人教版數(shù)學(xué)必修二

1、人教版數(shù)學(xué)必修二第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 重難點(diǎn)解析第二章 課文目錄21空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 22直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 23直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 重難點(diǎn):1、認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。2、通過(guò)對(duì)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和說(shuō)理，進(jìn)一步了解平行、垂直判定方法以及基本性質(zhì)。3、準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并解決簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問(wèn)題。4、在空間中實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化?？臻g平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線垂直直線與平面垂直

2、平面與平面垂直一、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”包括平面、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面的位置關(guān)系，空間中平面與平面的位置關(guān)系。推理依據(jù)的4個(gè)公理和定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。定 理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。平行和垂直是空間中最重要的兩種關(guān)系。平行反映了空間的平直性，垂直反映了空間的對(duì)稱(chēng)性。

3、1、直線與直線：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)兩條直線叫做異面直線?？臻g中兩條直線的位置關(guān)系有三種：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有 一個(gè)公共點(diǎn)。平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi) ，沒(méi)有公共點(diǎn)。為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托。abb ab公理四：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。用符號(hào)語(yǔ)言表示如下設(shè)a,b,c是三條直線，ab ac cba,b,c三條直線兩兩平行，可以記為a b c 這個(gè)公理實(shí)質(zhì)上 就是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面內(nèi)，在空間，這個(gè)性質(zhì)都是不變的。2、直線與平面：一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：位置

4、關(guān)系直線a在平面內(nèi)直線a與平面相交直線a與平面平行公共點(diǎn)符號(hào)表示圖形表示aaa證線面平行的基本方法：線線平行 線面平行證線線平行的基本方法：線面平行 線線平行3、平面與平面：（1）兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交有且只有一條公共直線。分類(lèi)兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交定義沒(méi)有公共點(diǎn)有且只有一條公共直線圖象a符號(hào)表示=a強(qiáng)調(diào)作圖的要求：（1）畫(huà)兩個(gè)平行平面時(shí)，表示平面的平行四邊形對(duì)應(yīng)邊平行；（2）畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí)，先畫(huà)表示平面的平行四邊形的小腳兩邊，畫(huà)表示兩個(gè)平面的交線線段，而后在各點(diǎn)引同向且相等的線段，成圖時(shí)注意：不可見(jiàn)的部分畫(huà)成虛線或不畫(huà)。平面平行的判定：方法一：根據(jù)定義；方法二

5、：實(shí)例引入（木工師傅用水平儀檢查桌面是否水平的方法）檢測(cè)方法：將水平儀在桌面上交叉放兩次，如果兩次氣泡都在中間，就能判斷桌面水平。問(wèn)題：木工檢測(cè)水平的原理是什么呢？引出兩個(gè)平面平行的判定定理。abA兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 判定定理的符號(hào)表示： 若a,b,ab=A 且a,b對(duì)定理的理解：（1）判定定理的實(shí)質(zhì)是：線面平行面面平行（2）注意是同一平面內(nèi)的兩條相交直線（問(wèn)是兩條平行直線行不行，為什么？）（3）這兩條直線都要平行于第二個(gè)平面。典型例題：【例1】已知異面直線a和b所成的角為50，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a、b所成角都

6、是30的直線有且僅有（ ）. A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解析：過(guò)P作a，b，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時(shí)，相交于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50和130. 記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30的直線 過(guò)點(diǎn)P與，都成30角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對(duì)頂角的平分線其中射影是50對(duì)頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130對(duì)頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例2】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn). （1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證

7、：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：（1） 正方體中，. 又 中，E、F為中點(diǎn)， . , 即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點(diǎn)共線【例3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此與矛盾. 故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件. 此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)

8、，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問(wèn)題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）求直線AB1和CC1所成的角的大??；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解析：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60，即直線AB1和EF所成的角是60.點(diǎn)評(píng)：求解異面直線所成

