第五部分利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分教學ppt課件

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 利用柱面坐標和球面坐標利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分計算三重積分 一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分 二、利用球面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分 三、小結三、小結 思索題思索題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,0 r,20 . z一、利用柱面坐標計算三重積分在為空間內(nèi)一點，并設點設MzyxM),(，則這樣的三的極坐標為面上的投影, rPxoy規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr的柱面坐標就叫點個數(shù)Mzr,上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 .,sin,

2、coszzryrx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關系為標的關系為為為常常數(shù)數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與

3、拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉一周而成軸旋轉一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋

4、轉得，軸旋轉得，旋旋轉轉面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回:2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrr

5、drd上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、利用球面坐標計算三重積分可用為空間內(nèi)一點，則點設MzyxM),(為原來確定，其中，三個有次序的數(shù)rrzOMMO與為有向線段間的距離，與點點軸按軸來看自為從正軸正向所夾的角，xz為的角，這里段逆時針方向轉到有向線POP，個數(shù)面上的投影，這樣的三在點rxoyM的球面坐標就叫做點M上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為為常常數(shù)數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 .cos,

6、sinsin,cossin rzryrx球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸軸上上的的投投影影為為在在點點，面面上上的的投投影影為為在在設設點點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 3

7、3 計算計算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是錐面錐面222zyx ， 與與平面平面az )0( a所圍的立體所圍的立體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標標 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254

8、aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標標，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回由由三三重重積積分分的的性性質質知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回補充：

9、利用對稱性化簡三重積分計算補充：利用對稱性化簡三重積分計算運用對稱性時應留意：運用對稱性時應留意：、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的的奇偶性奇偶性平面對稱，且被關于一般地，當積分區(qū)域xoyD 的奇函數(shù)，則三重積分）是關于（積函數(shù)zzyxf,的偶函數(shù)，則三重）是關于（為零，若被積函數(shù)zzyxf,的三重積分的平面上方的半個閉區(qū)域在積分為xoy兩倍。上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例利利用用對對稱稱性性簡簡化化計計算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中積

10、積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關于三個坐標面都對稱，積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 計算計算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域.其其中中yzxy 是是關關于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關關于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,上頁上頁下頁下頁返回返回上頁

11、上頁下頁下頁返回返回同同理理 zx是是關關于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關關于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回在在柱柱面面坐坐標標下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影區(qū)區(qū)域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回1 柱面坐標的體積元素柱面坐標的體積元素dzrdrddxdydz 2 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元

12、素 ddrdrdxdydzsin2 3 對稱性簡化運算對稱性簡化運算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標三、小結上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思索題思索題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關于中關于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關關于于當當 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時為偶函數(shù)時關于關于當當.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 填

13、空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積分 dvzyxf),(表示成直角坐標下表示成直角坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標下在柱面坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標下在球面坐標下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標下的三次積分表為柱面坐標下的三次積分_, ,其值為其值為_. .練練 習習 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx

14、22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標下的三次積分或柱面坐標下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標下的三次積分為表為球面坐標下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計算下列三重積分二、計算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 2 2、

15、dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設設密密度度1 ) ). .上頁上頁下頁下頁返回返回上

16、頁上頁下頁下頁返回返回六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉動慣量直于母線的軸的轉動慣量 ( (設密度設密度)1 . .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習題答案練習題答案上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ；