常微分方程階段(2)復(fù)習(xí)題

1、常微分方程第二階段試題一. 單選題1. 函數(shù)y =cos（x C）（其中C為任意常數(shù)）所滿足的微分方程是（）（A）y 丄sin（x+C） ；（B）y +y1；（C） y= sin（x +C） ；（D） y，2 +2y2 = 2。2. 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y =1（X）, y = 2（x）成為其基本解組的充要條件是（）（A ）線性無關(guān)（B）朗斯基行列式為零（C）回=（常數(shù)）（D）線性相關(guān)申2（X）3. 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y =第（x）, y =：2（x）不是基本解組的充要條件是（）（A）線性無關(guān)（B）朗斯基行列式不為零（C）丄兇=c（常數(shù)）（）線性相關(guān)®2（X）dx4

2、. 線性齊次微分方程組A（t）x的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于（）dt（A） n-1（ B）n（ C） n+1（ D） n+25. n階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)不能多于（）個(gè).（A）n（B） n-1（C） n+1（D） n+26. 設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根n,2 = -1,反4 = ±i，則此方程通解為（）(A) y = (C1 C2x)e» C3 cosx C4 si nx ;(B) y = C1e C2 cosx C3sin x ;(C) yr =C1e C2 cosx C3xsinx ；(D) y = C1e (C2 x) cosx C3 sinx7.方程

3、2xy"-2y' = xe的特解具有形式（）。(A)y* = Axe2x;(B)y* = (Ax B)e2x;(C)y* =x(Ax B)e2x ;(D)22xy* = x (Ax B)e。8. 微分方程y" y =xsin2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式()2(A) (Ax B)cos2x (Cx D)sin2x(B) (Ax Bx)cos2x(C) Acos2x Bs in 2x(D) (Ax B) cos2x9. 微分方程y、2八1 =0的通解是()(A) y =(GC2X)e1(C) y =6 弋2尹2x ；(B) y 二 Gex C2；1(C) C1 cosx C

4、2 si nx- x。10.容易驗(yàn)證：coswx,s inwx （w 0）是二階微分方程y；wy=0的解，試指出下列哪個(gè)函數(shù)是方程的通解。（式中C1,C2為任意常數(shù)）（）(A) y = G coswx C2 sin wx(C) yO coswx 2C1 sinwx(B) y = G coswx 2sin wx(D) y = C； coswx C2 sinwx11. 微分方程、1的一個(gè)特解應(yīng)有形式（）（A） aex b ；（B） axex bx ；（C） aex bx ；（D） axex b12. 微分方程y 目sinx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）(A) A sin x(C) Asix Bcosx(

5、B) Acosx(D) x( Asin x Bcosx)13. 微分方程y： y二xcos2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(A) (Ax B)cos2x (Cx D)sin2x(B) (Ax2 Bx)cos2x(C) A cos 2 x Bsi n2x( D) (Ax B) cos2x14. 微分方程y 2y' 1 = 0的通解是()(A) y=(G C2x)e»(B) y=Gex C2e»2x 11(C) y =0 C2e x ；(C) y =0 cosx C2 sin xx。2215. 設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程9 p(x)y q(x)y = f (x)的解

6、，CC2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()(A) C1y1 C2y2 y3 ；(C) C1y1 C2y2 (1 C1 C2)y3 ；16. 方程 y 0的通解是().(A) y = sin x C1 ；(B)(C) y =sinx cosx G ；(D)(B) C1 y1 C2 y (01 C2) y3 ；(D) C1 y1 C2 y2 (1 - C1 - C2 )y3y = sin x - cosx C1 ；y = G sin x -C2 cosx C3.17. 求方程y r 6y ： 9y = xe"x的特解時(shí)，應(yīng)令()(A) y 二(ax b)e"x；(B) y

7、二 x2(ax b)e'x ；(C) y' 二 axe"% ；(D) y 二 x(ax b)e"x。18函數(shù)1 (x), 2(x)在區(qū)間a,b上的朗斯基行列式恒為零，是它們?cè)赼, b上線性相 關(guān)的().(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.19設(shè)函數(shù)(x) , (x)方程x" p(t)x： q(t) =0在區(qū)間a,b上的兩個(gè)解，則其朗斯基 行列式不為零，是它們?cè)赼, b上線性無關(guān)的().(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.20設(shè)函數(shù)(x) , (x)方程x" p(t

