復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)資料

1、1復(fù)數(shù)的基本概念和運算復(fù)數(shù)的基本概念和運算1、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)Re ( );Im ( )Im ( )0zRe ( )0zzxzyzz實部：虛部為若，則 為實數(shù)； 若，則 為純虛數(shù)。2,1x yi 為實數(shù);z=x+iy或 z=x+yi注意：注意： (1) 2個復(fù)數(shù)不能比較大小個復(fù)數(shù)不能比較大小; (2) 當(dāng)且僅當(dāng)實部、虛部分別相等時復(fù)數(shù)才相等。當(dāng)且僅當(dāng)實部、虛部分別相等時復(fù)數(shù)才相等。zxiy共軛1112121 21 22222i) ,;ii) ;iii) Re( )Im( );iv) 2Re( ),2 Im( )zzzzzzz zz zzzzzzzzzzzzzziz22、復(fù)數(shù)的表示、復(fù)數(shù)的表示 直角坐

2、標(biāo)：z=x+iy 復(fù)平面與直角坐標(biāo)平面上的點一一對應(yīng) 向量表示 模 幅角 三角表示： 指數(shù)表示：0 xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy|z|=r2200|Argarg2arg ,zrxyzzkzqqqz=0時輻角不確定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq3輻角主值公式：輻角主值公式：00arctg0,(1 40arctg0,0 2arctg0,0 3arg0 0,02 0,0 0 0,0yxyxyxyxyxyzxxyyxyxxyxq當(dāng)，象限）當(dāng)（ 象限）當(dāng)（ 象限）當(dāng)（ 軸上）當(dāng)（軸上）當(dāng)（軸上）arc tg22yx2341xy0q43、 復(fù)數(shù)運算復(fù)數(shù)運算加法

3、、減法：加法、減法：乘法乘法: 除法除法:121212()()zzxxi yy1 2112212121221()() ()()z zxi yxi yx xy yi x yx y11112121212222222222222, 0zxiyx xy yy xx yzizzxiyxyxy111222zxiyzxiy運算法則: z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z35乘積：乘積： z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r

4、2cos(q1+q2)+isin(q1+q2) 于是: |z1z2|=|z1|z2|Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2()Arg()ArgArgiz zzz ez zzzqq1212121212模相乘；輻角相加。模相乘；輻角相加。商：商： 模相除；輻角相減模相除；輻角相減()Arg()ArgArgizzzezzzzzqq1211112222冪：冪：根：根：innnerz注意根的注意根的多多值性！值性！122(cossin)0,1,2,3,(1)nnkkwzrinnknnqq得到 個不同的根。6區(qū)域區(qū)域：平面點集：平面點集D D稱為區(qū)域稱為區(qū)域, , 必須滿足下列兩個條件：必須滿足下

5、列兩個條件： 1 1）D D是一個開集。是一個開集。 2 2）D D是連通的。是連通的。不連通單連通域：單連通域：區(qū)域區(qū)域B B中任做一條簡單閉曲線，曲線內(nèi)中任做一條簡單閉曲線，曲線內(nèi) 部總屬于部總屬于B B，稱，稱B B為單連通區(qū)域。為單連通區(qū)域。多連通域：多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。不滿足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域區(qū)域的概念區(qū)域的概念7復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)單值函數(shù)：單值函數(shù)：z 的一個值對應(yīng)一個的一個值對應(yīng)一個w值。值。多值函數(shù)：多值函數(shù)：z的一個值對應(yīng)兩個或以上的一個值對應(yīng)兩個或以上w值。值。反函數(shù)：反函數(shù)：

6、z=g(w)兩個實變函數(shù)的討論兩個實變函數(shù)的討論復(fù)變函數(shù)的討論復(fù)變函數(shù)的討論 復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定81、極限、極限lim( ) ( )zzf zAzzf zA00或，。都都要要趨趨于于同同一一個個常常數(shù)數(shù)論論從從哪哪個個方方向向趨趨近近；的的方方式式是是任任意意的的，即即無無Azfzz)(0定理一：定理一：設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0lim( )( )lim( )( )lim( ), lim( ):( )lim( )zzzzzzzzzzfzg zABfzg zA BfzAg

