巧用斜坐標系下的直線方程解題

1、第5期袁建商：巧用斜坐標系下的直線方程解題-19 巧用斜坐標系下的直線方程解題袁建甫（余姚市第二中學浙江余姚315400）第5期袁建商：巧用斜坐標系下的直線方程解題-19 第5期袁建商：巧用斜坐標系下的直線方程解題-19 圖1ysin ksn0a = 0 + ， k2 = - cos 仇sin0 -（0 + 壬）證明1）由/12得故他=為.2）（力冋*人勺）（衍勺+/22）=xx2 +（兀1孑2 +x2y1）cos0+y1y2 =0,1 + 訃2 + （ & +） cosa = 0.結(jié)論3經(jīng)過點人（心，力），（衍2）的直線方 程為（/| -y2）x -（XI -X2）y =%2/! -

2、X|y2（一般式）若衍工巧加并旳，則%2 J :（兩點式），否X 一兀2 Tl 一 了2則直線為X =x,或y*；若"一，貝IJX2 J 第平面向儉是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容,它豐富 了高中數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)體系，進一-步拓展了高中數(shù) 學問題解決的思維空間.由于其融形、數(shù)于一體，具 有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù) 學知識體系的重要組成部分而平面向量基本定理 是平面向量的一個重要的內(nèi)容，是應(yīng)用平面向量知 識解決平面兒何問題的一個重要而有效的工具.平面向量基本定理:如果勺，勺是同一平面內(nèi) 2個不共線的向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向疑 S有且只有1對實數(shù)兒，入2,使得«=

3、A.eI +入2% 其中我們把不共線向量勺，e?,叫做表示這一平面 內(nèi)所有向就的一組基底.這個定理告訴我們：同一平面內(nèi)，任意一個向 量都可以表示為2個不共線向量的線性組合.這 樣，如果將平面內(nèi)所有向鼠的起點放在一起，那么 由平面向?；径ɡ砜芍矫鎯?nèi)的任總一個點都 可以由平面內(nèi)的1個點及2個不共線的向凰來表 示這就類似于平面幾何中的“用坐標來表示點”， 基底勺上2的共同起點就相當于平面坐標系中的 原點，基底勺，勺就相當于平面坐標系中的x軸和 y軸，而實數(shù)兒，入2的值就相當于坐標系中的橫坐 標和縱坐標.因此，從本質(zhì)上講，基向量法是解析法 的-種延伸，而解析法其實就是選擇2個特殊的向 最（相互垂

4、直的單位向雖：）作為基向最.根據(jù)平面向量基本定理,如果以平面內(nèi)一組不 共線的向量麗，喬作基底，那么平面內(nèi)任一向城 帀有且僅有一對有序?qū)崝?shù)對（入，“）與之對應(yīng)，使 得麗= AO4+M03.顯然,規(guī)定有序數(shù)對（入Q為 向量方在坐標系Oy中的坐標是合理的.如果一組基底是正交的, （入，“）就是向量在直角坐標 糸卜的坐標，如果小是正交基 底，我們不妨把它稱為在基底 OA.OB下彗坐標.此時 我們也把向磺帀在斜坐標系 下的坐標（入,“）稱為點P的 坐標如圖1，不妨稱示方向的射線為兀軸，麗方 向的射線為，軸，夾角為0,宜線"的斜率為4傾 斜角為a,則可以得到如下幾個結(jié)論：結(jié)論1 當點P不在y軸上

5、時， = $禽:°），當點戸在丁軸上時，2a，斜率不存在 證明 Pgy）為直線OP：y = kx±.任意一點，tana = 八 -.,ycosff + x kcosO + 1tanasingsin。- cos處ana sin （0 - a） *結(jié)論2若直線心的斜率都存在，不妨設(shè)為 k、,«2,則1）若直線W則人*；2）若直線人丄4,則1 + 鳥上2 +（+ *2 ） CW& = 0.特別地，當人仏軸時仏丄軸，此時7T8in Tsin（° -牙）當人y軸時仏丄y軸，此時sin（ 8 + 號Yf =（x-x2）（點斜式）.特別地，當4（s0）/（0）

6、時,直線方程為f+ f = 1（截距式）.證明 不妨設(shè)經(jīng)過點4（x,ri）tB（x2,y2）的 直線2上任意一點P（%），則（%）=A（x1>yl） +（1 -入）（第 2必）=（Ax, + （ 1 -入）2>Ayi + （ 1 一入）yj 從而 兀二（衍一兀2）入十兀2, y =-T2）a +y2t于是 （加-y2）x（xi -）y =（比-力）九2 -（衍-2 ）/2 =令 4=匕-y2,/?=xI -x2,C =xy2 -x2y,即為 Ax + By + C = 0.例1已知點0是ZUBC的外心，且佃=3, 4C = 4.若存在非零實數(shù)sy,使得AO=xAB + y 4?,K

