第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))(xf在點在點x處可導(dǎo)處可導(dǎo),則稱導(dǎo)函數(shù)則稱導(dǎo)函數(shù))(xf 在點在點x處的處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)導(dǎo)數(shù)為函數(shù))(xf的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為)(xf的三階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù).三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為)(xf的四階導(dǎo)數(shù)的四階導(dǎo)數(shù).階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為)(xf的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).1 n(1)二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(xf )(xf )(xf )()(xfny y y )(nydxdydxdf22dxyd33dxydnndxy

2、d22dxfd33dxfdnndxfd(3) x0處的處的n階導(dǎo)數(shù)記號階導(dǎo)數(shù)記號)(0)(xfn0)(xxny 0 xxnndxyd 0 xxnndxfd (4)求法求法2至至5階階,反復(fù)求導(dǎo)反復(fù)求導(dǎo).n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),先求幾階再總結(jié)規(guī)律先求幾階再總結(jié)規(guī)律.例例1 設(shè)設(shè),sin xeyx 試證試證. 022 yyy證證)sin( xeyxxxexxe)(sinsin)( xxexxe cossin)cos(sinxxex )cos(sin xxeyxxxexxxxe)cos(sin)cos(sin)( xxexxxxe)sin(cos)cos(sin xexcos2 代入得代入得. 022 yy

3、y例例2求求nxy (n為正整數(shù)為正整數(shù))的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).解解 y1 nnx y2)1( nxnn y3)2)(1( nxnnn )(ny!n例例3求求)1ln(xy 的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).解解 y y y )(ny)1(11 xxx 111)1( x)1()1)(1(2 xx2)1)(1( x)1()1)(2)(1(3 xx3)1)(2)(1( x) 1() 1(1 nn!.)1(nx 補(bǔ)充補(bǔ)充07年考研真題年考研真題4分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1,23yx 那么那么解解 y y y )(ny2( 1)(23) 2x ( )(0).ny 32( 1)( 2)(23) 2x 43( 1)( 2)( 3

4、)(23) 2x (1)( 1)!(23)2nnnnx 12( 1)!3nnnn 例例4求求xycos 的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).解解 yxsin y)2cos( x)2()2sin( xx)22cos( x y)22()22sin( xx)23cos( x )(ny).2cos( nx例例5 知知, 0)sin(2 yxy 求求10 yxy.,10 yxy解解 方程兩邊作為方程兩邊作為x的函數(shù)同時求導(dǎo)的函數(shù)同時求導(dǎo)02)cos()(2 yyyyxy 2110 yxy方程兩邊作為方程兩邊作為x的函數(shù)同時求導(dǎo)的函數(shù)同時求導(dǎo)y 0)(2)cos(2 yyyyy )(yxy yyyyy 22)sin(2 .41210 yxy例例6 設(shè)設(shè) 21tx tycos ,求求.22dxyd解解 dxdytt2sin tt2sin 22dxyd)2sin(ttdxd dxd