7、zBfzAg zB00000有l(wèi)im( )lim( , ), lim ( , )zzxxxxyyyyf zAu x yuv x yv0000000的充分必要 件：條定理二：定理二：92、連續(xù)性、連續(xù)性000lim( )(),( )zzf zf zf zz如果稱在 處連續(xù)。( )D( )Df zf z如果在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù),稱在 內(nèi)連續(xù)。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx 為為：處處連連續(xù)續(xù)的的充充分分必必要要條條件件在在定定理理三三、)(, 0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfzgzfzgzfz

8、zzgzf 處處都都連連續(xù)續(xù)。處處連連續(xù)續(xù)，下下列列函函數(shù)數(shù)在在在在，定定理理四四、如如果果( )( )( )( )nnnwzw P zaa za zP zwQ zQ z010多 式：=有理式：=在復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：項10導(dǎo)數(shù)定義形式與實變相同，求導(dǎo)法則與實變相同。121 ( )02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzgzf zg zfz g zf z gzf zfz g zf z gzg zg zf g zfw gzwg z

9、 、正整數(shù)、17( ),( )( ),( )0.( )fzwf zzwww、與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù) 且3、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)()()( ) lim( )zf zzf zwf zzDzf zz 00000，如果存在， 在00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 定義在區(qū)域D內(nèi)，稱 可導(dǎo)11為為奇奇點點。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )f zwfzzzz及 的鄰域內(nèi)處處可,則在點導(dǎo)在解析內(nèi)內(nèi)每每一一點點解解析析。在在內(nèi)內(nèi)解解析析：在在區(qū)區(qū)域域DzfD)(可導(dǎo)解析可導(dǎo)解析z0點：區(qū)域D：4、解析、解析00( )( )( )( )( ), ( )( ), (g(z

10、)0), ( ) ( )f zg zzf zf zg zf zg zf g zzg z定理五：如果，在 處解析,則 在 處都解析。01( )( )0( )nnwP zaa za zP zwQ z有理多項式 在整個復(fù)平面上解析。有理分式 （兩個多項式的商）除分母不為 的點外， 處處解析,使分母為零的點是它的奇點。12( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點可導(dǎo)的充分必要條件為：（ ）在點可微(可導(dǎo))；（ ）滿足柯西 黎曼(方程：重要定理：重要定理：函數(shù)解析的條件

11、函數(shù)解析的條件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yv x y iDu x y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區(qū)域 內(nèi)解析的充分必要條件為：）在 內(nèi)可微(可導(dǎo))；）在 內(nèi)（方程）：( )uvvufziixxyy求導(dǎo)公式:13連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 D)z(f可可導(dǎo)導(dǎo)在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 D)z(f連連續(xù)續(xù)在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層14初初 等等 函函 數(shù)數(shù), Ln , , sinzaezzz注意性質(zhì)：周期性; 多值性;

12、奇偶性; 解析性1.指數(shù)函數(shù)：( ) exp(cossin )zxf zzeeyiy12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處處解析滿足加法定理：周期性：周期為ze 的性質(zhì)：152.對數(shù)函數(shù)：lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 主值： 分支： LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k性質(zhì)性質(zhì):1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(4) (), , , 在除去負實軸 包括原點 的復(fù)平面內(nèi) 主值支和其它各分支 處處連續(xù) 處處可導(dǎo) 且11(ln ),(Ln ).zzzz13LnL

13、nLnLnnnznzzzn（ ）16乘冪乘冪 Ln . bbaae Lnln(arg2) , .baaiaka由于是多值的 因而也是多值的3bbaz.乘冪與冪函數(shù)：、abikbaiabeeln2)arg(ln 單值(2) (, 0): pbpqqq與 為互質(zhì)的整數(shù)ln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnarg cos2 sin2 ppaiaqqppekikqq q個值: 0,1,2,(1) kq(1) b 為整數(shù):)2arg(lnLn kaiababbeea3 ba( )除此以外，具有 無窮多個值17Lnbbzwze11

14、, .nnnbnwzwzzn當(dāng)與 時 就分別得到復(fù)數(shù)的冪及根運算：及冪函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性(1) nz冪函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是單值解析的：1().nnznz1(2) , . nzn冪函數(shù)是多值函數(shù) 具有 個分支各分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1(3) ( ) , bwzbnn冪函數(shù)與也是一個多值函數(shù)1().bbzbz ,. b當(dāng)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時 是無窮多值的1811sin()sin ,cos()cos .22sin(2 )sin ,cos(2 )cos .3 sincos , cossin4cossin5