7、 x +2y = 1，貝ij cosZ.E4C =.（2014屆浙江省寧波市二模試題） 分析 如圖2,可以把麗，&方向上的單位向 駅看成一組基底,著眼點放在幾何圖形的特征匕 這樣方程x+2y = l表示的直線即為中線點0 既在中線BD上,又在中垂線上，借此可以聯(lián)系起 來.解如圖2,以喬，農(nóng)方向上的單位向量為一 組基底建立斜坐標系xOy,取線段AC中點，則 B（3,0）,C（0,4）,D（0,2）,0（3x,4y）.令 A =3x, A =4y,由 x +2y = 1，得而直線j + = l經(jīng)過點因此點0在中線上.又因為點0為'ABC的外接圓圓心，所以 為線段AC的中垂線，從而反

8、思 本題的關(guān)鍵是特有條件x+2y = 1怎么 用，從斜坐標系下看它就是一條宜線，點O的斜坐 標應(yīng)該與基向量的夾角有關(guān)這里中線B1）用到了 點斜式方程.例2 在04中，C為04上的一點，H. OCyOA.D是BC的中點，過點/!的直線1/0D, P是苜線/上的動點.OP = A, OB + X2 OC,則兒- 入2二 _ 一 一（2014屆浙江省杭州市二模試題） 分析 本題已知OC = j-OA.D是BC的中點, 聯(lián)想到點坐標之間的關(guān)系；由直線/聯(lián)想到2條直線斜率相等,又直線/過點力,讐到點斜式直 線方程;點P滿足麗二兒麗+入2況,可以求出點 P的坐標，又P是直線/上的動點，其坐標滿足相 應(yīng)的直

9、線方程即可.解如圖3,以示，麗方向上的單位向量為一 組基底建立斜坐標系xOy,則點4（1,0）,5（0,1）, 0（寺，0），。（寺'寺），理尋入2，入|），從而直線0D的 方程為y = -|-x.又AP/OD，直線AP的方程廠 y（x-l）經(jīng)過點P,得反思 本題的關(guān)鍵是直線/的方程怎么求,2 條直線平行，斜率相等在斜坐標系下仍適用這里 求直線/用到了點斜式方程.例3 如圖4,已甸點0是肋C的外心， AH = 4,AC= 2, Z.BAC = 120°. AO = A, 4ft + 入2盤,則入i +入2 =（2014屆浙江省寧波市一模試題） 分析外心0是3條中垂線的交點，0

10、0丄工 軸,0E丄y軸，由前面的結(jié)論可得直線0D的方程 為 X +COS0 y-2 =0,直線 0E 的方程為 cosO x + y-1 =0,2條直線相交，求出交點即可.解以喬，花方向上的單位向量為一組基底 建立斜坐標系 xOy,則 B（4,0）,C（0,2）,D（2,0）, E（0,l）,O（4A,2A2）.又 0 為 'ABC 的外心，得 0D丄AB,從而直線0D的方程為x-yy-2=0.同理可得，直線0E的方程為-yx+y-1 =0,2條直 線的交點為。（罟尋）故反思 這里求直線O0OE時用到了結(jié)論2的 2種特殊情況.計算相對比較容易.點0是ABC 的外心，是3條中垂線的交點，

11、可以求出點0的斜 坐標，如果是其他的定點呢？能不能用類似的方法 來求得斜坐標？下面我們求三角形其他幾個“心” 的斜坐標.例4已知ABC的3條邊長分別是a,b,c, 不妨設(shè)點分別是佔C的外心、重心、垂 心、內(nèi)心用祐，花來表示材，忌，刁?，晟解以祐，花方向上的單位向量為一組基底 建立斜坐標系0八點B（c,0）,C（0,6）.1）如圖5點。是ZU3C的外心，則點0是3 條中垂線的交點設(shè)D,E分別是線段AB.AC的中 點，則。（亍,0）/（0,£）,從而直線OD的方程為個方程聯(lián)立得。（寺，£），從而3）如圖7,點/是ZUBC的垂心，則點是3 條高線的交點.直線CH的方程為x+cos

12、4（y- b） =0,直線 BH 的方程為 cos?l （x -c） +y = 0以 上2個方程聯(lián)立得acos4cosC acos4cosfi sin24 T sin24 丿，從而祐二畔警羽+畔憲花sinAsinCsiMsinn4）如圖8,點1基卜ABC 的內(nèi)心，則質(zhì)/是3條角平分 線的交點.由角平分線的性質(zhì) 可得AM AC bMB = CB=TfAN AB c NC_BC_ a，圖8從而列跆,0），叫。涪第5期袁建商：巧用斜坐標系下的直線方程解題-19 第5期袁建商：巧用斜坐標系下的直線方程解題-19 x + cos4 y -于二0.直線OE的方程為cos4 x +b cr A 亠 43 亠如6cos4 b - ccos4個方程聯(lián)立得0盂莎，歸于是直線CN的方程為：盍+于"，直線B/V的a + b又 c 二 ucosi? + 6cos4, b = ccosA + acosC,得acosB acosC2sin24 2sin2A方程為八以上2個方程聯(lián)立得a + ccosB2sinXsinCcosC2sin4sinCAC.2）如圖6,點G是ZUBC的重心，則點G < 3 條中線的交點.設(shè)D.E分別屢找段AB.AC的中 點，則。（寺0）必（0'寺）從而直線CD的方程為-y +