8、)x、q(t)=0在區(qū)間a,b上的兩個(gè)解，則其朗斯基 行列式區(qū)間a,b上某一點(diǎn)不為零，是它們?cè)赼, b上線性無關(guān)的().(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.21 函數(shù)1 (x), 2(x)在區(qū)間a,b上的朗斯基行列式在a, b上某一點(diǎn)處不為零，是它 們?cè)赼, b上線性無關(guān)的()(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充分必要條件；(D)充分非必要條件.22. n階線性非齊次微分方程的所有解是否構(gòu)成一個(gè)線性空間?()(A)是；(B)不是；(C)也許是；(D)也許不是.23. 兩個(gè)不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?()(A)不可以(B)可以(C)

9、也許不可以(D)也許可以dY24. 若(x)是線性齊次方程組 二A(x)Y的一個(gè)基解矩陣，T為非奇異nx n常數(shù)矩陣,dx那么(x) T是否還是此方程的基解矩陣.()(A)是(B)不是(C)也許是(D)也許不是25. 方程組 x'A(t)x ()(A) n個(gè)線性無關(guān)的解 Xi (t), X2 (t),Xn (t)稱之為方程組的一個(gè)基本解組(B) n個(gè)解Xi(t),X2(t),xn(t)稱之為方程組的一個(gè)基本解組(C) n個(gè)線性無關(guān)的解Xi(t),X2(t),Xn (t)稱之為方程組的一個(gè)基解矩陣(D) n個(gè)線性相關(guān)的解Xi(t),X2(t),Xn (t)稱之為方程組的一個(gè)基本解組26.

10、 若:(t)和(t)都是x =A(t)x的基解矩陣，則()(AV- (t)= <:(t)+C其中c為非奇異常數(shù)矩陣(B)(t) = ：(t)+C其中c常數(shù)矩陣(C)(t) = ：(t) C其中C為非奇異常數(shù)矩陣(D)t(t) = ：(t)C其中C為常數(shù)矩陣27.若:：(t)是X = A(t)x的基解矩陣，則t 1(A)：.：吐廣亠 I 空(s)f (s)ds十0t 1(C)，(t廣亠癥(t) t ：(s)f(s)dsX、A(t)x 二 f(t)滿足 x(t。)= 的解()1t(B)：(t)G (to)：(t) G(t)f(s)dst0(D):(t)： J(t0廣亠住(t) -1(s)f(

11、s)ds28方程組 x> A(t)x 的(A) n個(gè)線性無關(guān)解(C) n個(gè)解)稱之為X = A(t)x的一個(gè)基本解組。(B) n個(gè)不同解(D) n個(gè)線性相關(guān)解)稱方程的一個(gè)基本解組。n個(gè)不同解n個(gè)線性無關(guān)解)29.n階齊線性微分方程的(A) n個(gè)線性相關(guān)解(B)(C) n 個(gè)解(D)30.A、b為n n的常數(shù)矩陣，則下列式子錯(cuò)誤的是(00 Ak(D) eTAAT =TJ(eA)T T為非奇異矩陣(a ) eA - k =0 k!(C) eA B eAeB二. 填空題1.以y二4e3x Cos2x為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為2.若X1(t),X2(tr ,Xn(t)為n階齊線性微分

12、方程的n個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是3. 形如的方程稱為歐拉方程。4. 若(t)和甲(t)都是x= A(t)x的基解矩陣，則 (t)和甲(t)具有的關(guān)系是 5. 以y1 =e2x,yxe2x為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 。6. x-2 x"二0的通解是7. 若(t)和屮(t)都是X = A(t)x的基解矩陣，則 (t)和屮(t)具有的關(guān)系是 8. 若叮J(t)是x二A(t)x的基解矩陣，則 x = A(t)x滿足x(t°)= 的解9. 設(shè)(t)是xAx的基解矩陣，是x" = A(t)x f (t)的某一解，則它的任一解(t)可表為。10. 若xjt)(

