《整式乘法與因式分解》復(fù)習(xí)指南

1、第十章整式乘法與因式分解綜合指導(dǎo)河北省 劉新民 一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法法則和因式分解的定義與方法，通過觀察、歸納、實(shí)驗(yàn)、概括、逆向思維等，發(fā)展對問題的探究能力；2能夠運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法法則和乘法公式正確、合理地進(jìn)行有關(guān)計算；理解整式乘法和因式分解的關(guān)系，能用提取公因式法和公式法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；3了解零次冪和負(fù)整數(shù)次冪的意義，會用負(fù)整數(shù)次冪對一些較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法加以表示；4通過冪的運(yùn)算性質(zhì)的歸納概括過程、整式乘法法則的歸納概括過程等，發(fā)展歸納思維和推理能力，通過從整式乘法法則到乘法公式的推導(dǎo)過程，發(fā)展演繹思維和推理能力，通過對整式乘法和多項(xiàng)式的因式分解的關(guān)系的

2、認(rèn)識，發(fā)展從正、逆兩個方面認(rèn)識事物的能力。整 式 的 乘 法冪的運(yùn)算性質(zhì)同底數(shù)冪相乘：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法公式單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式冪的乘方：積的乘方：用分配律轉(zhuǎn)化用分配律轉(zhuǎn)化提公因式法公式法因式分解逆用乘法分配律逆用乘法公式二、知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)三、基礎(chǔ)知識回顧1冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。用字母表示為：（為正整數(shù)）。（2）冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 用字母表示為：（都是正整數(shù)）。（3）積的乘方的法則：積的乘方等于把積中的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘. 用字母表示為：（是正整數(shù)）。（4）同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不

3、變，指數(shù)相減。用字母可表示為：（，是正整數(shù)）。（5）零指數(shù)冪的意義：（），即任何非零數(shù)的0次冪都等于1。（6）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：（，是正整數(shù)），即何非零數(shù)的次冪，都等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)。2整式的乘法（1）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它們的指數(shù)不變，作為積的因式。（2）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是根據(jù)乘法分配律用單項(xiàng)式的去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。（3）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。3乘法公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩

4、個數(shù)的平方差，用公式表示為。平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：公式左邊的兩個二項(xiàng)式中，一項(xiàng)完全相同，一項(xiàng)互為相反數(shù)，右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。（2）完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和加上（或減去）它們乘積的2倍，用公式表示為。完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是：兩個公式的左邊是一個二項(xiàng)式的完全平方，二者僅有一個“符號”不同,右邊都是二次三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)是左邊二次項(xiàng)中每一項(xiàng)的平方,中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍, 二者也只有一個“符號”不同.4因式分解（1）定義：因式分解指的是把一個多項(xiàng)式分解成幾個整式的乘積的形式。（2）因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解和整式乘法是互逆變形，因式

5、分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式，雖然它們都是恒等變形，但卻是互逆的兩個過程。鑒于因式分解與整式乘法是互逆變形，因此可將因式分解的結(jié)果運(yùn)用整式乘法還原成多項(xiàng)式，以檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果是否正確。（3）因式分解的方法：提公因式法和公式法。（4）因式分解的一般步驟：在分解因式時，要注意觀察題目本身的特點(diǎn)，按一定的思維順序正確選擇因式分解的方法。給一個多項(xiàng)式，首先看是否有公因式，有公因式先提取公因式（公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；公因式的字母取各項(xiàng)中都含有的字母，并且相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的），再看這個多項(xiàng)式是幾項(xiàng)式，如果是二項(xiàng)式，就考慮能否運(yùn)用平方差公式；如果是三

6、項(xiàng)式，就考慮能否運(yùn)用完全平方公式分解因式。需要注意的是在提取公因式后，要看括號內(nèi)剩下的式子能否運(yùn)用公式接著分解，需要強(qiáng)調(diào)的是，一定要分解到每一個因式都不能分解為止。四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示重點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式，以及用提公因式法和公式法分解因式。難點(diǎn)：本章的難點(diǎn)是乘法公式以及整式乘法和因式分解的區(qū)別與聯(lián)系。五、思想方法總結(jié)1由特殊到一般的思想本章中許多結(jié)論的得出都是先舉出一些具體的例子，然后找出它們的共性，再加以推廣，最后概括出一般化的結(jié)論，如同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方與積的乘方的性質(zhì)都是由特殊到一般的探討過程得出的。2轉(zhuǎn)化思想在本章的學(xué)習(xí)和研究中，多次用到了轉(zhuǎn)化思想

7、，例如：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式問題，要轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法；同底數(shù)冪相乘問題、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，都要轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘法等。3逆向變換思想本章所學(xué)的公式和法則均既可正向運(yùn)用，又可逆向運(yùn)用，學(xué)會逆用公式或變式運(yùn)用公式，往往能使運(yùn)算簡便。4數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”。對于本章中一些整式乘法的法則及乘法公式的理解，若借助于幾何圖形可以起到直觀、形象的效果，能使學(xué)生從數(shù)、形兩方面更深一層的理解和記憶。六、注意事項(xiàng)1要正確區(qū)分冪的底數(shù)，如的底數(shù)是，而的底數(shù)則是；2要注意區(qū)分各種運(yùn)算法則，尤其是冪的運(yùn)算性質(zhì)，不要將冪的乘方與積的乘方相混淆，注意省略的指數(shù)是1，而不是0；3冪的運(yùn)算性