15、cos(izzzzzzzzzzzzzezizz （ ） 奇偶性： （ ）周期為的周期函數(shù)： （ ）在復(fù)平面內(nèi)處處解析：（ ）歐拉公式仍然成立：（ ）一些三角公式仍然成立：22212),sin(),sincos1, sin1& cos1zzzzzzz但不成立三角函數(shù)性質(zhì)：4. 三角函數(shù)cos2izizeezsin2izizeezi19一、曲線積分計算：1212(1) ( )()()(2) ( ),( )( )( )(3) ( )( )( )( )(4) ( )(nCCCCCnCCCCf z dzuiv dxidyudxvdyivdxudyCzz ttf z dzf z tz t dtCC

16、CCCf z dzf z dzf z dzf z dzf zf 通過兩個二元線積分求：當(dāng)曲線 可表示為參數(shù)方程時：為分段光滑曲線：為解析函數(shù)時，若可求得1010)( ) ( )( )()zzzF zf z dzF zF z的原函數(shù)則有：第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分習(xí)題3-8(1)20二、閉路積分問題：1-( )0 ( )Cf z dzCf z （）柯西 古薩定理：其中 所包圍區(qū)域為單連通域，在該區(qū)域內(nèi)解析12( )( )CCf z dzf z dz（ ）閉路變形原理：在多連通域解析的函數(shù)，不因閉曲線作連續(xù)變形而改變積分值。11( )( )( )0 knCCknf z dzf z

17、dzf z dzCCC （）3（ ）復(fù)合閉路定理：在多連通域解析的函數(shù)CC1DC1C2C3C000( )0104( )1( ),( )2!( ) ( )(1,2,)2CnnCf zBCzf zCBf zdzizznf zfzdznizz（ ）柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式： 在 上處處解析， 為圍繞的一條閉曲線，且 的內(nèi)部全含與 則： 習(xí)題3-7(8)、3-9(1)21三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk為常數(shù)(3) ( )( )( )( )

18、;CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線的長度為函數(shù)在上滿足那么估值不等式估值不等式221、調(diào)和函數(shù)的定義2222 ( , ) , 0, ( , ) .x yDxyx yD如果二元實變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 并且滿足拉普拉斯方程:則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 2、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定理：定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即有：2222 0,uuxy22220,vvxy( )wf zuiv23, , , .uvu

19、vDxyyxvu換句話說 在內(nèi)滿足方程的兩個調(diào)和函數(shù)中稱為 的共軛調(diào)和函數(shù)3、 共軛調(diào)和函數(shù) ( , ) , ( , ) ( , ) .u x yDuivDv x yu x y設(shè)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù) 把使在內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù). .4、 偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡單了解即可簡單了解即可）如果已知一個調(diào)和函數(shù)u, 利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v, 從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi的方法稱為偏積分法. ( , ) ( , ), .u x yv x y已知調(diào)和函數(shù)或用不定積分求解

20、析函數(shù)的方法稱為不定積分法24一、一、 復(fù)數(shù)項級數(shù)的一些基本概念復(fù)數(shù)項級數(shù)的一些基本概念 1、復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件: 同時收斂.2、復(fù)級數(shù): 收斂的充要條件: 同時收斂.3、復(fù)級數(shù)絕對收斂: 絕對收斂的充要條件: 同時絕對收斂. nnnaib ,nnab 1nn 11nnnnba1 nn收斂11,nnnnab第四章第四章 級級 數(shù)數(shù)lim0nn1lim0.nnnn級數(shù)發(fā)散1nn復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是25 收斂范圍為圓域收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對收斂圓內(nèi)絕對收斂,圓外發(fā)散圓外發(fā)散,圓上不定圓上不定.0nnnc z1 1、收斂定理：、收斂定理： ( (阿貝爾阿貝爾AbelAbel定理定理) )

