；（2）設(shè)P是AD上一點，PFB=3FBC，求線段AP的長13如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（ab），假定頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，現(xiàn)給出（）

8、、（）、（）三個命題：命題（）：圖中，若AH=BG=AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題（）：圖中，若點E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題（）：圖中，若EF垂直平分對角線AC，變BC于點E，交AD于點F，交AC于點O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形請解決下列問題：（1）命題（）、（）、（）都是真命題嗎？請你在其中選擇一個，并證明它是真命題或假命題；（2）畫出一個新的矩形內(nèi)接菱形（即與你在（1）中所確認的，但不全等的內(nèi)接菱形）（3）試探究比較圖，中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關(guān)系14在平行四

9、邊形ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；（2）如圖2，若ABC=90°，M是EF的中點，求BDM的度數(shù)；（3）如圖3，若ABC=120°，請直接寫出BDG的度數(shù)15如圖1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點O（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QRBD，垂足為點R四邊形PQED的面積是

10、否隨點P的運動而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積16（2011清遠）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DFAE，垂足為F，連接DE（1）求證：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tanEDF的值17（2010大慶）已知：如圖，正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上，點G在CD上正方形ABCD的邊長為a，矩形DEFG的長DE為b，寬DG為3（其中ab3）若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個單位的長度的速度運動（點D、E始終在直線l上）若矩形DEFG在運動過程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S，運動時間記為t秒（0t

11、m），其中S與t的函數(shù)圖象如圖所示矩形DEFG的頂點經(jīng)運動后的對應(yīng)點分別記作D、E、F、G（1）根據(jù)題目所提供的信息，可求得b=_，a=_，m=_；（2）連接AG、CF，設(shè)以AG和CF為邊的兩個正方形的面積之和為y，求當(dāng)0t5時，y與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值以及y取最小值時t的值；（3）如圖，這是在矩形DEFG運動過程中，直線AG第一次與直線CF垂直的情形，求此時t的值并探究：在矩形DEFG繼續(xù)運動的過程中，直線AG與直線CF是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請畫出圖形，并求出t的值；否則，請說明理由18（2005淮安）已知：平行四邊形ABCD的對角線交點為O，點E、F分

12、別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）在四邊形ABCD中，求的值19如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請直接寫出當(dāng)AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由20如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1（1）判斷BEC的形狀，并說明理由？（2）判斷四邊形

13、EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；（3）求四邊形EFPH的面積正方形21（2012黑龍江）在ABC中，BAC=90°，AB=AC，若點D在線段BC上，以AD為邊長作正方形ADEF，如圖1，易證：AFC=ACB+DAC；（1）若點D在BC延長線上，其他條件不變，寫出AFC、ACB、DAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明；（2）若點D在CB延長線上，其他條件不變，直接寫出AFC、ACB、DAC的關(guān)系式22（2012常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CNDP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON（當(dāng)P在線段BC上時

14、，如圖1：當(dāng)P在BC的延長線上時，如圖2）（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系23（2011來賓）已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別是OB、OC上的動點，（1）如果動點E、F滿足BE=CF（如圖1）：寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形（不得添加輔助線）；證明：AEBF；（2）如果動點E、F滿足BE=OF（如圖2），問當(dāng)AEBF時，點E在什么位置，并證明你的結(jié)論24（2011河北）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G

15、在BA的延長線上，且CE=BK=AG（1）求證：DE=DG； DEDG（2）尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：（4）當(dāng)時，請直接寫出的值25（2011阜新）如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點（1）如圖1，當(dāng)點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點P在AC的延長線上時，請

16、你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由26（2006內(nèi)江）如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形連接AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形（1）如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC=BD時，四邊形EFGH為菱形當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足_時，四邊形EFGH為矩形；當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足_時，四邊形EFGH為正方形；（2）探索

17、三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明；（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是多少？27如圖，四邊形ABCD是正方形，點P是BC上任意一點，DEAP于點E，BFAP于點F，CHDE于點H，BF的延長線交CH于點G（1）求證：AFBF=EF；（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積28如圖，在正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在邊AD的延長線上，且BM=DN點E為MN的中點，DE的延長線與AC相交于點F試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想29在圖1到

18、圖3中，點O是正方形ABCD對角線AC的中點，MPN為直角三角形，MPN=90°正方形ABCD保持不動，MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點E，PN垂直于直線BC于點F（1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖2，當(dāng)P在線段OC上時，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對你的猜想結(jié)果給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點P在AC的延長線上時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_；位置關(guān)系為_30以ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個正方形他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是