9、角時(shí)，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題，運(yùn)用化歸思想將難化易. 解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路【例5】如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一個(gè)矩形，(1)求證：CD|平面EFGH；(2)求異面直線AB，CD所成的角證明：（1）由四邊形EFGH是矩形可得，EF|GH，可證得EF|平面BCD，又因CD是過(guò)EF的平面ACD與平面BCD的交線，則EF|CD，所以CD|平面EFGH （2）由CD|平面EFGH，可證得CD|GH；同理可證AB|G

10、F；FGH就是異面直線AB，CD所成的角（或補(bǔ)角），因?yàn)镋FGH是矩形，所以FGH=900，則異面直線AB，CD所成的角為900【例6】M，N，P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點(diǎn)，且AM：MB=CN：NB=CP：PD.求證：（1）AC|平面MNP，BD|平面MNP； （2）平面MNP與平面ACD的交線|AC證明：（1） AC|平面MNP, BD|平面MNP. （2），即平面MNP與平面ACD的交線|AC【例7】如圖O是正方體下底面ABCD中心，B1HD1O，H為垂足求證：B1H 平面AD1C證明：再找一條與B1H垂直的直線AC，證AC平面BB1D1D即可，又ACOD1=O,

11、因此 B1H 平面AD1CADCBA1B1C1D1【例8】如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面C1BD平面AB1D1。證明：ABCDC1D1，且AB=CD=C1D1，ABC1D1為平行四邊形，BC1AD1BC1平面AB1D1AD1平面AB1D1/ BC1平面AB1D1同理得C1D平面AB1D1BC1C1D=C1平面C1BD平面AB1D1【例9】如圖，正方體AC1中，已知O為AC與BD的交點(diǎn)，M為DD1的中點(diǎn)。（1）求異面直線B1O與AM所成角的大小。（2）求二面角B1MAC的正切值。解析：（1）方法二：取AD中點(diǎn)N，連結(jié)A1N，則A1N是B1O在側(cè)面ADD1A1上的射影.易證A

12、MA1NAMB1O（三垂線定理）（2）連結(jié)MB1，AB1，MC，過(guò)O作OHAM于H點(diǎn)，連結(jié)B1H，B1O平面MAC，B1HO就是所求二面角B1MAC的平面角.【例10】在正方體AC1中，E為BC中點(diǎn)（1）求證：BD1平面C1DE；（2）在棱CC1上求一點(diǎn)P，使平面A1B1P平面C1DE；（3）求二面角BC1DE的余弦值。證明：二、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。性質(zhì)定理： 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行。兩個(gè)平面平行，則任意一

13、個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行。1、直線與平面的判定及其性質(zhì)：線面平行的判定定理中，包含要素：兩線一面. 兩線一面的關(guān)系是：一線在面外一線在面內(nèi). 結(jié)論是：線面平行.線面平行的性質(zhì)定理中，包含要素：兩線兩面. 兩線兩面的關(guān)系是：一線在一面內(nèi)平行于另一面，一線是兩面的交線. 結(jié)論是：兩線平行.典型例題：【例1】已知空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求證：分析：根據(jù)條件知EF為ABD的中位線，從而有，再由，根據(jù)線面平行的判定定理就可以得到.證明：連結(jié)，在中，分別是的中點(diǎn)，又， 點(diǎn)評(píng)：要證明線面平行，就要運(yùn)用已有知識(shí)先證明線線平行.【例2】已知直線a直線b，直線a平面,b， 求證：b平面.分析：

