圖示淺析正交上下變頻

1、圖示淺析正交上下變頻2012年8月29日 版本1.0概述在和很多同學(xué)交流的過程中，發(fā)現(xiàn)很多做通信的人都不是十分理解正交上下變頻的概念，幾乎成為初學(xué)通信必問問題之一。雖然很多書籍也進行了論述，雖然公式詳盡，但理解起來比較晦澀，同時也沒有對一些頻繁提及的問題作出解答。這些問題包括，為什么基帶必須采用IQ分量同向分量，正交分量兩路表示，而帶有載頻的帶通信號卻只有一路？帶通信號為什么包含了基帶的所有信息？希爾伯特變換起到何種作用？解析信號、帶通信號、基帶復(fù)信號以及它們的頻譜究竟有何關(guān)系？本文將從最簡單的模型和最易理解的角度出發(fā)，讓讀者能夠充分理解正交上下變頻。一、 工程化理解首先回憶發(fā)射機的上變頻過程

2、。設(shè)和分別為基帶信號的同相分量和正交分量，載頻，那么正交上變頻的信號帶通信號產(chǎn)生方法如圖1-1所示。本振圖1-1. 正交上變頻上變頻的數(shù)學(xué)表達為為了解釋方便，假設(shè)信道為沖擊響應(yīng)且加性高斯白噪聲可忽略，即，接收機的下變頻過程是從中恢復(fù)出的估計值的過程。如圖1-2所示。下文推導(dǎo)與的關(guān)系。本振LPFLPF圖1-2. 下變頻過程由于，在含有成分的同時，還含有高頻分量，因此利用低通濾波器LPF濾除這些高頻分量，在不考慮噪聲的情況下，只需要帶寬為的理想低通濾波器即可。實際上，由于信號的最高頻率遠(yuǎn)小于載頻，因此為了濾除信號頻帶外的高斯白噪聲的影響，需要盡量降低通帶的帶寬。設(shè)信號最高頻率為，則：從而得到：只要

3、能夠獲得理想的低通濾波器，那么在接收端可以獲得的原始信息。圖1-1和圖1-2只是簡明的原理圖，由于理想低通濾波器無法實現(xiàn)，且高階濾波器運算量過大，在實際的軟件無線電中，一般多級抽取、濾波實現(xiàn)下變頻，多級內(nèi)插、濾波的方法實現(xiàn)上變頻，并考慮采用低復(fù)雜度的濾波器，如CIC濾波器。另外，理想濾波器被脈沖成型和匹配濾波所代替，在發(fā)射端，用升根余弦等旁瓣較小的波形代替矩形成型，在接收端，用同樣的波形進行相關(guān)操作，收集能量。在最正確采樣處，可以獲得與矩形成型一致的最大信噪比。高斯信道下。此種模型下的收發(fā)機結(jié)構(gòu)叫最正確接收機或者相關(guān)-仿形接收機。如圖1-3。本振脈沖成型脈沖成型本振匹配濾波匹配濾波圖1-3.相

4、關(guān)仿形接收機二、 信號的復(fù)表示定義基帶復(fù)信號為，其實部和虛部分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，構(gòu)建的平面稱為復(fù)平面。0圖2-1. 復(fù)平面與復(fù)信號在復(fù)平面上可表示為一個點。其幅值為，相位為。數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)就是將比特映射到復(fù)平面上的一個點，所有可能的映射點組成星座圖。比方BPSK，16QAM和64QAM的星座圖如圖2-2所示。圖2-2. BPSK、 16QAM和64QAM的星座圖下面我們考慮將基帶復(fù)信號搬移到載頻。并在物理可實現(xiàn)的平臺將其發(fā)射出去。復(fù)信號的頻譜搬移為在頻域上卷積delta函數(shù)，因為頻域卷積等于時域乘積，因此相當(dāng)于將原時域信號乘上。注意只有處的正頻率譜，而沒有負(fù)頻率譜，為一個復(fù)數(shù)，稱為解析信號，

