振動圖像與波的圖像及多解問題專題

1、§8.4 振動圖像與波的圖像及多解問題專題一、振動圖象和波的圖象 振動是一個質(zhì)點隨時間的推移而呈現(xiàn)的現(xiàn)象，波動是全部質(zhì)點聯(lián)合起來共同呈現(xiàn)的現(xiàn)象簡諧運動和其引起的簡諧波的振幅、頻率相同，二者的圖象有相同的正弦（余弦）曲線形狀，但二圖象是有本質(zhì)區(qū)別的見表：振動圖象波動圖象研究對象一振動質(zhì)點沿波傳播方向所有質(zhì)點研究內(nèi)容一質(zhì)點的位移隨時間的變化規(guī)律某時刻所有質(zhì)點的空間分布規(guī)律圖線物理意義表示一質(zhì)點在各時刻的位移表示某時刻各質(zhì)點的位移圖線變化隨時間推移圖延續(xù)，但已有形狀不變隨時間推移，圖象沿傳播方向平移一完整曲線占橫坐標距離表示一個周期表示一個波長例題精選：例題1：如圖627所示，甲為某一波動

2、在t=10s時的圖象，乙為參與該波動的P質(zhì)點的振動圖象（1）說出兩圖中AA/的意義？（2）說出甲圖中OA/B圖線的意義？（3）求該波速v=？（4）在甲圖中畫出再經(jīng)35s時的波形圖（5）求再經(jīng)過35s時p質(zhì)點的路程S和位移解析：（1）甲圖中AA/表示A質(zhì)點的振幅或10s時A質(zhì)點的位移大小為02m，方向為負乙圖中AA/表示P質(zhì)點的振幅，也是 P質(zhì)點在 025s的位移大小為02m，方向為負（2）甲圖中OA/B段圖線表示O 到B之間所有質(zhì)點在10s時的位移、方向均為負由乙圖看出P質(zhì)點在10s時向一y方向振動，由帶動法可知甲圖中波向左傳播，則OA/間各質(zhì)點正向遠離平衡位置方向振動，A/B間各質(zhì)點正向靠近

3、平衡位置方向振動（3）甲圖得波長4 m，乙圖得周期 T1s 所以波速v=/T=4m/s（4）用平移法：xv·t14 m（3十½）所以只需將波形向x軸負向平移½=2m即可，如圖628所示（5）求路程：因為n=7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m 求位移：由于波動的重復(fù)性，經(jīng)歷時間為周期的整數(shù)倍時位移不變·所以只需考查從圖示時刻，p質(zhì)點經(jīng)T/2時的位移即可，所以經(jīng)35s質(zhì)點P的位移仍為零例題2：如圖所示，（1）為某一波在t0時刻的波形圖，（2）為參與該波動的P點的振動圖象，則下列判斷正確的是A 該列波的波速度為4ms

4、 ；B若P點的坐標為xp2m，則該列波沿x軸正方向傳播C該列波的頻率可能為 2 Hz； D若P點的坐標為xp4 m，則該列波沿x軸負方向傳播；解析：由波動圖象和振動圖象可知該列波的波長=4m，周期T10s，所以波速vT4ms 由P質(zhì)點的振動圖象說明在t=0后，P點是沿y軸的負方向運動：若P點的坐標為xp2m，則說明波是沿x軸負方向傳播的；若P點的坐標為xp4 m，則說明波是沿x軸的正方向傳播的該列波周期由質(zhì)點的振動圖象被唯一地確定，頻率也就唯一地被確定為f lt0Hz綜上所述，只有A選項正確點評：當一列波某一時刻的波動圖象已知時，它的波長和振幅就被唯一地確定，當其媒質(zhì)中某質(zhì)點的振動圖象已知時，

5、這列波的周期也就被唯一地確定，所以本題中的波長、周期T、波速v均是唯一的由于質(zhì)點P的坐標位置沒有唯一地確定，所以由其振動圖象可知P點在t0后的運動方向，再由波動圖象確定波的傳播方向 二、波動圖象的多解波動圖象的多解涉及：(1)波的空間的周期性；(2)波的時間的周期性；(3)波的雙向性；(4)介質(zhì)中兩質(zhì)點間距離與波長關(guān)系未定；(5)介質(zhì)中質(zhì)點的振動方向未定1波的空間的周期性 沿波的傳播方向，在x軸上任取一點P（x)，如圖所示，P點的振動完全重復(fù)波源O的振動，只是時間上比O點要落后t，且t =x/v=xT0/.在同一波線上，凡坐標與P點坐標x之差為波長整數(shù)倍的許多質(zhì)點，在同一時刻t的位移都與坐標為