14、見(jiàn)到直線與平面平行，首先想到線面平行的性質(zhì)定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線平行的問(wèn)題，在根據(jù)線線平行推出線面平行.證明：過(guò)a作平面交平面于直線c a ac 又ab bc， b, c，b. 點(diǎn)評(píng)：在平面幾何中作輔助線是解決問(wèn)題的重要途徑之一，在空間幾何中作輔助線、輔助面是觀察和解決問(wèn)題的重要手段.【例3】已知直線平面，直線平面，平面平面=，求證分析： 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達(dá)到ab的目的可借用已知條件中的a及a來(lái)實(shí)現(xiàn)證明：經(jīng)過(guò)作兩個(gè)平面和，與平面和分別相交于直線和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，所以，點(diǎn)評(píng)：作輔助線、輔助面是構(gòu)造法證明問(wèn)題的主要體現(xiàn).【例

15、4】如下圖，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求證：MN平面BCE.分析：根據(jù)兩個(gè)全等的正方形對(duì)應(yīng)線段的相等關(guān)系，及平行公理得到平行四邊形MPQN.由MNPQ，MN平面BCE，PQ平面BCE.根據(jù)線面平行的判定定理得證.證明：過(guò)M作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，連結(jié)PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四邊形.MNPQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，MN平面BCE.點(diǎn)評(píng)：證明直線和平面的平行通常采用“線線”平行，利用直線和平面平行的判定定理，證得“線面”平行. 【例5】如下圖，設(shè)a、b是異面直線，A

16、B是a、b的公垂線，過(guò)AB的中點(diǎn)O作平面與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與交于點(diǎn)P，求證：P是MN的中點(diǎn).證明：連結(jié)AN，交平面于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.b，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ.又O為AB的中點(diǎn)，Q為AN的中點(diǎn). a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQ.P為MN的中點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線與平面平行的性質(zhì).應(yīng)用直線與平面平行的判定及性質(zhì)證明問(wèn)題，不但需要平面幾何的知識(shí)作基礎(chǔ)，更需要解決問(wèn)題和處理問(wèn)題的方法，這需要在學(xué)習(xí)中善于思考、善于總結(jié)和積累，由量變到質(zhì)變，當(dāng)積累達(dá)到一定的程度，就會(huì)升華。【例6】求證：如果過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線平行于與此平面平行的一條直線

17、，那么這條直線在此平面內(nèi)已知：，求證：證明：設(shè)與確定平面為，且，；又，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，重合，【例7】已知直線平面，直線平面，平面平面=，求證分析： 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達(dá)到ab的目的可借用已知條件中的a及a來(lái)實(shí)現(xiàn)證明：經(jīng)過(guò)作兩個(gè)平面和，與平面和分別相交于直線和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，所以，【例8】如圖：E、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，平面過(guò)EH分別交BC、CD于F、G。求證：EH/FG三、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則

18、兩個(gè)平面垂直。性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系在一定條件下互相轉(zhuǎn)化，如垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行等等。1. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類(lèi)似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有： （1） 平行沒(méi)有公共點(diǎn)； （2） 相交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。 注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫(huà)成對(duì)應(yīng)邊平行。2. 兩個(gè)平面平行的判定定理表述為： 4. 兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)： （1） 兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平

19、面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。 簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。 （2） 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。 （3） 如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。 （4） 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。5. 證明兩個(gè)平面平行的方法有： （1）根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。 由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。 （2）根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。 （3）根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直

20、線垂直。6. 兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定；另一方面，平面與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。7. 兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間

21、的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。典型例題：【例1】如圖223：已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1圖223解析：要證明兩個(gè)平面平行，由面面平行的判定定理知，須在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線證明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四邊形ABC1D1為平行四邊形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。點(diǎn)評(píng):證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)鍵是證線線平行

22、?！纠?】如圖224：B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，（1）求證：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN圖224解析：（1）要證明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，因此可想到利用重心的性質(zhì)找出與平面平行的直線。證明:連結(jié)BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD、CD分別于P、F、H。M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，則有：連結(jié)PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因?yàn)镸NG所在的平面與ACD所在的平面相互平