5、將其搬移至基帶即乘以。可以看作隨時間變化，相位以為頻率旋轉(zhuǎn)，以為調(diào)制包絡(luò)的復(fù)信號，假設(shè)恒包絡(luò)，假設(shè)=1，則為隨時間變化的螺旋線，其在實虛軸的投影分別是和。如圖2-3所示。圖2-3. 復(fù)解析信號螺旋線及其實虛部物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)無法傳輸?shù)奶摬浚粋鬏斄说膶嵅?，即正是第一?jié)提到的上變頻的過程。在接收端，我們將實信號的負(fù)頻率部分用搬移，得到零頻，原先的正頻部分被搬移到高頻，隨即被低通濾波濾除。采用和都可以將頻譜搬移到基帶，為了推導(dǎo)中獲得正的Q分量，在此采用，否則會得到負(fù)的Q分量。正是第一節(jié)提到的下變頻過程。因此可以認(rèn)為只需要傳輸復(fù)解析信號的實部即可恢復(fù)出I和Q分量。其對應(yīng)的頻帶為以為中心的，以為信號

6、帶寬的帶通信號。注意，我們必須承認(rèn)負(fù)頻率的存在，實際的發(fā)射信號為正弦余弦函數(shù)，在傅里葉變換域的負(fù)頻率有與正頻率同樣的能量。由于濾波器的存在，在高頻濾波后，能量減半，所以有一個1/2的常數(shù)。完整的過程可以表示為圖2-4。00000111/21/41/41/21/2圖2-4. 基帶信號，帶通信號和解析信號間關(guān)系由于搬移到帶通信號后，正頻率軸的都包含信號。而基帶信號為在內(nèi)有信號，通常認(rèn)為基帶信號的帶寬為，而帶通信號的帶寬為。也就是帶通的正頻率帶寬部分就完整復(fù)制了基帶正負(fù)頻率的所有帶寬。注意基帶信號正負(fù)頻率不一定對稱。三、 復(fù)解析信號的產(chǎn)生方法上文解釋了通過得到的方法就是取實部，那么從得到有沒有方法？

7、有，那就是希爾伯特變換。前文已述，其中為物理電路上變頻和傳輸?shù)牟糠?。我們需要通過構(gòu)造一個變換得到，從而得到。這個變換使得在正頻率與一致，負(fù)頻率為0，即需要用抵消負(fù)頻率，首先舉一個特例，有助于理解，令，如圖3-1。ReIm0f1/21/2ReIm0f-j/2j/2ReIm0f1ReIm0f1/21/21/2-1/2注： 相當(dāng)于逆時針轉(zhuǎn)動90°。相當(dāng)于順時針轉(zhuǎn)動90°。3-1. 3-2. 3-3. 3-4. 圖3. 余弦函數(shù)的希爾伯特變換及解析信號假設(shè)構(gòu)造一個頻譜，其正頻率部分旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，負(fù)頻率部分旋轉(zhuǎn)，則可得到圖3-2，作為。相當(dāng)于逆時針旋轉(zhuǎn)，并與加和，過

8、程如圖3-3，加和結(jié)果為圖3-4，負(fù)頻已消失。推廣到為其它頻譜亦成立。即則所以只在正頻率有能量?？梢钥醋魇峭ㄟ^一個系統(tǒng)得到的，即其中這個系統(tǒng)的時域響應(yīng)為稱為希爾伯特變換子Hilbert transformer，從得到這個變換的過程叫希爾伯特變換。值得注意的是，未必是實數(shù)，也未必是實數(shù)，但仍可獲得正頻率。對于我們的通信收發(fā)機而言，時，我們可以得到3-1推導(dǎo)中假設(shè)了，或者說載頻遠(yuǎn)大于基帶的最高頻率。可見，即為的虛部。因此，傳輸一個帶通信號，只需傳輸其實部。與第二節(jié)中的結(jié)論一致，但要注意，對于基帶信號而言，不能保證仍在正頻，而亦不能保證在負(fù)頻，所以無法從式3-1得到類似表達式，因此基帶信號的分量都存