8、質(zhì)成立的條件是，而同學(xué)們往往忽視這一條件。 4明確公式的結(jié)構(gòu)特征是正確運(yùn)用公式的前提條件，只有明確了結(jié)構(gòu)特征，才能在不同的情況下正確運(yùn)用公式。乘法公式中的字母可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。明確了這一點(diǎn)，就可以在更廣的范圍內(nèi)應(yīng)用乘法公式，例如在計算時，可將視為公式中的，將視為公式中的，再用平方差公式展開。 5提公因式的依據(jù)是乘法的分配律，提公因式時，容易出現(xiàn)“漏項(xiàng)”的錯誤，檢查是否漏項(xiàng)的方法，最好是用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則乘回去，進(jìn)行驗(yàn)證。也可以看看提公因式后，括號內(nèi)的項(xiàng)數(shù)是否與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，如果項(xiàng)數(shù)不一致，就說明漏項(xiàng)了。6因式分解必須是恒等變形，因式分解必須分解到每個多項(xiàng)式因式

9、都不能再分解為止。七、典型例題分析（一）考查冪的有關(guān)運(yùn)算例1下列運(yùn)算正確的是（ ）A. B. C. D. 分析：因?yàn)锳是冪的乘方運(yùn)算，指數(shù)應(yīng)該相乘，不能相加，即，所以A錯誤；B是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)應(yīng)相加，即，所以B錯誤；積的乘方等于積中各因式乘方的積，所以，故C正確，而D不正確。解：選C。例2計算 得（ ）（A）1 （B）-1 （C） （D）分析：逆用積的乘方法則得.解：選A.例3已知，求的值分析：解這種有關(guān)指數(shù)方程的基本方法是：將左右兩邊變形為兩個冪相等的等式，且左右兩邊冪的底數(shù)相同，再根據(jù)兩個底數(shù)相同的冪相等，其指數(shù)必定相等列出方程，解這個方程即可。注意到4是2的平方，左邊可寫成關(guān)于2的冪

10、的形式，右邊也可寫成2的冪的形式，利用冪的性質(zhì)就能解決此問題。解：，又，即。（二）考查整式的乘法運(yùn)算例4若,求的值.分析：先利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則求出，再由指數(shù)對應(yīng)相等，建立方程組，即可求出的值。解：因?yàn)?，又因，所以，故，解得，所以。?有這樣一道題：“計算：的值，其中。甲同學(xué)把“”錯抄成“”，但他的計算結(jié)果也是正確的，你說這是怎么回事？ 分析：這是一道說理性試題，既然把“”錯抄成了“”，但計算結(jié)果正確，于是可以猜測此式子化簡后與的值無關(guān)。所以這時應(yīng)從式子的化簡入手，揭開它的神秘面紗。解：因?yàn)?，即原式化簡后?2，所以式子的值與的取值無關(guān)，故把“”錯抄成“”計算結(jié)果也是正確的。（三）考查乘

11、法公式例6如下圖，在邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形（），把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式_.分析：這是一道與乘法公式相關(guān)的創(chuàng)新題，題目借助于圖形的分拆與拼接，通過圖形面積的不同表示形式，驗(yàn)證了乘法公式。從左圖中可知陰影部分的面積是兩個正方形的面積之差，即，由右圖可知梯形的上底是，下底是，高為，所以梯形的面積為，根據(jù)陰影部分的面積相等，可得乘法公式。解：驗(yàn)證的乘法公式是。例7已知，求的值。分析：完全平方公式的主要變形我們要熟悉：；。這道題用可以解決。解：由完全平方公式，得，所以。因?yàn)?，所以。?計算：.分析：直接計算顯然非常繁瑣易錯，觀察該式中四個

12、因式的規(guī)律，如果再增添一個因式便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，問題就能迎刃而解。解：（四）考查因式分解的意義與方法例9下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為( )（A） （B）（C） （D）分析：解答此類題目要充分理解分解因式的定義和具體要求。顯然（A）屬于整式乘法，（B）只是分解了局部，沒有完全化成整式的積的形式，而（D）雖然等式右邊是一個多項(xiàng)式，左邊是整式的積的形式，但由平方差公式可知是分解的結(jié)果，所以式子在變形過程中丟掉了“”，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式。解：選（C）。例10已知x+y=1，求的值. 分析：通過已知條件不能求出、的值，所以要考慮把所求式子進(jìn)行變形，構(gòu)造出的整體形式

13、，因此觀察系數(shù)的特點(diǎn)，可考慮將所求的式子進(jìn)行因式分解。解：。例11為整數(shù)，試證明的值一定能被12整除。分析：要證明的值能被12整除，只要將此式分解因式，使12成為其中的一個因式即可。解：，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以也為整數(shù)，故能被12整除，即的值一定能被12整除。（五）考查完全平方式例12多項(xiàng)式加上一個單項(xiàng)式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是_（填上一個你認(rèn)為正確的即可）分析：根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)，若表示了的話，則有，所以，缺少的一項(xiàng)為，此時，；如果認(rèn)為表示了的話，則有，所以，缺少的一項(xiàng)為，此時。從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面提到的多項(xiàng)式，

14、以可以是單項(xiàng)式。注意到，所以，保留二項(xiàng)式中的任何一項(xiàng)，都是“一個整式的完全平方”，故所加單項(xiàng)式還可以是或者，此時有，或者。解：所加上的單項(xiàng)式可以是、或者。（六）考查歸納探究的能力例13在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶原理是：如對于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取x=9，y=9時，則各個因式的值是： =0，=18，=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼對于多項(xiàng)式，取=10，=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：(寫出一個即可)分析：這是一道在分解因式的基礎(chǔ)上設(shè)計的與密碼有關(guān)的創(chuàng)新題，解決這個問題，必須理解密碼的轉(zhuǎn)換方法。要得到密碼，只需將分解因式即可。因?yàn)榛虻扔诨虻扔?，取，時，所以產(chǎn)生的密碼為101030，或103010，或301010。解：101030，或103010，或301010。例14（2006