梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法

1、回顧回顧泛定方程的分類泛定方程的分類數(shù)學(xué)物理定解問題：數(shù)學(xué)物理定解問題：波動方程波動方程穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程泛定方程泛定方程定解條件條件定解條件條件02xxtuau02xxttuau02v（本質(zhì)）（本質(zhì)）7.2 7.2 定解條件定解條件定解條件的分類定解條件的分類定解條件的本質(zhì)：定解條件的本質(zhì)：初始條件初始條件銜接條件銜接條件邊界條件邊界條件 數(shù)學(xué)上，變通解為特解；物理上，反映個體的特數(shù)學(xué)上，變通解為特解；物理上，反映個體的特殊性。殊性。（體系的歷史）（體系的歷史）（體系所處環(huán)境）（體系所處環(huán)境）（體系內(nèi)部各部分間的關(guān)系）（體系內(nèi)部各部分間的關(guān)系）對于輸運(yùn)方程對于輸運(yùn)方程一、初

2、始條件一、初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt對于波動方程對于波動方程02uautt初始條初始條件要求件要求已知已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移位移速度速度7.2 7.2 定解條件定解條件x=l / 2xyx=lhx00)(ttxu0),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足2/, 0)/2(lxlh, 2/)(2llxllh例例二、邊界條件二、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊第一類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二

3、類邊第二類邊界條件界條件第三類邊第三類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuhuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點(diǎn)位移端點(diǎn)位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu1 1、第一類邊界條件、第一類邊界條件如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度l0 x00),(utxuxllxutxu),(（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）a）、如細(xì)）、如細(xì)桿的縱振動，桿的縱振動，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfsyuaxn2 2、第二類邊界條件、第二類邊界條件)()(tfsyuaxxystfu

4、axx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流出點(diǎn)有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流入點(diǎn)有熱量流入axaxxxukq)(tfb b）、熱傳導(dǎo)）、熱傳導(dǎo)axxuk0 xa如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axuh則熱流強(qiáng)度與桿端則熱流強(qiáng)度與桿端 u|x=a 和周圍介質(zhì)溫度和周圍介質(zhì)溫度 差有關(guān)系差有關(guān)系axaxxnukq3 3、第三類邊界條件、第三類邊界條件axxhuu)(axxuk),()(000000tzyxfhuuzyxn0 xa

5、hkh/x=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxhuu0 xxukaxxhuu)(0)(xxuk三、銜接條件三、銜接條件0sinsin)(21tttf)(tfx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tftxtutxtuxx), 0(), 0(00txutxu例例1：半徑為：半徑為a,表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，陽光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為陽光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為m，寫出熱傳導(dǎo)的，寫出熱傳導(dǎo)的邊界條件。邊界條件

6、。dsdtmqsin1解：解：xy陽光照射，陽光照射，流出流出圓柱的熱量為圓柱的熱量為ds由于溫度梯度，由于溫度梯度，流出流出圓柱的熱流為圓柱的熱流為dsdtkuqan2dtdsukadsdtmqsin1xy設(shè)柱面外溫度為設(shè)柱面外溫度為u0dtdsukqa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律dsdtuuhqqa)(021dtdsuuhdtdsukdsdtmaa)(sin0令令kmm khh 0sin)(humhuua0)(huhuua02dtdsuuhdtdsukdsdtmaa)(sin0當(dāng)當(dāng)m=0，m=0 xy例例2：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，

7、兩段熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密度分別為度分別為ki, ci, i, kii, cii, ii, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問題的定解方程。溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問題的定解方程。解：解：第一段第一段0ixxiituckuii00uuti01xxiu第二段第二段0iixxiiiituckuiii00uutii03xxiiu22xxiixxiuu22xxiixiixxixiukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達(dá)朗貝公式、定解問題達(dá)朗貝公式、定解問題（一）、（一）、 達(dá)朗貝公式達(dá)朗貝公式02

8、xxttuau考慮弦的振動方程考慮弦的振動方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatxatx02u對對 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a a沿沿x x正負(fù)方向的行波正負(fù)方向的行波函數(shù)函數(shù) f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問題考慮定解問題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfat

9、xfu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafcdaxfxfxx0)(1)()(21)()(0201xfxfc2)(21)(21)(02cdaxxfxx2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),()cos(),(00ttttxuxtxu例：求定