19、什么四邊形？并說明理由（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？初中數(shù)學(xué)中考特殊四邊形證明及計算組卷參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2012威海）（1）如圖，ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)求證：AE=CF（2）如圖，將ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處，設(shè)FB1交CD于點G，A1B1分別交CD，DE于點H，I求證：EI=FG考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）718351 分析：（1）由四邊形

20、ABCD是平行四邊形，可得ADBC，OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得1=2，繼而利用ASA，即可證得AOECOF，則可證得AE=CF（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，繼而可證得A1IECGF，即可證得EI=FG解答：證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OA=OC，1=2，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，B=D，由（1）得AE=CF，由折疊的性質(zhì)可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6

21、，在A1IE與CGF中，A1IECGF（AAS），EI=FG點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2（2011貴陽）閱讀在平面直角坐標系中，以任意兩點P（ x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為運用（1）如圖，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為（2，1.5）（2）在直角坐標系中，有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點，求點D的坐標考點：平行四邊形的性

22、質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)718351 專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)矩形的對角線互相平分及點E的坐標即可得出答案（2）根據(jù)題意畫出圖形，然后可找到點D的坐標解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）（2）如圖所示：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得：設(shè)D點的坐標為（x，y），以點A、B、C、D構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，當(dāng)AB為對角線時，A（1，2），B（3，1），C（1，4），BC=，AD=，1+31=1，2+14=1，D點坐標為（1，1），當(dāng)BC為對角線時，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AC=2，BD=2，D點坐標為（5，3）當(dāng)AC為對角線時，A（1，2），B（3，1）

23、，C（1，4），AB=，CD=，D點坐標為：（3，5），綜上所述，符合要求的點有：D'（1，1），D（3，5），D（5，3）點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握已知兩點求其中點坐標的方法3（2007黑龍江）在ABC中，AB=AC，點P為ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PEAC交AB于點E，PFAB交BC于點D，交AC于點F若點P在BC邊上（如圖1），此時PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)

24、量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明考點：平行四邊形的性質(zhì)718351 專題：探究型分析：在圖2中，因為四邊形PEAF為平行四邊形，所以PE=AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中，PE=AF可證，F(xiàn)D=PFPD=CF，即PFPD+PE=AC=AB解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB證明：過點P作MNBC分別交AB，AC于M，N兩點，PEAC，PFAB，四邊形AEPF是平行四邊形，MNBC，PFAB四邊形BDPM是平行四邊形，AE=PF，EPM=ANM=C，AB=AC，EMP=B，EMP=EPM，PE=EM，PE+PF=AE+

25、EM=AM四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PDPD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB圖3結(jié)論：PE+PFPD=AB點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵4（2006泰安）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AF，CE（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BAD的平分線與FC的延長線交于點G，則ACG是等腰三角形嗎？并說明理由考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)718351 專題：證明題；幾何綜合題；探究型分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：AB=

26、CD，ABE=CDF，AEB=CFD=90°，得到ABECDF，所以AECF，AE=CF，可證四邊形AECF為平行四邊形；（2）因為AEFG，得到G=GAE利用AG平分BAD，得到BAG=DAG，從而求得ODA=DAO所以CAG=G，可得CAG是等腰三角形解答：（1）證明：矩形ABCD，ABCD，AB=CDABE=CDF，又AEB=CFD=90°，AECF，ABECDF，AE=CF四邊形AECF為平行四邊形（2）解：ACG是等腰三角形理由如下：AEFG，G=GAEAG平分BAD，BAG=DAG又OA=AC=BD=OD，ODA=DAOBAE與ABE互余，ADB與ABD互余，B

27、AE=ADEBAE=DAO，EAG=CAG，CAG=G，CAG是等腰三角形點評：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等腰三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件5（2006陜西）如圖，在RtABC中，BAC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使AD=AB連接DE，DF（1）求證：AF與DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的長考點：平行四邊形的判定718351 專題：計算題；證明題分析：（1）連接EF、AE，證四

