第三章一元函數(shù)的積分學(xué)ppt課件

1、上頁上頁下頁下頁首頁首頁第三章第三章 一元函數(shù)的積分學(xué)一元函數(shù)的積分學(xué)內(nèi)容內(nèi)容原函數(shù)和不定積分的概念原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本不定積分的基本性質(zhì)性質(zhì) 基本積分公式基本積分公式 定積分的概念和基定積分的概念和基本性質(zhì)本性質(zhì) 定積分中值定理定積分中值定理 積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 牛頓一萊布尼茨公式牛頓一萊布尼茨公式 不定積不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法分和定積分的換元積分法與分部積分法 反反常廣義積分常廣義積分 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用上頁上頁下頁下頁首頁首頁要求要求1理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和

2、基本積分公式，掌握定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法不定積分的換元積分法和分部積分法2了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積并會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法分法3會利用定積分計算平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會利用會利用定積分計算平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題定積分求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題4了解反常積分的概

3、念，會計算反常積分了解反常積分的概念，會計算反常積分上頁上頁下頁下頁首頁首頁3.1 不定積分內(nèi)容重點：內(nèi)容重點：1.不定積分、原函數(shù)的定義不定積分、原函數(shù)的定義2.不定積分的計算不定積分的計算(主要是換元法和分部積分法主要是換元法和分部積分法)上頁上頁下頁下頁首頁首頁例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0( 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù).如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)導(dǎo)函函

4、數(shù)數(shù)為為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .1、原函數(shù)與不定積分的概念上頁上頁下頁下頁首頁首頁原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：設(shè)設(shè))(xf是是區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF, ,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). .注意：注意：(1) 原函數(shù)不唯一原函數(shù)不唯一;使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系:CxfxF則則對對任任意意常常數(shù)數(shù)若若),()( CxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).假設(shè)假設(shè) 和和 都是都是 的原函的原函數(shù)，數(shù)，)(xF)(xG)(xf.)()(

5、CxGxF 則則上頁上頁下頁下頁首頁首頁任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. . , )( ,的全部原函數(shù)的過程稱求已知函數(shù)習(xí)慣上xf . )( 的不定積分為求函數(shù)xf .運算求不定積分是求導(dǎo)的逆上頁上頁下頁下頁首頁首頁函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfd

6、xd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是互逆的微分運算與求不定積分的運算是互逆的.上頁上頁下頁下頁首頁首頁基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx2、 基本積分表上頁上頁下頁下頁首頁首頁 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;

7、sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 上頁上頁下頁下頁首頁首頁 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 上頁上頁下頁下頁首頁首頁 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）3、 不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k上頁上頁下頁下頁首頁首頁設(shè)設(shè))(uf具具有

8、有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf 湊微分法湊微分法說明說明 使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式4、 不定積分的計算即xxxfd)()()(d)(xxf上頁上頁下頁下頁首頁首頁其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，定理定理2 2一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：

9、當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 換元法換元法 積分中為了積分中為了化掉根式是化掉根式是否一定采用否一定采用三角代換并三角代換并不是絕對的，不是絕對的，需根據(jù)被積需根據(jù)被積函數(shù)的情況函數(shù)的情況來定來定.上頁上頁下頁下頁首頁首頁基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 上頁上頁下頁下頁首頁首頁;l

10、n211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 上頁上頁下頁下頁首頁首頁由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計算 .:)d(的原則或及選取vvu分部積分法上頁上頁下頁下頁首頁首頁 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降

11、冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u 若分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 (注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )上頁上頁下頁下頁首頁首頁3.2 定積分內(nèi)容重點：內(nèi)容重點：1.定積分的定義定積分的定義3.定積分的計算定積分的計算(主要是換元法和分部積分法主要是換元法和分部積分法)4.定積分的性質(zhì)及積分中值定理定積分的性質(zhì)及積分中值定理5.定積分在幾何求面積

12、及旋轉(zhuǎn)體的體積上的應(yīng)用定積分在幾何求面積及旋轉(zhuǎn)體的體積上的應(yīng)用6.廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分的計算廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分的計算2.變上限積分及其導(dǎo)數(shù)變上限積分及其導(dǎo)數(shù)上頁上頁下頁下頁首頁首頁設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2

13、 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，1、定積分定義定義定義上頁上頁下頁下頁首頁首頁怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時，時，和和S總總趨趨于于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和上頁上頁下頁下頁首頁首頁注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積

14、函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.上頁上頁下頁下頁首頁首頁 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(x

15、f在在 存在定理區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. .上頁上頁下頁下頁首頁首頁, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定積分的幾何意義上頁上頁下頁下頁首頁首頁幾何意義：幾何意義：積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 上頁上頁下頁下頁首頁首頁2、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)(設(shè)

16、所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5上頁上頁下頁下頁首頁首頁6. 若在若在 a , b 上上xxfbad)(xxfbad)(, )(min, )(max,xfmxfMbaba那么.0d)(xxfba,0)(xf推論推論1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)(xxgbad)(推論推論2.7. 設(shè)設(shè)那么)(d)()(abMxxfabmba8

17、. 積分中值定理積分中值定理, ,)(baCxf若則至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba上頁上頁下頁下頁首頁首頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，3、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)上頁上頁下頁下頁首頁首頁定理定理 如果如果

18、)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是數(shù)是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)補充補充 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 上頁上頁下頁下頁首頁首頁定理定理 3 3微積分基本公式）微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個

19、原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .4、牛頓萊布尼茨公式上頁上頁下頁下頁首頁首頁)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. . 函數(shù)的計算聯(lián)系起來了將定積分的計算與求原萊布尼茨公式牛頓上頁上頁下頁下頁首頁首頁定理定理 則則 有有dtttfdxxfb

20、a )()()(. .5、定積分的換元法和分部積分法, ,)(baCxf)(tx1( ), ( ),( );tCab 設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1) ,( ),atb 在上2)定積分的換元公式定積分的換元公式上頁上頁下頁下頁首頁首頁應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）上頁上頁下頁下頁首頁首頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有導(dǎo)數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv 定

21、積分的分部積分法上頁上頁下頁下頁首頁首頁上頁上頁下頁下頁首頁首頁 adxxf)( babdxxf)(lim6、廣義積分無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分上頁上頁下頁下頁首頁首頁 bdxxf)( baadxxf)(lim上頁上頁下頁下頁首頁首頁, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定型 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 它表明該反常積分發(fā)散 .上頁上頁下頁下頁首頁首頁,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號; )

22、(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計算表達式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF上頁上頁下頁下頁首頁首頁 badxxf)(0lim( )baf x dx 無界函數(shù)的反常積分上頁上頁下頁下頁首頁首頁上頁上頁下頁下頁首頁首頁 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(定義中定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分為瑕點，以上積分稱為瑕積分.上頁上頁下頁下頁首頁首頁注意注意: 若瑕點若瑕點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(a

23、FbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點, 那么假設(shè) a 為瑕點, 那么假設(shè) a , b 都為瑕點, 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?上頁上頁下頁下頁首頁首頁微元法微元法7.定積分的應(yīng)用上頁上頁下頁下頁首頁首頁3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達達式式.這個方法通常叫做微元法這個方法通常叫做微元法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積。平面圖形的面積；體積。上頁上頁下頁下頁首頁首頁xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