10、例：求定解問題解問題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例：求定解問題例：求定解問題)(),(0 xtxut12102xxxxu12202xxxxu02211xxxx2212xxxx21,xxxx)()(21),(atxatxtxu1x2x0u)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt例：求一端固定弦的振動情況例：求一端固定弦的振動情況（反射波定解問題）（反射波定解問題）)0()(),(0 xxtxut)0

11、(0),(0ttxux2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始條件代入初始條件o ox（二）、端點(diǎn)反射（二）、端點(diǎn)反射2)(21)(21)(01cdaxxfxx2)(21)(21)(02cdaxxfxx)0( x)0( x代入邊界條件代入邊界條件0)()(21atfatf)0(at令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x2)(21)(21)(01cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02cdaatxatxftaxx（1）、）、x at, 即即 x

12、- at 0taxtaxdaatxatxu)(21)()(212)(21)(21)(01cdaatxatxftaxx2)(21)(210cdaxatxtax（2）、）、x at, 即即 x -at 0taxxtadaxatatxu)(21)()(21)()(22xatfatxf)(1xatf)()(12xfxf)0( xtaxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 物理意義：物理意義：為討論方便計設(shè)初速為為討論方便計設(shè)初速為0 00)(xaxt . 1解與達(dá)朗貝爾解一致，說明端點(diǎn)的解與達(dá)朗貝爾解一致，說明端點(diǎn)的影響未

13、傳到。影響未傳到。axt . 2)(21)(21xatatxu)(21)(21xatatxuo ox)(atx )(xat )(atx )(xat )(21)(210atatux0 x =0處為波節(jié)。處為波節(jié)。x =0處處入射波與反射波位相相反，有半波損失入射波與反射波位相相反，有半波損失。為入射波。為入射波。為反射波。為反射波。（三）、延拓（三）、延拓02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux)()(12xfxf)0( x半無限長問題半無限長問題求解中有求解中有0),(0 xtxu提示無限長桿提示無限長桿u(x,t)是奇函數(shù)

14、是奇函數(shù)提示無限長桿初始位移提示無限長桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 稱為稱為沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdada)(axt 00)(21)(21)()(21xtataxdadaxatatxu00)(21)(21xtataxdadataxxatdaxatat

15、x)(21)()(21taxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxuxx例：求解半無限長問題例：求解半無限長問題桿端點(diǎn)自由，桿端點(diǎn)自由，相對伸長量相對伸長量為為0 0提示無限長桿提示無限長桿u(x,t)是偶函數(shù)是偶函數(shù)提示無限長桿初始位移提示無限長桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()

16、(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdadaxtada0)(21)(axt taxdaxatatxu0)(21)()(21xtataxdada00)(21)(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttatxux例：求例：求定解問定解問題題考慮初始條件與半無限考慮初始條件與半無限長，這一擾動產(chǎn)生的波長，這一擾動產(chǎn)生的波

17、沿沿x正向正向)(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件taatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azazf)(),(atxftxu其中其中0atx若若axt/)sin()(azazf)sin(aza)sin(aatxa)(sinaxta)0(00tux)(sinaxta),(txu0axt/axt/（四）、達(dá)朗貝解的適定性（四）、達(dá)朗貝解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有直到二階導(dǎo)數(shù)，有直到二階導(dǎo)數(shù)， (x)有直到一階導(dǎo)數(shù)，有直到一階導(dǎo)數(shù)，達(dá)朗貝解存在達(dá)朗貝解存在1 1、達(dá)朗貝解的存在性、達(dá)朗貝解的存在

18、性2 2、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性)(2x0),(ttxu)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x)()(21xx)()(21xxtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21)()(212121atxatxuu)()(2121atxatxtaxtaxda)()(2121taxtaxda212121)1 (t達(dá)朗貝解的穩(wěn)定達(dá)朗貝解的穩(wěn)定解：解：或：或：0)32(22222uyyxx例：求定解問題例：求定解問題),(032yxuuuyyxyxx23)0 ,(xxu0)0 ,(xuy方程變化為方程變化為0)3)(uyxyx令令),(xx ),(yy 令：令：yyxxayx)(yyxxbyx)3(02u0)3)(uyxyx),(xx ),(yy 其中其中a a、b b為常數(shù)為常數(shù)x3y02u0)3)(uyxyx修改為修改為x3y43yx4yxyx3yx02u)()(2fdfu代入邊界條件代入邊界條件)()(21ff)()3(21yxfyxfu02uyx3yx23)0 ,(xxu0)0 ,(xuy2213)()3(