28、邊形AEFD是平行四邊形即可（2）注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，求得AE長即可解答：（1）證明：連接EF，AE點E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，EFAB，EF=AB又AD=AB，EF=AD又EFAD，四邊形AEFD是平行四邊形AF與DE互相平分（2）解：在RtABC中，E為BC的中點，BC=4，AE=BC=2又四邊形AEFD是平行四邊形，DF=AE=2點評：本題考查了平行四邊形的判定，有中點時需考慮運用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半6如圖，以ABC三邊為邊在BC同側(cè)作三個等邊ABD、BCE、ACF請回答下列問題：

29、（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形考點：平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的判定718351 專題：證明題；探究型分析：1、本題可根據(jù)三角形全等證得DE=AF，AD=EF，即可知四邊形ADEF是平行四邊形2、要使四邊形ADEF是矩形，必須讓FAD=90°，則BAC=360°90°60°60°=150°解答：證明：（1）等邊ABD、BCE、ACF，DB=AB，BE=BC又DBE=60°EBA，ABC=60°EBA，DBE=ABCDBECBADE=AC又AC

30、=AF，AF=DE同理可證：ABCFCE，證得EF=AD四邊形ADEF是平行四邊形（2）假設(shè)四邊形ABCD是矩形，四邊形ADEF是矩形，DAF=90°又等邊ABD、BCE、ACF，DAB=FAC=60°BAC=360DAFFACDAB=150°當(dāng)ABC滿足BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定7（2010盤錦）如圖，ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊ADE，過點C作CFDE交AB于點F（1）若點D是BC邊的中點（如圖），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出AEF和

31、ABC的面積比；（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)718351 專題：證明題分析：（1）根據(jù)ABC和AED是等邊三角形，D是BC的中點，EDCF，求證ABDCAF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）在（1）的條件下可直接寫出AEF和ABC的面積比；（3）根據(jù)EDFC，結(jié)合ACB=60°，得出ACF=BAD，求證ABDCAF，得出ED=CF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC解答：（1）證明：AB

32、C是等邊三角形，D是BC的中點，ADBC，且BAD=BAC=30°，AED是等邊三角形，AD=AE，ADE=60°，EDB=90°ADE=90°60°=30°，EDCF，F(xiàn)CB=EDB=30°，ACB=60°，ACF=ACBFCB=30°，ACF=BAD=30°，在ABD和CAF中，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四邊形EDCF是平行四邊形，EF=CD（2）解：AEF和ABC的面積比為：1：4；（3）解：成立理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+

33、BCF=60°+BCF，BDA=ADE+EDB=60°+EDBAFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四邊形EDCF是平行四邊形，EF=DC點評：此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，難度較大8（2011海南）如圖，在菱形ABCD中，A=60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ（1）求證：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（結(jié)果保留根號）考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判

34、定與性質(zhì)；解直角三角形718351 專題：幾何綜合題分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，又由A=60°，易得ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得BDQADP；（2）首先過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cosBPQ的值解答：（1）證明：四邊形ABCD是菱形，AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，A=60°，ABD是等邊三角形，ABC=120°，AD=BD，CBD=A=60°，AP=BQ，BDQADP（S

35、AS）；（2）解：過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，BQ=AP=2，ADBC，QBE=60°，QE=QBsin60°=2×=，BE=QBcos60°=2×=1，AB=AD=3，PB=ABAP=32=1，PE=PB+BE=2，在RtPQE中，PQ=，cosBPQ=點評：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用9（2009龍巖）在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿ABC向終點C運動，連接DM交AC于點N（1）如圖1，當(dāng)點M在AB邊上時，連接BN：求證：ABNADN；若ABC=60&#

36、176;，AM=4，ABN=，求點M到AD的距離及tan的值（2）如圖2，若ABC=90°，記點M運動所經(jīng)過的路程為x（6x12）試問：x為何值時，ADN為等腰三角形考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形718351 專題：動點型分析：（1）三角形ABN和ADN中，不難得出AB=AD，DAC=CAB，AN是公共邊，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等通過構(gòu)建直角三角形來求解作MHDA交DA的延長線于點H由（1）可得MDA=ABN，那么M到AD的距離和就轉(zhuǎn)化到直角三角形MDH和MAH中，然后根據(jù)已知條件進行求解即可（2）本題要分三種情況即：ND=NA，DN=DA，

