橢圓及橢圓標準方程

1、主講人：杜賢中主講人：杜賢中 主講人：杜賢中主講人：杜賢中1.1.了解橢圓的實際背景，理解橢圓的定義了解橢圓的實際背景，理解橢圓的定義2.2.掌握橢圓的標準方程及其推導過程掌握橢圓的標準方程及其推導過程. .3.3.掌握求曲線方程的方法和數(shù)形結合的思想掌握求曲線方程的方法和數(shù)形結合的思想; ; 重點 橢圓的定義及其標準方程橢圓的定義及其標準方程 難點 橢圓標準方程的推導橢圓標準方程的推導主講人：杜賢中本節(jié)課需要解決一下問題本節(jié)課需要解決一下問題 1.橢圓的定義？橢圓的定義？ 2.橢圓的標準方程及其推導過程？橢圓的標準方程及其推導過程？ 3.橢圓標準方程的求法？橢圓標準方程的求法？取一條定長的細

2、繩取一條定長的細繩, ,把兩端拉開一段距離分別固定把兩端拉開一段距離分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的是什么圖形？該曲線滿足的條件是什尖，畫出的是什么圖形？該曲線滿足的條件是什么？么？幾何畫板演示2 12PMMFMF 定定值值1 1、在畫圖過程中，繩子長度變化了嗎？在畫圖過程中，繩子長度變化了嗎？2 2、你所畫出的曲線上的點到、你所畫出的曲線上的點到F F1 1、F F2 2兩點的距離和兩點的距離和始終是什么關系？始終是什么關系？ 平面內(nèi)與兩定點的距離之平面內(nèi)與兩定點的距離之和和等于等于常數(shù)常數(shù) 的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做橢

3、圓橢圓。1F2FM主講人：杜賢中 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 主講人：杜賢中 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點()()的距離之的距離之和和等于等于常數(shù)常數(shù) 的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做橢圓橢圓。)(21FF大于這兩個定點這兩個定點叫做叫做橢圓的焦點橢圓

4、的焦點兩焦點間的距離叫做兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距1F2FM主講人：杜賢中幾點說明：幾點說明： 1 1、F F1 1、F F2 2是兩個不同的定點；是兩個不同的定點；3 3、通常這個常數(shù)記為、通常這個常數(shù)記為2a2a，焦距記為，焦距記為2c2c，且，且 2a2c2a2c； 4 4、如果、如果2a = 2c2a = 2c，則，則M M點的軌跡是線段點的軌跡是線段F F1 1F F2 2. . 5 5、如果、如果2a 2c2a 0),2c(c0),那么焦點那么焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2的坐標分別是的坐標分別是 ，設，設M M與焦點與焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離的距離的和為的

5、和為 （其中（其中 ），），2aac 12PMMFMF 定定值值 以橢圓兩焦點以橢圓兩焦點F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線為所在的直線為X X軸，線段軸，線段F F1 1F F2 2的垂的垂直平分線為直平分線為Y Y軸軸（-c-c，0 0），（），（c c，0 0）1（）建系：_,建立直角坐標系。建系；建系；設點；設點；列式；列式； 化簡化簡.如何讓化簡？如何讓化簡？ 22x+c_(_;4)y：移項： （）化簡222x-cay（）222222244x cx+cx caayyy（）（）方程兩邊平方:（）22x_c_ _ay（）整理移項: 2222 222422222a xa cx a ca

6、yaa cx c x上式兩邊再平方，得:222 ( )( )ya整理得: （ ）x 22222_1yaacx兩邊同除以，得 22ac2a22ac222aac（）2acx0,2222cacaca所以即由橢圓的定義可知，22221yabx思考jF2F1POxy_,_,2222cacacaca的線段嗎？你能從下圖中找出表示21PFPF 21OFOF PO22caPO令122222cayax0 ba焦點在x軸上的橢圓的標準方程22221yabx22221yabx0 ba焦點在Y軸上的橢圓的標準方程2FM1FxyM2Fxy1F0ba主講人：杜賢中OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0

7、,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標準方程的特點：（1）左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。主講人：杜賢中2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和的距離的和等于常數(shù)（大于等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120

8、,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系焦點位置的判斷焦點位置的判斷 再認識！再認識！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO嘗試練習一：嘗試練習一：1 1、在下列方程中，哪些是、在下列方程中，哪些是橢圓的標準方程？如果是，請找出橢圓的標準方程？如果是，請找出a,b,ca,b,c的值的值. .22222222(1)0 (2)1 254169(3)1 (4)1 25429xyxyxyxy2 2、根據(jù)橢圓的方程填空、根據(jù)橢圓的方程填空22(1)110036xy abc 則則焦焦點點坐坐標標abc 則則焦焦

9、點點坐坐標標22(2)158xy 106( 8,0),(8,0) 82 25(0,3),(0,3) 3abc 則則焦焦點點坐坐標標22(3)4936xy 325(5,0),( 5,0) 主講人：杜賢中例例. .已知橢圓的兩個焦點坐標分別是已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 , , 求它的標準方程求它的標準方程. .)23,25(解法一解法一: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設它的標準方程為所以設它的標準方程為).0( 12222babyax由橢圓的定義知由橢圓的定義知102)23()225()23()225(

10、22222 a所以所以.10 a又因為又因為 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為. 161022 yx主講人：杜賢中求橢圓標準方程的解題步驟：求橢圓標準方程的解題步驟：（1）確定焦點的位置；）確定焦點的位置；（2）設出橢圓的標準方程；）設出橢圓的標準方程；（3）用待定系數(shù)法確定）用待定系數(shù)法確定a、b的值，的值， 寫出橢圓的標準方程寫出橢圓的標準方程.嘗試練習二嘗試練習二寫出適合下列條件的橢圓的標準方程寫出適合下列條件的橢圓的標準方程22116xy22116yx 222211169169xyyx或或4,7ac（3），焦點在坐標軸上：_4,15ac（2），焦點在y軸上：_4,1,ab（1）焦點在x軸上：_1、橢圓的定義、橢圓的定義?2、求曲線軌跡方程的步驟求曲線軌跡方程的步驟?3、橢圓的標準方程橢圓的標準方程?2222222211 0)xyyxababab ， （1、橢圓的定義、橢圓的定義-注意：動點到兩個定點的距離之和必須大于兩個定點的距離2、求曲線軌跡方程的步驟