江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八附加題第1講立體幾何中的向量方法、拋物線學(xué)案

1、4 , (1) 求異面直線AC與 BE所成角的余弦值; 求二面角F- BG C的余弦值. (1)因?yàn)?AB= 1, AA= 2, A1 , 0 , 0 , 則 F(0,0,0), B0 , i3 , 0, E1 所以 AC= ( 1,0,0) , E3E= 1 2, 記異面直線AC與 BE所成的角為 則 COS a = |cos AC BE | = 所以異面直線AC與BE所成角的余弦值為: 設(shè)平第 1 講 立體幾何中的向量方法、拋物線 考情考向分析1.利用空間向量的坐標(biāo)判定線面關(guān)系，求異面直線、直線與平面、平面與 平面所成的角，其中求角是考查熱點(diǎn)， 均屬 B 級(jí)要求.2.考查頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋

2、物線的標(biāo)準(zhǔn) 方程與幾何性質(zhì)，A級(jí)要求. 0 熱點(diǎn)分類突破 熱點(diǎn)一 利用空間向量求空間角 例 1 （2018 淮安等四市模擬 ）在正三棱柱 ABO ABC中，已知 AB= 1, AA = 2, E, F, G分 別是AA, AC和 AG的中點(diǎn)以FA, FB,由為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 F 師生講堆互動(dòng)熱點(diǎn)各個(gè)擊破 1 2 因?yàn)镕B 0，23, 0 , FC= 2, 0, 2 , 取 xi = 4 得，n= (4,0,1). 設(shè)平面BCC的一個(gè)法向量為n=(X2, y2, Z2), 同理得，n= ( 3, 1,0), 所以 cos m n 4X 羽羽 +( 1 0 + 1X0 2

3、51 (3) )2+ 1 2+ 02才 + 02 + 12 17， 根據(jù)圖形可知二面角 F BC C為銳二面角， 所以二面角F BC C的余弦值為2. 思維升華 利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰 當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向 量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 跟蹤演練 1 (2018 鎮(zhèn)江期末)如圖， ACL BC, O為AB中點(diǎn)，且 DCL平面ABC, DC/ BE已 知 AC= BC= DC= BE= 2. (1)求直線AD與 CE所成角； 求二面角C CE- B的余弦值. 解(1)

4、因?yàn)锳CL CB且 DCL平面ABC所以以C為原點(diǎn)，CB為x軸正方向，CA為y軸正方向, &為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz.m- FB= m- FC= yi = 0, 1 2Xi+ 2zi = 0, 則 3 AC= BC= BE= 2, C(0, 0, 0), B(2, 0, 0), A(0, 2, 0), 0(1, 1, 0), E(2, 0, 2), D(0, 0, 2)，且AD=(0, - 2 , 2), SE=(2 , 0 , 2). AD與 CE的夾角為 60 平面BCE的法向量m= (0, 1, 0)，設(shè)平面OCE勺法向量n= (x。, y。, z。

5、). 由C0= ( 1 , 1, 0) , CE= (2, 0, 2), n CEF= 0 , 2xo+ 2z0 = 0 , Z0 =- X0 , 得 則 解得 n &= 0 , X0+ y0= 0 , y0 =-X0 , 取 X0=- 1,貝U n= ( 1, 1 , 1). 二面角O CE- B為銳二面角，記為 0 , | m- n| J3 cos 0 = |cos m n| = = -. , |m|n | 3 熱點(diǎn)二拋物線 例 2 (2018 南通模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)T(1, t)(t0)焦點(diǎn)的距離為 2. y Z o 4、 F 5 解 由拋物線定義知，

6、1 + 2= 2,所以 p= 2, 將點(diǎn)1(1 , t)( t0)的焦點(diǎn) 為F,點(diǎn)A( 1，a) ( a0)是拋物線C上一點(diǎn)，且 AF= 2. (1) 求p的值； 若M N為拋物線C上異于A的兩點(diǎn)，且 AML AN記點(diǎn)M N到直線y = 2 的距離分別為 di, d2,求dd的值. 解 因?yàn)辄c(diǎn)A(1 , a)(a0)是拋物線C上一點(diǎn)， 且AF= 2,所以|+ 1 = 2,所以p= 2. (2) 由(1)得拋物線方程為y2= 4x. 因?yàn)辄c(diǎn)A(1 , a)( a0)是拋物線 C上一點(diǎn)，所以 a= 2. 設(shè)直線 AIM勺方程為 x 1= my 2)( 0), M(X1, y , N(x2,椚. x