37、AN=AD進行討論解答：解：（1）證明：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，1=2又AN=AN，ABNADN（SAS）作MHDA交DA的延長線于點H由ADBC，得MAH=ABC=60°在RtAMH中，MH=AMsin60°=4×sin60°=2點M到AD的距離為2AH=2DH=6+2=8在RtDMH中，tanMDH=，由知，MDH=ABN=，tan=；（2）ABC=90°，菱形ABCD是正方形CAD=45°下面分三種情形：（）若ND=NA，則ADN=NAD=45°此時，點M恰好與點B重合，得x=6；（）若DN=DA，則DNA=

38、DAN=45°此時，點M恰好與點C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，則1=2ADBC，1=4，又2=3，3=4CM=CNAC=6CM=CN=ACAN=66故x=12CM=12（66）=186綜上所述：當(dāng)x=6或12或186時，ADN是等腰三角形點評：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識點，注意本題（2）中要分三種情況進行討論，不要丟掉任何一種情況10（2007常德）如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點時，連接BG交AC于F，過F作FHCD交BC于H，可以證明結(jié)論成立（考生不必證明）（1）探究：如圖2，上述條件中，若G

39、在CD的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（2）計算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60°，G在直線CD上，且CG=16，連接BG交AC所在的直線于F，過F作FHCD交BC所在的直線于H，求BG與FG的長（3）發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論還成立嗎？考點：菱形的性質(zhì)；勾股定理；平行線分線段成比例718351 專題：綜合題；壓軸題分析：（1）借助中間比進行證明，根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個比都等于即可；（2）首先應(yīng)畫出兩個不同的圖形進行分析構(gòu)造30°的直角三角形，然后計算兩條直角邊的長，在兩種情

40、況中，GQ=16+3=19或163=13，然后根據(jù)勾股定理計算BG的長，進一步根據(jù)比例式求得FG的長；（3）成立，根據(jù)（2）中的過程，可以分別求得左右兩個比，從而證明結(jié)論解答：解：（1）結(jié)論成立證明：由已知易得FHAB，F(xiàn)HGC，（2）G在直線CD上，分兩種情況討論如下：G在CD的延長線上時，DG=10，如圖1，過B作BQCD于Q，由于四邊形ABCD是菱形，ADC=60°，BC=AB=6，BCQ=60°，BQ=3，CQ=3，BG=又由FHGC，可得，而CFH是等邊三角形，BH=BCHC=BCFH=6FH，F(xiàn)H=，由（1）知，F(xiàn)G=G在DC的延長線上時，CG=16，如圖2，過

41、B作BQCG于Q，四邊形ABCD是菱形，ADC=60°，BC=AB=6，BCQ=60°BQ=3，CQ=3BG=14又由FHCG，可得，BH=HCBC=FHBC=FH6，F(xiàn)H=FHCG，BF=14×÷16=FG=14+（3）G在DC的延長線上時，成立結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論還成立點評：證明比例式的時候，可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進行證明11（2001河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動；設(shè)點M移動的時間為t秒（0t10）（1）點N為BC邊上任意一點，在點M

42、移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；（2）點N從點B（與點M出發(fā)的時刻相同）以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；（3）點N從點B（與點M出發(fā)的時刻相同）以每秒a（a2）個單位長的速度沿著射線BC方向（可以超越C點）移動，過點M作MPAB，交BC于點P當(dāng)MPNABC時，設(shè)MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時的值考點：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質(zhì)718351 專題：壓軸題分析：（1）菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個梯形的面積相等，而

43、兩個梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積（3）易得MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可解答：解：（1）設(shè)：BN=a，CN=10a（0a10）因為，點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動，點M移動的時間為t秒（0t10）所以，AM=1×t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形AMNB的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面積=（MD+NC）×菱形高÷

44、;2=（10t）+（10a）×菱形高÷2當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，當(dāng)t+a=10，（0t10），（0a10）時，可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分（2）點N從點B以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，設(shè)點N移動的時間為t，可知0t5，因為AB=10，BAD=60°，所以菱形高=5，AM=1×t=t，BN=2×t=2t所以梯形ABNM的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0t5）所以當(dāng)t=5時，梯形ABNM

45、的面積最大，其數(shù)值為（3）當(dāng)MPNABC時，則ABC的面積=MPN的面積，則MPN的面積為菱形面積的一半為25；因為要全等必有MNAC，N在C點外，所以不重合處面積為×（at10）2×重合處為S=25，當(dāng)S=0時，即PM在CD上，a=2點評：本題考查了菱形以及相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件12（2002無錫）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點（1）在邊AD上取一點M，使點A關(guān)于BM的對稱點C恰好落在EF上設(shè)BM與EF相交于點N，求證：四邊形ANGM是菱形；（2）設(shè)P是AD上一點，PFB=3FBC，求線段A