9、有信息，而帶通復(fù)解析信號只需要實部就已經(jīng)包含了所有的信息。虛部可以由實部的希爾伯特變換得到。由上文可以得知，從帶通信號恢復(fù)出基帶復(fù)信號有兩個方法，一個是通過構(gòu)建，從而得到解析信號，再通過頻譜搬移至基帶得到，另一個是通過乘以或并濾除高頻成分得到。后者是工程方法，而前者適用于分析推導(dǎo)。四、 正交變頻的頻譜理解為了理解方便，我們假設(shè)一個特殊的情形，都為相位為0的常量，即包絡(luò)隨時間變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于載波，則，其頻譜為如圖4-1。注意，雖然是兩個矢量的合成，但是為了理解，我們將I和Q產(chǎn)生的分量分開繪圖。我們將負(fù)頻譜用黃色標(biāo)示，正頻譜用藍(lán)色標(biāo)示。ReIm0fI/2jQ/2I/2-jQ/2圖4-1.圖示那么接收端

10、的I路表達式實現(xiàn)過程可參考第一節(jié)的圖1-2。如圖4-2。ReIm0fjQ/4I/4I/4jQ/4-jQ/4LPFI/4I/4-jQ/4圖4-2. 圖示低通濾波后，可以得到的估計。如圖4-3。ReIm0I/2LPFf圖4-3. 圖示對于Q路而言，同理可得如圖4-4。ReIm0fjI/4Q/4jI/4-jI/4LPF-Q/4-Q/4-jI/4圖4-4. 圖示低通濾波后，可以得到的估計。如圖4-5。ReIm0Q/2LPFf圖4-5. 圖示由于實際的系統(tǒng)中的和承載了信息，可以看作隨機函數(shù)，所以上述過程可概括為將基帶數(shù)據(jù)和的能量通過沖激函數(shù)在頻域調(diào)制卷積后，搬移到相應(yīng)的頻譜位置和相位方向上，并通過無線電

11、傳輸，接收端又將頻譜搬移回基帶。因此，整體上下變頻過程中，可以認(rèn)為是對和兩路數(shù)據(jù)的線性時不變處理。五、 總結(jié)基于前文的討論，我們可以得到以下一些結(jié)論：1.解析信號只有正頻率有能量；2.帶通信號正負(fù)頻率都有能量；3.解析信號時域上取實部就是帶通信號，帶通信號是實數(shù)；4.可以對帶通信號進行希爾伯特變換，從而構(gòu)建解析信號；5.解析信號與是將基帶復(fù)信號頻譜搬移到載波處形成的；6.帶通信號是將基帶復(fù)信號頻譜搬移到正負(fù)載波處形成的；7.帶通信號恢復(fù)到基帶復(fù)信號時，需要采用低通濾波器濾除高頻分量；8.解析信號恢復(fù)到基帶時，只需要將頻譜搬移回基帶；9.解析信號不可傳輸，只適用于理論推導(dǎo)；10.帶通信號可以傳輸，其工程實現(xiàn)模塊為上變頻模塊和下變頻模塊；11.帶通信號在工程上通過乘以正余弦函數(shù)實現(xiàn)，理論上還可以通過構(gòu)造解析信號后搬移頻譜實現(xiàn)；12.帶通信號包含了全部的基帶復(fù)信號的信息，帶寬為兩倍基帶信號帶寬。13.引申的，如果只傳輸BPSK無Q分量的信號，那么帶寬利用率只有50%，實際上BPSK和QPSK具有同樣的誤碼率性能。作者介紹：吳臻志，北京理工大學(xué)信號與信息處理專業(yè)博士研究生，主要研究軟件無線電，高性能陣列前向糾錯碼芯片，多載波調(diào)制解調(diào)技術(shù)，數(shù)字集群系統(tǒng)收發(fā)信機，TETRA物