第一節(jié)函數(shù)02ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù) 一 根本概念 二 函數(shù)概念 三 函數(shù)特性 四 反函數(shù) 五 小結(jié) 思索題一、根本概念一、根本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記作記作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若

2、若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱為空集不含任何元素的集合稱為空集.)(記記作作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記記作作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記記作作)

3、,xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的間隔兩端點(diǎn)間的間隔(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 4.4.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值堅(jiān)持不變的量稱為常量在某過程中數(shù)值堅(jiān)持不變的量稱為常量,留意

4、留意常量與變量是相對(duì)常量與變量是相對(duì)“過程而言的過程而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示變量等表示變量.5.5.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式:二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形

5、邊形Orn )因變量因變量自變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 變變量量y按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱y是是x的的函函數(shù)數(shù)，記記作作定定義義 設(shè)設(shè)x和和y是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量, ,D是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域叫做這個(gè)函數(shù)的定義域)(xfy 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx ,()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法那對(duì)應(yīng)法那么么f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素

6、: : 定義域與對(duì)應(yīng)法那么定義域與對(duì)應(yīng)法那么.xyDW商定商定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一真實(shí)數(shù)值的一真實(shí)數(shù)值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 假設(shè)自變量在定假設(shè)自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只需一個(gè)，這種函是只需一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否那么叫與多值函數(shù)那么叫與多值函數(shù)例例如如，222ayx (1) 符號(hào)

7、函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超越表示不超越 的最大的最大整數(shù)整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxx

8、f例例如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法那么用不同對(duì)應(yīng)法那么用不同的的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù)稱為分段函數(shù).例例1 1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如下其波形如下圖圖,寫出電壓寫出電壓U與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt解解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號(hào)的電壓?jiǎn)稳敲}沖信號(hào)的電壓,2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t. 0 U其表達(dá)式為其表達(dá)式為是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),

9、)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函

10、數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱設(shè)設(shè),Dx

11、D )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xf有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)不不為為零零的的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)

12、xfl.恒成立恒成立四、反函數(shù)四、反函數(shù)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函數(shù)數(shù)oxyDW)(yx 反反函函數(shù)數(shù)o)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy 例例3 3解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的的性性質(zhì)質(zhì)并并討討論論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),五、小結(jié)五、小結(jié)根本概念根

13、本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量, 絕對(duì)值絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)思索題思索題設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式.思索題解答思索題解答設(shè)設(shè)ux 1那么那么 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)

14、6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè)2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 時(shí)，時(shí)，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習(xí)習(xí) 題題二、證明二、證明xylg 在在), 0(上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和. .四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),(上繪出上繪出)(xf的圖形的圖形. .五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函