6、的質(zhì)點的振動位移相同，其振動速度、加速度也與之相同，或者說它們的振動“相貌”完全相同因此，在同一波線上，某一振動“相貌”勢必會不斷重復(fù)出現(xiàn)，這就是機械波的空間的周期性 空間周期性說明，相距為波長整數(shù)倍的多個質(zhì)點振動情況完全相同2波的時間的周期性 在x軸上同一個給定的質(zhì)點，在t+nT時刻的振動情況與它在t時刻的振動情況（位移、速度、加速度等）相同因此，在t時刻的波形，在t+nT時刻會多次重復(fù)出現(xiàn)這就是機械波的時間的周期性波的時間的周期性，表明波在傳播過程中，經(jīng)過整數(shù)倍周期時，其波的圖象相同傳播距離：傳播時間：傳播速度：質(zhì)點振動路程：3波的雙向性 雙向性是指波沿正負方向傳播時，若正、負兩方向的傳播

7、時間之和等于周期的整數(shù)倍，則沿正負兩方向傳播的某一時刻波形相同4介質(zhì)中兩質(zhì)點間的距離與波長關(guān)系未定 在波的傳播方向上，如果兩個質(zhì)點間的距離不確定，就會形成多解，解題時若不能聯(lián)想到所有可能情況，易出現(xiàn)漏解5介質(zhì)中質(zhì)點的振動方向未定 在波的傳播過程中，質(zhì)點振動方向與傳播方向聯(lián)系，若某一質(zhì)點振動方向未確定，則波的傳播方向有兩種，這樣形成多解 說明：波的對稱性：波源的振動要帶動它左、右相鄰介質(zhì)點的振動，波要向左、右兩方向傳播對稱性是指波在介質(zhì)中左、右同時傳播時，關(guān)于波源對稱的左、右兩質(zhì)點振動情況完全相同5已知波速v和波形，畫出再經(jīng)時間波形圖的方法平移法：先算出經(jīng)時間波傳播的距離，再把波形沿波的傳播方向

8、平移即可。因為波動圖象的重復(fù)性，若已知波長，則波形平移n個時波形不變。當時，可采取去整留零的方法，只需移x即可。特殊點法：在波形上找兩特殊點，如過平衡位置的點和與它相鄰的峰（谷）點，先確定這兩點的振動方向，再看。由于經(jīng)nT波形不變，所以也是去整留零，分別做出兩特殊點經(jīng)t后的位置，然后按正弦規(guī)律畫出新波形。6已知振幅A和周期T，求振動質(zhì)點在時間內(nèi)的路程和位移求振動物體在時間內(nèi)的路程和位移，由于涉及質(zhì)點的初始狀態(tài)，需用正弦函數(shù)較復(fù)雜。特殊情況下如T/2或T時，則比較容易求。當質(zhì)點的初始位移為x0時，經(jīng)T/2的奇數(shù)倍時x=-x0，經(jīng)T/2的偶數(shù)倍時，x=x0。振動質(zhì)點無論從哪個位置開始計時，在一個周

9、期內(nèi)通過的路程為4A，半個周期內(nèi)通過的路程為2A，但不能說四分之一周期內(nèi)通過的路程為A。這與振子的計時位置有關(guān)。例題3：一列在x軸上傳播的簡諧波，在xl= 10cm和x2=110cm處的兩個質(zhì)點的振動圖象如圖所示，則質(zhì)點振動的周期為 s，這列簡諧波的波長為 cm 【解析】由兩質(zhì)點振動圖象直接讀出質(zhì)點振動周期為 4s由于沒有說明波的傳播方向，本題就有兩種可能性：（1）波沿x軸的正方向傳播在t0時，x1在正最大位移處，x2在平衡位置并向y軸的正方向運動，那么這兩個質(zhì)點間的相對位置就有如圖所示的可能性，也就x2一 x1（n十1/4），=400/（1十4n）cm（2）波沿x軸負方向傳播在t0時x1在正