46、P的長考點：菱形的判定；矩形的性質(zhì)718351 專題：計算題；證明題分析：（1）設(shè)AG交MN于O，由題意易得AO=GO，AGMN，要證四邊形ANGM是菱形，還需證明OM=ON，又可證明ADEFBCMO：ON=AO：OG=1：1，MO=NO；（2）連接AF，由題意可證得PFA=FBC=PAF，PA=PF，PA=，求得PA=解答：（1）證明：設(shè)AG交MN于O，則A、G關(guān)于BM對稱，AO=GO，AGMNE、F分別是矩形ABCD中AB、CD的中點，AE=BE，AEDF且AE=DF，ADEFBCMO：ON=AO：OG=1：1MO=NOAG與MN互相平分且互相垂直四邊形ANGM是菱形（2）解：連接AF，A

47、DEFBC，PAF=AFE，EFB=FBC又EFAB，AE=BE，AF=BF，AFE=EFBPAF=AFE=EFB=FBCPFB=PFA+AFE+EFB=PFA+2FBC=3FBCPFA=FBC=PAFPA=PF在RtPFD中，根據(jù)勾股定理得：PA=PF=，解得：PA=點評：本題主要考查菱形和平行四邊形的識別及推理論證能力對角線互相垂直平分的四邊形是菱形13如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（ab），假定頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，現(xiàn)給出（）、（）、（）三個命題：命題（）：圖中，若AH=BG=AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題（）：圖中，若點E、

48、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題（）：圖中，若EF垂直平分對角線AC，變BC于點E，交AD于點F，交AC于點O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形請解決下列問題：（1）命題（）、（）、（）都是真命題嗎？請你在其中選擇一個，并證明它是真命題或假命題；（2）畫出一個新的矩形內(nèi)接菱形（即與你在（1）中所確認的，但不全等的內(nèi)接菱形）（3）試探究比較圖，中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關(guān)系考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；命題與定理718351 分析：（1）

49、先證明是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等證明；根據(jù)三角形中位線定理得到四條邊都相等；先根據(jù)三角形全等證明是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直證明是菱形；（2）先作一條對角線，在作出它的垂直平分線分別與矩形的邊相交，連接四個交點即可（3）分別表示出三個菱形的面積，根據(jù)邊的關(guān)系即可得出圖（1）圖（2）的面積都小于圖（3）的面積；根據(jù)a與b的大小關(guān)系，分a2b，a=2b和a2b三種情況討論解答：解：（1）都是真命題；若選（）證明如下：矩形ABCD，ADBC，AH=BG，四邊形ABGH是平行四邊形，AB=HG，AB=HG=AH=BG，四邊形ABGH是菱形；若選（），證明如下：矩形ABCD，AB=CD，AD

50、=BC，A=B=C=D=90°，E、F、G、H是中點，AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，AEHBEFDGHGCF，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形；若選（），證明如下EF垂直平分AC，F(xiàn)A=FC，EA=EC，又矩形ABCD，ADBC，F(xiàn)AC=ECA，在AOF和COE中，ADFCOE（SAS）AF=CE，AF=FC=CE=EA，四邊形AECF是菱形；（2）如圖4所示：AH=CF，EG垂直平分對角線FH，四邊形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ，SEFGH=ab，S菱形AECF=，a2=0（ba）S菱形AECFSABGHab=0，S菱形AECFSEFGHa

51、2 ab=a（ab）當(dāng)ab，即0b2a時，S菱形ABGHS菱形EFGH；當(dāng)a=b，即b=2a時，S菱形ABGH=S菱形EFGH；當(dāng)ab，即ba時，S菱形ABGHS菱形EFGH綜上所述：當(dāng)Ob2a時，SEFGHSABGHS菱形AECF當(dāng)b=2a時，SEFGH=SABGHS菱形AECF 當(dāng)b2a時 SABGHSEFGHS菱形AECF點評：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識點注意第（3）題需要分類討論，以防錯解14在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；（2）如圖2，若ABC=90°，M是EF的中點，求BDM的度數(shù)；（3）如圖3，若ABC=120°，請直接寫出BDG的度數(shù)考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)718351 分析：（1）平行四邊形的性質(zhì)可得ADBC，ABC