13、i =1,2,，n)為齊線性方程的n個(gè)線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為 11. 若Xi (t)(i二1,2，n)為齊線性方程組的n個(gè)線性無關(guān)解，則這一齊線性方程組的所有解可表為.12. 若Xi (t)(i二1,2,，n)為齊線性方程組的n個(gè)線性無關(guān)解，則這一齊線性方程組的基解矩陣為13. 若叮(t)是x'A(t)x的基解矩陣，則 x'A(t)x二f(t)滿足x(t。)= 的解14. 函數(shù)組et, e"L,e2t的伏朗斯基行列式為 。Rt)為xA(t)x f(t)的一個(gè)特解，則15若Xi(t)(i =1,2，n)為x:A(t)x的一個(gè)基本解組,x '

14、= A(t)x + f (t)的所有解可表為 16. 若xi (t)(i =1,2，n)為齊線性方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為 。17. 若(t)是x = A(t)x的基解矩陣，則向量函數(shù)®(t)= 是x = A(t)x+ f (t)的滿足初始條件 “to) = 0的解；18. 若(t)是x'=A(t)x的基解矩陣向量函數(shù) ®(t)= 是x= A(t)x+f (t)的滿足初始條件(t0)=的解。19 .若矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 V1,V2,，Vn ,它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為1,'2,i'n，

15、那么矩陣(t) = 是常系數(shù)線性方程組 X =AX的一個(gè)基解矩陣。20.若X1(t),X2(t),.X3(t)為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是21.若X1(t),X2(t),.X3(t)為一階齊線性方程組的n個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是22. 方程組X，=A(t)x的稱之為X，=A(t)x的一個(gè)基本解組。23. 若(t)是常系數(shù)線性方程組 x，=Ax的基解矩陣，則 expAt =。24. 形如的方程稱為歐拉方程。25. n階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè).26. n階非齊次線性微分方程的任意兩解 必為其相應(yīng)的齊次線性微分方程的解三. 求高階微分方程的解d2

16、xt dx 11.試驗(yàn)證 2x=0有基本解組t, et，并求方程dt21 -t dt 1 -t2d x t dx dt2 1 -t dt1x1 -tt-1的通解。x2.2y y =2e3.xx =sint -cos2t4 x -x = cost'''t5. x -6x 9x = e6.求方程x'' 6x' 5e2t的解。7求微分方程yyy2 =0的通解。8.y3y -1 巾9求 y -ay2 =0,滿足 yx；0 =0,y x=0 =1 的特解四求解下列方程組的解lx = 2x 3y1.解方程組1/= 3x+2yx * = 2x +3yiy的基解

17、矩陣為/ 5t-t、ee，求方程組丿ly" = 3x +2y5t-t-<ee丿2.已知x = 2x 3y 5t / = 3x 2y 8et的通解4.dxdy0二 x y-2x 3y00dx一 =x + y5.<dt 4x + ydt2146.若A=試求方程組 乂 = Ax的解® (t),®(O)=H= I 1并求expAtT 4一“2一一 ,(1 2、7試求方程組x = A x的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算 exp A t,其中A為<4 3五.應(yīng)用題11試求y"=x的經(jīng)過點(diǎn)M(0.1)且在此點(diǎn)與直線 y=x+1相切的積分曲線 42求微分方程y&

18、quot;+2y"-3y=0的一條積分曲線，使其在原點(diǎn)處與直線y = 4x相切。六.綜合題x1.設(shè) f (x)二sinx - (x -1) f (t)dt，其中 f (x)為連續(xù)函數(shù)，求 f (x)02.設(shè)f (x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f (0) = 0 , f (0)二1，且為一全微分方程，求f (x)及此全微分方程的通解。七證明題1.設(shè) x1(t),x2(t),., Xn &)是方程 x(n) - a1(t)x(nJ).an(t)x an(t)x = f (t)的 n+1 個(gè)線性無關(guān)解，證明微分方程的任一解恒能表為：x(t)二帖gX2(t).CnXn(t)Cn,t)且 CC2.耳 4 1=12. n階線性齊次微分方程一定存在n個(gè)線性無關(guān)解。3.試驗(yàn)證處it =t I是方程組102t2fl：，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間2.設(shè)f (x)具有