21、如果級數(shù) 在 收斂,那么對滿足 的z, 級數(shù)必絕對收斂絕對收斂,如果在 級數(shù)發(fā)散, 那么對滿足 的z, 級數(shù)必發(fā)散。0nnnc z0( 0)z z0zz0zz0zz二二 、冪級數(shù)：、冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂半徑的情況有三種冪級數(shù)的收斂半徑的情況有三種: :(1) (1) 對所有的正實數(shù)都收斂對所有的正實數(shù)都收斂. . 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂: :(2) (2) 對所有的正實數(shù)除對所有的正實數(shù)除z z=0=0外都發(fā)散外都發(fā)散. . 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散: :例如例如, ,級數(shù)級數(shù) nnznzz2221RR0(3) (3) 既存在使

22、級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), , 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù). . 級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對收斂級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對收斂 0R+262、收斂半徑求法、收斂半徑求法:11010limlimnnnnnncifRcifcR比值法：根值法：0( )nnnfzc z如果如果:001.0, .2. (), 0 ,0.nnnnnnc zRc zzzR 則級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂,即 極限不存在 則級數(shù)對于復(fù)平面內(nèi)除 以外的一切 均發(fā)散 即 3、性質(zhì)、性質(zhì):和函數(shù)和函數(shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi): 解析解析,可逐項求導(dǎo)可逐項求導(dǎo),可逐項積分可逐項積分. 習(xí)題4-6274 4、冪級

23、數(shù)的運算和性質(zhì)、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)(1)(1)冪級數(shù)的有理運算冪級數(shù)的有理運算1200( ),( ),nnnnnnf za zRrg zb zRr設(shè)000( )( )()nnnnnnnnnnf zg za zb zab zRz 00( )( )() ()nnnnnnf zg za zb z01 100()nnnnna baba b zzR12min( ,)r r12min( ,)r r(2) 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運算運算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時時, ,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那么當(dāng)那么當(dāng)Rz 時時, , 0.)(

24、)(nnnzgazgf說明說明: 此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).習(xí)題4-1128答案答案:. 為中心的圓域為中心的圓域是以是以az 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析.答案：答案：問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?有關(guān)冪級數(shù)的兩個關(guān)鍵問題：有關(guān)冪級數(shù)的兩個關(guān)鍵問題：29三三 、泰勒級數(shù)、泰勒級數(shù):定理定理:在以在以 為

25、中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f(z) ，可以在該圓域內(nèi)展開成可以在該圓域內(nèi)展開成 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。 泰勒級數(shù)展開式求法泰勒級數(shù)展開式求法:直接法直接法,間接法間接法.0z0()zz( )00000()( )()()!nnnnnnfzf zczzzzn30,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,)!2()1(! 4! 21cos)5242 n

26、zzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z311020100( )( )()1( )0, 1, 2,2()nnnnncf zRzzRf zczzfcdnizcz 定理： 在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，則：其中：為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。四、洛朗級數(shù)：四、洛朗級數(shù)：洛朗級數(shù)展開式求法洛朗級數(shù)展開式求法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 在計算閉路積分中的應(yīng)用：在計算閉路積分中的應(yīng)用：1( )2cf z dzic 101( ) d2()nnCfciz 令n=-1, 得11( )d2Ccf zzi 或習(xí)題4-16(2)32的的負

27、負冪冪項項。多多個個、本本性性奇奇點點：含含有有無無窮窮級級極極點點。為為，稱稱冪冪項項，最最高高負負冪冪項項為為：、極極點點：只只含含有有限限個個負負的的負負冪冪項項。、可可去去奇奇點點：不不含含)(3)(2)(10000zzmzzzczzmm 一、孤立奇點的三種類型：第五章第五章 留數(shù)留數(shù)為為本本性性奇奇點點不不存存在在且且不不為為、為為極極點點；、為為可可去去奇奇點點；存存在在且且有有限限、：孤孤立立奇奇點點類類型型判判斷斷方方法法000)(lim3)(lim2)(lim1000zzfzzfzzfzzzzzz 33零點與極點零點與極點 ： 零點定義：零點定義：f(z)=0f(z)=0的點的點 0)()1.,1 , 0(0)(,)(0)(0)(00zfmnzfmzzzfmn必必要要充充分分級級零零點點為為解解析析在在定定理理一一：級級零零點點的的是是級級極極點點的的是是系系）定定理理