7、 1 = m( y 2) , 2 由 2 消去x,得y 4口疔8m-4 = 0, y = 4x, 即(y2)( y 4m 2) = 0,所以 y1 = 4m- 2. 1 4 因?yàn)锳ML AN所以一m弋替m得y2= m 2 , 9真題押題精練 1 . (2018 江蘇)如圖，在正三棱柱 ABC- ABC中，AB= AA= 2,點(diǎn)P, Q分別為 AB , BC的 中占 I 八、 (1) 求異面直線BP與AC所成角的余弦值； (2) 求直線CC與平面AQC所成角的正弦值. 解 如圖，在正三棱柱 ABC- A B C中，設(shè)AC AQ的中點(diǎn)分別為 O, O ,則OBL OC OO丄OC OO丄OB以 O

8、B OC OO為基底，建立空間直角坐標(biāo)系 O- xyz .所以 did2= |( y1 + 2)( y2+ 2)| = 4mX - m =16. 9 因?yàn)?AB= AAi= 2,所以 A(0 , - 1, 0) , B(萌,0,0) , C(0,1,0) , A(0 , 1,2) , B(3, 0,2), Ci(0,1,2). (1)因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，所以P3, 1, 2 , 從而 BP= #, 2, 2 , AC= (0,2,2), | 昴 AC| _ | 1 + 4| _ 3顧 | BFf| AC| .5X2 2 20 因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q-23，2，0 , 因此AQ= -3, 3

9、, 0 , AC= (0,2,2) , CC= (0,0,2) 設(shè)n = (x, y, z)為平面AQC勺一個(gè)法向量， yf5 所以直線CG與平面AQC所成角的正弦值為寸 2. (2018 鹽城模擬)如圖，四棱錐 P ABC啲底面ABCD是菱形， AC與 BD交于點(diǎn)O, OP丄 底面 ABCD 點(diǎn) M為 PC中點(diǎn)， AC= 4, BD= 2, OP= 4.故 |cos 因此，異面直線 BP與AC所成角的余弦值為 3 .10 20 A-n= 0, 則 AC -n= 0, 不妨取 n= ( 3, 設(shè)直線 CC與平面 則 sin 0 = |cos S 1 =爲(wèi)=2 BP AC 1,1) AQC所成的

10、角為0 , 3 3 x + y = 0, 即 2 T .2y+ 2z= 0. 10 (1)求直線AP與BM所成角的余弦值； 求平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值. 解 因?yàn)锳BCD是菱形，所以Ad BD又OPL底面ABCD以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA OB OP分 別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O-xyz. AB= ( 2, 1, 0), 論(1, 1, 2). 則 A2, 0, 0), B(0, 1, 0), P(0, 0, 4), C 2, 0, 0), M( 1, 0, 2). 所以AP= ( 2, 0, 4), ( 1 , 1 , 2), 所以 AP- 10, |

11、 AF| = 2匹，| =v6. 則 cosAP AM =用罰普 | AFF | BM| 2；5 6 6 故直線AP與BM所成角的余弦值為 30 -6- 設(shè)平面ABM勺一個(gè)法向量為n= (x, y, z), 11 n AB= 0, 則 n - 得 AM= 0, 2x + y = 0, x y+ 2z= 0, 令 x = 2，得 y = 4, z= 3. 得平面 ABM勺一個(gè)法向量為n=(2, 4, 3). 又平面 PAC的一個(gè)法向量為0B= (0, 1, 0), 所以n -0B= 4, | n| =29, | AB = 1. 則 cos n AB 4 A n, OB = -12 故平面ABM與

12、平面PAC所成銳二面角的余弦值為 29 29. 3. (2016 江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線I : x y 2= 0,拋物線C： y2 =2px(p0). (1)若直線I過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線 C的方程； 已知拋物線C上存在關(guān)于直線I對(duì)稱的相異兩點(diǎn) P和Q 求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2 p, p); 求p的取值范圍. (1)解/ I : x y 2 = 0,A |與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0). 即拋物線的焦點(diǎn)為(2,0) , 2= 2, p= 4. 拋物線C的方程為y2 = 8x. (2)證明 設(shè)點(diǎn) P(X1, y” , QX2, y2). . 屮y2 2p KPQ

13、= 2 2 = 屮 y2 y1+ y2 2p 2p 又T P, Q關(guān)于 l 對(duì)稱.二 KPQ= 1，即 y1 + y2= 2p, 線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2 p, p). 解/ PQ的中點(diǎn)為(2 p, p), y2 = 2px1, 2 小 y2 = 2px2, X1 = 則 X2 = 2p， 2 y1 + y2 丁 = p, 又 的l 上, X1+ X2 2 + 2 = 2 p. V + y2= 2p, 卜+ X2=警 =4 2p, 即 13 y1 + y2 = 2p, 2 2 2 y1 + y2 = 8p 4p ,14 y1 + y2 = 2p, 2 2 即關(guān)于y的方程y+ 2py+ 4p 4