10、最大位移處，x2在平衡位置并向y軸的正方向運動，那么這兩個質(zhì)點間的相對位置就有如圖所示的可能性，x2一 x1（n十3/4），=400（3 4n）cm 點評：由于波在媒質(zhì)中傳播具有周期性的特點，其波形圖每經(jīng)過一個周期將重復(fù)出現(xiàn)以前的波形圖，所以由媒質(zhì)中的質(zhì)點的振動圖象確定波長的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有兩個前提：一個是確定波傳播方向；一個是確定波長的范圍）例題4：如圖實線是某時刻的波形圖象，虛線是經(jīng)過0.2s時的波形圖象。求：4x/my0波傳播的可能距離 可能的周期（頻率）可能的波速 若波速是35m/s，求波的傳播方向 若0.2s小于一個周期時，傳播的距離、周期（頻率）、波速。解析：

11、題中沒給出波的傳播方向，所以有兩種可能：向左傳播或向右傳播。向左傳播時，傳播的距離為x=n+3/4=（4n+3）m （n=0、1、2 ）向右傳播時，傳播的距離為x=n+/4=（4n+1）m （n=0、1、2 ）向左傳播時，傳播的時間為t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2 ）向右傳播時，傳播的時間為t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1） （n=0、1、2 ）計算波速，有兩種方法。v=x/t 或v=/T向左傳播時，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+1

12、5）m/s.（n=0、1、2 ）向右傳播時，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 ）若波速是35m/s，則波在0.2s內(nèi)傳播的距離為x=vt=35×0.2m=7m=1，所以波向左傳播。若0.2s小于一個周期，說明波在0.2s內(nèi)傳播的距離小于一個波長。則：向左傳播時，傳播的距離x=3/4=3m；傳播的時間t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右傳播時，傳播的距離為/4=1m；傳播的時間t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.點評：做此類問題的選擇題時，可

13、用答案代入檢驗法。例題5：如圖所示，一列簡諧橫波在t1時刻的波形，如圖甲所示，質(zhì)點P在該時刻的振動速度為v，t2時刻質(zhì)點P的振動速度與t1時刻的速度大小相等，方向相同；t3時刻質(zhì)點P的速度與t1時刻的速度大小相等，方向相反若t2t1t3t202秒，求這列波的傳播速度 解析：從振動模型分析，若質(zhì)點P從t1時刻開始向平衡位置方向振動，在一個周期內(nèi)，從t1時刻到t2時刻，從t2時刻到t3時刻，對應(yīng)的振動圖象如圖乙所示考慮到振動的周期性，則有： t2t1（n14）T n0，1，2 周期為：T=（t2一t1）（n十1/4） n0，1，2 由公式：vT 得出速度v的通解為： v20（nl4） n=0，1，

14、2方向向左 若質(zhì)點 P從 t1時刻開始背離平衡位置方向振動，在一個周期內(nèi)，從t1時刻到t2時刻，從t2時刻到t3時刻，對應(yīng)的振動圖象如圖丙所示考慮到振動的周期性，則有： t2t1（n34）T n0，1，2 周期為：T=（t2一t1）（n十3/4） n0，1，2 由公式：vT 得出速度v的通解為： v20（n34） n=0，1，2方向向右 答案：v20（nl4）（n0，1，2） 方向向左 或v 20（ n 34）（ n 0，1，2，）方向向右123456789 Q RPx/cms/mO例題6：已知在t1時刻簡諧橫波的波形如圖中實線所示；在時刻t2該波的波形如圖中虛線所示。t2-t1 = 0.02

15、s來求：該波可能的傳播速度。若已知T< t2-t1<2T，且圖中P質(zhì)點在t1時刻的瞬時速度方向向上，求可能的波速。若0.01s<T<0.02s，且從t1時刻起，圖中Q質(zhì)點比R質(zhì)點先回到平衡位置，求可能的波速。解：如果這列簡諧橫波是向右傳播的，在t2-t1內(nèi)波形向右勻速傳播了，所以波速=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,)；同理可得若該波是向左傳播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,) P質(zhì)點速度向上，說明波向左傳播，T< t2-t1 <2T，說明這段時間內(nèi)波只可能是向左傳播了5/3個波長，所以速度是唯一的：v=500m/s

16、 “Q比R先回到平衡位置”，說明波只能是向右傳播的，而0.01s<T<0.02s，也就是T<0.02s<2T，所以這段時間內(nèi)波只可能向右傳播了4/3個波長，解也是唯一的：v=400m/s例題7：一列橫波沿直線在空間傳播，某一時刻直線上相距為d的M、N兩點均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個波峰，若經(jīng)過時間t，N質(zhì)點恰好到達波峰位置，則該列波可能的波速是多少？ACBD分析與解：本題沒有給定波的傳播方向，僅告訴我們在某一時刻M、N兩點均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個波峰由此我們可以推想，處在直線MN上的各個質(zhì)點在該時刻相對平衡位置的位移可能會有以下四種情況，即波的圖像有