23、行，因此，求兩三角形的面積之比，實(shí)則求這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比為1：3，1：9點(diǎn)評(píng):立體幾何問(wèn)題，一般都是化成平面幾何問(wèn)題，所以要重視平面幾何。比如重心定理，三角形的三邊中線交點(diǎn)叫做三角形有重心，到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍?！纠?】ABCDEFGH如圖：在正方體ABCDEFGH中，求證：平面AFH/平面BDG。解析：易證BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH圖226RQSMNP【例4】如圖：在正方體ABCDEFGH中，M、N、P、Q、R、S分別是A

24、E、EH、EF、CG、BC、CD的中點(diǎn)，求證：平面MNP/平面QRS。解析：先證明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再證RO/平面MNP，從而證明平面MNP/平面QRS【例5】如圖，正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P、Q分別在BD和SC上，并且BPPD12，PQ平面SAD，求線段PQ的長(zhǎng).解析： 要求出PQ的長(zhǎng)，一般設(shè)法構(gòu)造三角形，使PQ為其一邊，然后通過(guò)解三角形的辦法去處理.作PMAD交CD于M連QM，PM平面SAD，PQ平面SAD.平面PQM平面SAD，而平面SCD分別與此兩平行平面相交于QM，SD.QMSD.BCa,SD2a.,MPa,.MQSDa

25、,又PMQADS.cosPMQcosADS.在PMQ中由余弦定理得PQ2(a)2+(a)2-2aaa2.PQa.評(píng)析：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行線截比例線段定理，最后由余弦定理求得結(jié)果，綜合性較強(qiáng).【例6】已知：如圖，異面直線AB、CD和平面、分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH平面.證明 (1)E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，EHBD.同理FGBD.FGEH.四邊形EFGH是平行四邊形，即E、F、H、G共面.(2)平面ABD和平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，設(shè)兩平面交于過(guò)點(diǎn)A的直線AD， ADBD

26、.又BDEH，EHBDAD.EH平面，EH平面，同理FG平面，F(xiàn)G平面.平面EFHG平面平面.【例7】如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：(1)平面AB1D1平面C1BD；(2)對(duì)角線A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分.解析：本題若根據(jù)“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線分別與另一平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則兩平面平行”是很容易解決論證平面AB1D1平面C1BD的，但兼顧考慮(2)的論證，(1)我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行”的判定的方法.證：(1)連AC，BDAC，AC是A1C在底面上的射影，由三條垂線定理得A1CBD，同理可證A1CBC1.A1C平面C1BD，同理

27、也能證得A1C平面AB1D1.平面AB1D1平面C1BD.(2)設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h，正方體的棱長(zhǎng)為a，則有：h(a)2a a2.ha.同理C到平面C1BD的距離也為a，而A1Ca.故A1C被兩平行平面三等分.評(píng)析：論證A1C被兩平行平面三等分，關(guān)鍵是求A1到平面AB1D1的距離，C到平面C1BD的距離，這里用三棱錐體積的代換，若不用體積代換，則可以在平面A1ACC1中去考慮：連A1C1，設(shè)A1C1B1D1O1，ACBD0，如圖連AO1，C1O，AC1，設(shè)AC1A1CK.A1CAO1M，C1OA1CN.可證M為A1AC1的重心，N為ACC1的重心，則可推知MNNCA1M.另外值得說(shuō)

28、明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂線.異面直線AD1和C1D的距離也等于MN.【例8】如圖，已知直線a平面；求證：過(guò)a有且只有一個(gè)平面平行于.證明 (1)存在性：設(shè)過(guò)a的平面與交于a，a，aa.在上，設(shè)直線baA,在a上取點(diǎn)A，A與b確定平面，在上過(guò)A作bb.則a、b是相交直線(若重合，則顯然ba，矛盾).a,b確定平面，則.(2)唯一性：設(shè)過(guò)a還有一個(gè)平面，與有公共點(diǎn)A，與相交于過(guò)A的直線b，又a，b，bb,bb,而b與b都過(guò)點(diǎn)A，故重合，故與重合.【例9】經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行.已知：A，A，求證：是唯一的.證：設(shè)l過(guò)A點(diǎn)，且l，這樣的直線是唯一的.又，則l，