14、p= 0 有兩個(gè)不等實(shí)根，二 0. 鄧2= 4p 4p, 2 2 4 即(2p) 4(4 p 4p) 0,解得 0v pv 3, 4) 3 . 4. (2018 徐州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知平行于 x軸的動(dòng)直線I交拋物線C： y2 =4x于點(diǎn)P,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn).圓心不在 y軸上的圓M與直線l, PF, x軸都相切，設(shè) M的軌 跡為曲線E (1)求曲線E的方程； 若直線丨1與曲線E相切于點(diǎn)Q(s, t)，過點(diǎn)Q且垂直于l 1的直線為丨2,直線丨1,丨2分別 與y軸相交于點(diǎn)A, B.當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最小時(shí)，求 s的值. 解(1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2 = 4x，所以F的坐標(biāo)為(1,

15、 0), 設(shè)Mm n)，因?yàn)閳AM與x軸、直線l都相切，l平行于x軸， 所以圓M的半徑為| n|，點(diǎn)P( n2,2 n), y x 1 2 則直線PF的方程為丁= _-，即 2n(x 1) y(n 1) = 0, 2n n 1 所以 | 2m- n 11 = n2 + 1,即卩 n2-m+ 1 = 0, 所以E的方程為y2= x 1（y豐0）. 2 （2）設(shè) Qt + 1, t）, A（0 , y1）, B（0 , y2）, 由（1）知，點(diǎn)Q處的切線l 1的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè) t0, 1 t 一 V1 1 由 y，= I ，所以 kAQ= .2 = 2 -, t + 1 2 寸t2+ 1-

16、 1 kBQ= 1= 2 ,t2 +1 1, t 1 3 所以 w=2齊，V2=2t + 3t, 3 t 1 3 5 1 所以 AB- 2t + 3t 2+ 27 = 2t3 + 2t + 27（t）. 3 5 1 2 5 1 令 f（t）= 2t + 孑 + 齊，t0,則 f（）= 6t + 石 4 2 12t + 5t 1 =故所求p的取值范圍為 0 所以|2叫1廠叩- 寸（2n 2+（_ 1 工 n 15 A 組專題通關(guān) 1. （2018 全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷 ）如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，ABL AC, AB= AC= AA= 2, D為棱CG上任意一點(diǎn)（含端點(diǎn)）. （1）若D為

17、CC的中點(diǎn)，求直線 BA與直線AD所成角的余弦值； 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，求二面角 A-BD- A的平面角的正弦值. 解 如圖，以A為原點(diǎn)，AC BA AA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 A xy z. 單調(diào)遞增, *專題強(qiáng)化練 梯庶訓(xùn)練育通高考 5 + . ： 由 f，()0 得 t ,+ 24 即AB取得最小值， 此時(shí)s = t2 + 1 = _ 16 由題意，可得 A(0,0,0) , B(0， 2,0) , A(0,0,2) , C(2,0,0) , G(2,0,2),17 KB= (0，- 2,0) , BAi= (0,2,2), (1)若D為CG的中點(diǎn)，貝U D(2

18、,0,1) , AD= (2,0,1)，設(shè)直線 BA與直線AD的夾角為 0，則 |2 X 0+ 2X 0+ 2X 1| _ 10 27 8 9+ 22 ,22+ 12 10， 7 求異面直線AC與DE所成角的余弦值； 8 求直線AC與平面BEDF所成角的正弦值. 解 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA DC 5D為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系 cos I BA AD |AB| AD 直線與,10 百. 18 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，D(2,0,2)，則BD= (2,2,2), 設(shè)平面ABD的法向量為 rn= (x, y, z), BD- vm= 0, 2x + 2y+ 2z = 0, 則 即 BA mr 0,

19、2y + 2z= 0， 取 y = 1，得 x = 0, z=- 1, 即平面ABD的一個(gè)法向量為 mr (0,1，- 1), 同理，可求得平面 ABD的一個(gè)法向量為nr ( 1,0,1), 設(shè)二面角A BD- A的平面角為a , 貝| COS a | = 1 n| 則 EI n| I ( 1 X 0+ 1X 0+( 1 X 1| 1 =02 + 12+ 1 2X . 1 2+ 02+ 12= .2 ；2 _ 1 =2， a 0 , n , sin .面角A BD- A的平面角的正弦值為 2. 如圖，在棱長(zhǎng)為 3 的正方體 ABC ABCD中，AE= CF= 1. H D xyz如圖所示, 1

20、9 則 A(3,0,0) , C(0,3,3), D(0,0,3) , E(3,0,2), AC= ( - 3,3,3) , DE= (3,0 , - 1), T T AC DE 9-3 2 価 cos AG, DE= = - =- . I AC| 3需x 何 15 由(1)知 B(3,3,0) , Bfe= (0，- 3,2) , Dfe= (3,0 , - 1). 設(shè)平面BEDF的一個(gè)法向量為n= (x, y, z), 令 x = 1，貝 U n= （1,2,3）. 則直線AG與平面BEDF所成角的正弦值為 | AC n| _ | 3 + 6+ 9| _2 屁 | AG| n| 3，3 *

21、14 21 3. （2018 江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中）古希臘有一著名的尺規(guī)作圖題“倍立方問題”： 求作一個(gè)正方 體，使它的體積等于已知立方體體積的 2 倍，倍立方問題可以利用拋物線 （可尺規(guī)作圖）來解 決，首先作一個(gè)通徑為 2a（其中正數(shù)a為原立方體的棱長(zhǎng)）的拋物線G,如圖，再作一個(gè)頂點(diǎn) 與拋物線G頂點(diǎn)0重合而對(duì)稱軸垂直的拋物線 C2,且與G交于不同于點(diǎn) 0的一點(diǎn)P,自點(diǎn)P 向拋物線 G的對(duì)稱軸作垂線，垂足為 M可使以0M為棱長(zhǎng)的立方體的體積為原立方體的 2 倍. 則異面直線 AG與DE所成角的余弦值為 2 30 15 DE= 0, BE= 0, 得 3X-Z = 0, -3y+ 2z= 0, 20

22、 個(gè)開口方向?yàn)槔? 解(1)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，Si為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系, 由題意，拋物線 C的通徑為 2a,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 y10 11 = 2ax. 2 (2)設(shè)拋物線 C2： x = my m0), 又由題意，oMl= XP= 2a , 所以XP= 3 2a ，代入 y2= 2ax, 得 yp = 2 2a2，解得 yp= 4a, 10 求拋物線的方程； 11 若/ APB的平分線垂直于y軸，證明直線 AB的斜率為定值. (1)解 由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為 X2= 2py( p0), 因?yàn)辄c(diǎn) R2,1)在拋物線上，所以 22= 2px 1, p= 2. 故所求拋物線的方程是

23、X2= 4y. 、, y1 1 y 2 1 證明 由題意知，kAp+ kBp= 0,所以 + = 0, a, 21 2 所以拋物線C2為X = ay. 4. 如圖，拋物線關(guān)于 y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) R2,1) , A(xi, yi) , B(X2, y2)均在 拋物線上. X1 2 X2 2 所以 X1+ X2= 4. 4 22 2 2 Xi X2 Vi V2 4 4 xi + X2 kAB- 一 -= - = - 1.即直線AB的斜率為定值1. xi x- xi x- 4 5. 已知拋物線 C的頂點(diǎn)為0(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1). J (1) 求拋物線C的方程； 過點(diǎn)F作直線

24、交拋物線 C于A, B兩點(diǎn)若直線 AQ BO分別交直線l : V = x 2 于M N兩點(diǎn)，求MN的最小值. - P 解(1)由題意可設(shè)拋物線 C的方程為x = 2py(p0)，則 2 = 1, p= 2, 所以拋物線C的方程為x2= 4y. (2) 設(shè)A(X1, y , B(X2, y2)，直線AB的斜率必存在，設(shè)方程為 y= kx +1. y= kx + 1, 2 由* 2 消去y,整理得x 4kx 4 = 0, 0 恒成立. x = 4y, 所以 X1+ X2= 4k, X1% = 4. 從而 | X1 X2| = 4 k2+ 1. (y1 y= x, 由f X1 聯(lián)立, x 2, 所以

25、 M=寸(XM XN 2+ (yM yN j =寸(XM XN 2+ (XM XN 2 = 2| XM XN| 解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo) XM= 2X1 X1 y 2X1 8 x1= 4 X1 X17 同理，點(diǎn) N的橫坐標(biāo) XN = 4 =.2 8 4 8 4 X1 =8 2 X1X2 4 X1 + X2 + 16 8 , k2+ 1 |4 k 3| 4 23 當(dāng)t0時(shí), MNk - 25 6 + t + 令 4k 3= t , t 工 0,貝 U k= 24 當(dāng)t = AG AB i AG| AB 片 1 _ Pi 翼/ 匸 26 則 AB= (1,0 , 5) , AD= (0,1 , 5), 設(shè)平面ABD的法向量n= (a , b , c),27 不妨取 z= 1,貝 U x= y = t,此時(shí) m= (t, t, 1), 又平面CBD的法向量AA= (0,0 , t), | AA m _ t _ 1 AA” m 1+2t、廠2 所以當(dāng)二面角 A BD- C的大小為 120時(shí)，t的值為 8 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線I : x= 1,點(diǎn)T(3,0).動(dòng)點(diǎn)P滿足PS丄I ,垂足為S, 且OP- ST= 0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線 C (1)求曲線G的方程； 設(shè)Q是曲線G上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線 PQ過點(diǎn)(1,0),線段PQ的中點(diǎn)為 M直線I 與x軸的交點(diǎn)為N求證：向量M與矗