17、以下四種圖形（如圖中A、B、C、D圖，各圖中均為左端為M，右端為N）：若波的傳播方向由M到N，那么： 在A圖中，經(jīng)過時間t，N恰好到達波峰，說明時間t內(nèi)波向右前進的距離，且，所以波速 在B圖中，經(jīng)過時間t，波峰傳到N點，則波在時間t內(nèi)向右前進的距離，且，所以波速 在C圖中，經(jīng)過時間t，波向右前進的距離，且，所以波速 在D圖中，經(jīng)過時間t，波向右前進的距離，且，所以波速 若波的傳播方向從N到M，那么： 在A圖中，質(zhì)點N此時要向下振動，經(jīng)過時間t，N到達波峰，則時間，在時間t內(nèi)波向左前進的距離，所以波速 在B圖中，經(jīng)過時間t， N到達波峰，則時間，在此時間內(nèi)波向左前進的距離，所以波速 在C圖中，波

18、在時間t內(nèi)向左前進的距離，且，所以波速 在D圖中，質(zhì)點N經(jīng)過變?yōu)椴ǚ?，所以，在時間t內(nèi)波向左前進的距離，所以波速所以該列波可能的波速有五種、 其實上述解決問題的方法過于程序化，如果能夠判斷出八種情況下該時刻波形圖上的波峰在傳播方向上到N點的距離S，波速v就等于例如：最后一種情況中，波峰在傳播方向上到N點的距離，所以波速其它情況讀者可自行解決例題8：（06上海10）在均勻介質(zhì)中選取平衡位置在同一直線上的9個質(zhì)點,相鄰兩質(zhì)點的距離均為L,如圖(a)所示,一列橫波沿該直線向右傳播,t=0時到達質(zhì)點1,質(zhì)點1開始向下運動,經(jīng)過時間t第一次出現(xiàn)如圖(b)所示的波形.則該波的( )A.周期為t,波長為8L

19、B.周期為t,波長為8LC.周期為t,波速為12L/tD.周期為t,波速為8L/t答案 BC解析 由圖(b)可看出,該波波長=8L,質(zhì)點9此時向上運動,這說明在t時間內(nèi),波傳播的距離大于一個波長,因質(zhì)點1開始振動的方向向下,故波傳播到質(zhì)點9時,質(zhì)點9起振的方向應(yīng)向下,而圖(b)中質(zhì)點9向上振動,這說明質(zhì)點9已振動了,故t=+T,T=t,機械波傳播的速度為v=,由此可知B、C選項正確.例題9：（07四川理綜20）圖甲為一列簡諧橫波在某一時刻的波形圖,圖乙為質(zhì)點P以此時刻為計時起點的振動圖象.從該時刻起 ( )A.經(jīng)過0.35 s時,質(zhì)點Q距平衡位置的距離小于質(zhì)點P距平衡位置的距離B.經(jīng)過0.25

20、 s時,質(zhì)點Q的加速度大于質(zhì)點P的加速度C.經(jīng)過0.15 s,波沿x軸的正方向傳播了3 mD.經(jīng)過0.1 s時,質(zhì)點Q的運動方向沿y軸正方向解析 由振動圖象可判定t=0時刻質(zhì)點P向下振動,則機械波向右傳播.經(jīng)0.35 s,即經(jīng)1T時,P點在波峰,故Q距平衡位置的距離小于P到平衡位置的距離,A對;經(jīng)0.25 s,即經(jīng)1T時,P在波谷,Q的加速度小于P的加速度,B錯;波速v= m/s=20 m/s,所以經(jīng)0.15 s波沿x軸的正方向傳播的距離s=vt=20×0.15 m=3 m,C對;Q點圖示時刻向上振動,經(jīng)半個周期,其運動方向沿y軸負方向,D錯. 答案 AC例題10：（07上海9）如圖所示,位于介質(zhì)和分界面上的波源S,產(chǎn)生兩列分別沿x軸負方向與正方向傳播的機械波.若在兩種介質(zhì)中波的頻率及傳播速度分別為f1、f2和v1、v2,則( )A.f1=2f2,v1=v2B.f1=f2,v1=0.5v2C.f1=f2,v1=2v2D.f1=0.5f2,v1=v2解析 機械波的頻率是由波源決定的,機械波的傳播速度是由介質(zhì)決定的,所以f1=f2,對介質(zhì),波速v1=1f=Lf,對介質(zhì),波速v2=2f=f