29、過(guò)點(diǎn)A與平面的平面一定和l垂直.過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的平面是唯一的.過(guò)點(diǎn)A和平行的平面是唯一的.【例10】一條直線和兩個(gè)平行平面相交，求證：它和兩個(gè)平面所成的角相等.已知：，直線a分別與和相交于點(diǎn)A和A.求證：a與所成的角與a與所成的角相等.解析：(1)當(dāng)a時(shí)，.即a與所成的角與a與所成的角都是直角.(2)當(dāng)a是的斜線時(shí)，如圖，設(shè)P是a上不同于A、A的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引a, aB,aB.連結(jié)AB和AB.a，a.由此可知，PAB是a和所成的角，PAB是a和所成的角，而ABAB.PABPAB即 a和所成的角等于a和所成的角.【例11】a和b是兩條異面直線，求證：過(guò)a且平行b的平面必平行于過(guò)b且平行于

30、a的平面.已知：a,b是異面直線，a，b,a,b.求證：.證：過(guò)b作平面與平面交于b545.如圖，直線AC、DF被三個(gè)平行平面、所截.求證：證：(i)當(dāng)AC，DF共面S時(shí)，連AD，BE，CF則ADBECF從而(ii)當(dāng)AC、DE異面時(shí)，連CD設(shè)CDG連AD、BG、GE、CF，如圖，平面ACDBG，平面ACDAD.BGAD同理可證：EGCF，綜合(i)(ii)知：.高一數(shù)學(xué)必修2第二章測(cè)試題試卷滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘班級(jí)_ 姓名_ 學(xué)號(hào)_ 分?jǐn)?shù)_第卷一、選擇題（每小題5分，共60分）1、線段在平面內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系是 A、 B、 C、由線段的長(zhǎng)短而定 D、以上都不對(duì)2、下列

31、說(shuō)法正確的是 A、三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B、四邊形一定是平面圖形 C、梯形一定是平面圖形 D、平面和平面有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)3、垂直于同一條直線的兩條直線一定 A、平行 B、相交 C、異面 D、以上都有可能4、在正方體中，下列幾種說(shuō)法正確的是 A、 B、 C、與成角 D、與成角5、若直線平面，直線，則與的位置關(guān)系是 A、 B、與異面 C、與相交 D、與沒(méi)有公共點(diǎn)6、下列命題中：（1）、平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；（2）、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；（3）、垂直于同一直線的兩直線平行；（4）、垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個(gè)數(shù)有A、1 B、2 C、3 D、47、在空間四邊形各邊上

32、分別取四點(diǎn)，如果與能相交于點(diǎn)，那么 A、點(diǎn)必在直線上B、點(diǎn)必在直線BD上C、點(diǎn)必在平面內(nèi) D、點(diǎn)必在平面外8、a，b，c表示直線，M表示平面，給出下列四個(gè)命題：若aM，bM，則ab；若bM，ab，則aM；若ac，bc，則ab；若aM，bM，則ab.其中正確命題的個(gè)數(shù)有A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)9、一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是 A、底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形 B、底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面 C、底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直 D、每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱10、在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8個(gè)三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是A、 B、 C、 D、11、已知二面角的平面角是銳角，內(nèi)一點(diǎn)到的距離為3，點(diǎn)C到棱的距離為4，那么的值等于 A、B、C、 D、12、如圖:直三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積為A、 B、 C、 D、二、填空題（每小題4分，共16分）13、等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是_(填”大于、小于或等于”).14、正方體中，平面和平面的位置關(guān)系為 15、已知垂直平行四邊形所在平面，若，平行則四邊形 一定是 .16、如圖，在直四棱柱A1B1