中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)模型幾何變換的三種模型手拉手半角對(duì)角互補(bǔ)

1、幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)知識(shí)關(guān)聯(lián)圖真題演練【練1】 （2013北京中考）在中，（），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段（1）如圖1，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，判斷的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)，若，求的值【練2】 （2012年北京中考）在中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（1）若且點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），線段的延長線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長線與射線交于點(diǎn)，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)，

2、重合）時(shí)，能使得線段的延長線與射線交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的范圍例題精講考點(diǎn)1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似）【例1】 （14年海淀期末）已知四邊形和四邊形都是正方形 ，且（1）如圖，連接、求證：；（2）如圖，如果正方形的邊長為，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得

3、，求的度數(shù)；請(qǐng)直接寫出正方形的邊長的值【題型總結(jié)】手拉手模型是中考中最常見的模型，突破口常見的有哪些信息？常見的考試方法有哪些？【例2】 （2014年西城一模） 四邊形是正方形，是等腰直角三角形，連接，為的中點(diǎn)，連接，。（1）如圖24-1，若點(diǎn)在邊的延長線上，直接寫出與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖24-1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；ACDGEFB圖111124-1圖24-2ACDGEFB【題型總結(jié)】此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉及到的中點(diǎn)輔助線你還能說出幾種？【例3】 （201

4、5年海淀九上期末）如圖1，在 中，以線段為邊作，使得， 連接，再以為邊作，使得，（1）如圖2 ，當(dāng)且時(shí)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系；圖1（2）將線段沿著射線的方向平移，得到線段，連接若 ，依題意補(bǔ)全圖3， 求線段的長；請(qǐng)直接寫出線段的長（用含的式子表示） 圖2 圖3 備用圖【例4】 （13年房山一模） （1）如圖1，和都是等邊三角形，且、三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)、相交于點(diǎn)，求證：（2）如圖2，在中，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、和交于點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是_（只填序號(hào)即可）；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證： 圖1圖2【題型總結(jié)】到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為°旋

5、轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題 費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換 考點(diǎn)2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等【例1】 （2012年西城期末）已知：如圖，正方形的邊長為a，分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足，連結(jié)，猜想線段，和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論 【例2】 （2014年平谷一模）（1）如圖1，點(diǎn)分別是正方形的邊上的點(diǎn)，連接， 則之間的數(shù)量關(guān)系是：連結(jié)，交于點(diǎn)，且 滿足，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；（2）在中， ，點(diǎn)分別為邊上的兩點(diǎn)如圖

6、2，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_；如圖3，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_【參考：】【題型總結(jié)】角含半角的特點(diǎn)有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類題目的輔助線？考點(diǎn)3：對(duì)角互補(bǔ)模型常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型90°）（全等型120°） （全等型任意角）【例1】 四邊形被對(duì)角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對(duì)角線的長度為，求四邊形的面積【例2】 已知：點(diǎn)是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)，且使（1）利用圖1，求證：；（2）如圖1，若點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求與的比值；圖

7、1 圖2 【題型總結(jié)】對(duì)角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)？【例3】 (初二期末)已知：如圖，在中，且為內(nèi)部一點(diǎn)，且，（1）用含的代數(shù)式表示，得 =_；（2）求證：；（3）求的度數(shù)【題型總結(jié)】一般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便捷的方法。 （全能突破 【練1】 （2015年昌平九上期末）如圖，已知和都是等腰直角三角形，連接交于,連接交于，與交點(diǎn)為，連接（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求證：是的平分線；（3）如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的長.【練2】 （2014西城九上期末）已知：，都是等邊三角形，是與的中點(diǎn)，連接，.（1）

8、如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）固定不動(dòng)，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由； （3）ABC固定不動(dòng)，將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（）角，作于點(diǎn)設(shè) ，線段，所圍成的圖形面積為當(dāng)，時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍 圖2備用圖圖1【練3】 （2014年朝陽一模24題）在中，在中，點(diǎn)、分別在、上，（1）圖，若，則與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系是_；（3）若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含的式子表示）【練4】

9、 （2015年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，若，求的長圖1圖2圖3小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90º，得到，連接（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及，可證，得解，可求得 (即)的長請(qǐng)回答：在圖中，的度數(shù)是_，的長為_參考小輝思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由【練5】 （11年石景山一模）已知：如圖，正方形中，,為對(duì)角線，將繞頂點(diǎn)逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)()，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，交,于點(diǎn)、點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、（1）在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變

10、化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明）；（2）探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明【練6】 （2015年延慶九上期末）已知：是的內(nèi)接三角形，在所對(duì)弧上，任取一點(diǎn)，連接， （1）如圖1，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，如果，求證：； （3）如圖3，如果，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測(cè)并加以證明； （4）如果，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系.圖3圖2圖1 【練7】 （1)如圖，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且求證：;(2) 如圖在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 (3) 如圖，在四邊形中，分別是邊延長線上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然

11、成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【練8】 小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, 中，30º，在內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，求的最小值小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題他的做法是，如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60º，得到，連接，則的長即為所求（1）請(qǐng)你寫出圖2中，的最小值為_；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，菱形中，6

12、0º，在菱形內(nèi)部有一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形的邊長為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)值最小時(shí)的長圖1圖2圖3【練9】 （2014年西城二模）在，為銳角， 平分交于點(diǎn)（1）如圖1，若是等腰直角三角形，直接寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）的垂直平分線交延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)如圖2，若，判斷，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；如圖3，若，求的度數(shù)【練10】 (2014年1月西城八年級(jí)期末試題附加題) 已知：如圖，為銳角，平分，點(diǎn)，點(diǎn)分別在射線和上，. （1）若點(diǎn)在線段上，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：； （2）若（1）中的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長線上，（1）中的其它條件不變，猜想與的