實(shí)驗(yàn)一隨機(jī)序列的產(chǎn)生及數(shù)字特征估計(jì)

1、實(shí)驗(yàn)一隨機(jī)序列的產(chǎn)生及數(shù)字特征估計(jì)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)習(xí)和掌握隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。2、實(shí)現(xiàn)隨機(jī)序列的數(shù)字特征估計(jì)。二、實(shí)驗(yàn)原理1、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)指的是各種不同分布隨機(jī)變量的抽樣序列（樣本值序列）。進(jìn)行隨機(jī)信號(hào)仿真分析時(shí)，需要模擬產(chǎn)生各種分布的隨機(jī)數(shù)。在計(jì)算機(jī)仿真時(shí)，通常利用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)。偽隨機(jī)數(shù)是按照一定的計(jì)算公式產(chǎn)生的，這個(gè)公式稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。偽隨機(jī)數(shù)本質(zhì)上不是隨機(jī)的，而且存在周期性，但是如果計(jì)算公式選擇適當(dāng)，所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)看似隨機(jī)的，與真正的隨機(jī)數(shù)具有相近的統(tǒng)計(jì)特性，可以作為隨機(jī)數(shù)使用。(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)是最最基本、最簡(jiǎn)單的隨機(jī)數(shù)。(0,1)均勻分布指的

2、是在0,1區(qū)間上的均勻分布，即U(0,1)。實(shí)際應(yīng)用中有許多現(xiàn)成的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器可以用于產(chǎn)生(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)，通常采用的方法為線性同余法，公式如下： y0=1, yn= kyn-1mod N （1.1） xn= ynN序列xn為產(chǎn)生的(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)。下面給出了（1.1）式的3 組常用參數(shù)： N = 1010，k = 7，周期 5*107；（IBM隨機(jī)數(shù)發(fā)生器）N = 231， k = 216 + 3，周期 5*108；（ran0）N = 231 - 1，k = 75，周期 2*109；由均勻分布隨機(jī)數(shù)，可以利用反函數(shù)構(gòu)造出任意分布的隨機(jī)數(shù)。定理1.1若隨機(jī)變量X具有連續(xù)分布函數(shù)

3、FX(X)，而R為(0,1)均勻分布隨機(jī)變量，則有X= FX-1(R) （1.2）由這一定理可知，分布函數(shù)為FX(X)的隨機(jī)數(shù)可以由(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)按（1.2）式進(jìn)行變換得到。2、MATLAB 中產(chǎn)生隨機(jī)序列的函數(shù)（1）(0,1)均勻分布的隨機(jī)序列函數(shù)：rand用法：x = rand(m, n)功能：產(chǎn)生m×n 的均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣。（2）正態(tài)分布的隨機(jī)序列函數(shù)：randn用法：x = randn(m, n)功能：產(chǎn)生m×n的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣。如果要產(chǎn)生服從N(, 2)分布的隨機(jī)序列，則可以由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)序列產(chǎn)生。（3）其他分布的隨機(jī)序列MATLAB 上還提供

4、了其他多種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，表1.1 列出了部分函數(shù)。表1.1 MATLAB 中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一些函數(shù)3.隨機(jī)序列的數(shù)字特征估計(jì)對(duì)于遍歷過程，可以通過隨機(jī)序列的一條樣本函數(shù)來獲得該過程的統(tǒng)計(jì)特性。這里我們假定隨機(jī)序列X(n)為遍歷過程，樣本函數(shù)為x(n)，其中n = 0, 1, 2, N-1。那么，X(n)的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為:å-利用MATLAB 的統(tǒng)計(jì)分析函數(shù)可以分析隨機(jī)序列的數(shù)字特征。（1）均值函數(shù)函數(shù)：mean用法：m = mean(x)功能：返回按(1.3)式估計(jì)X(n)的均值，其中x為樣本序列x(n)。- 4 -（2）方差函數(shù)函數(shù)：var用法：sigma2

5、 = var(x)功能：返回按（1.4）式估計(jì)X(n)的方差，其中x為樣本序列x(n)，這一估計(jì)為無偏估計(jì)。（3）互相關(guān)函數(shù)函數(shù)：xcorr用法： c = xcorr(x, y) c = xcorr(x)c = xcorr(x, y, 'opition')c = xcorr(x, 'opition')功能：xcorr(x,y)計(jì)算X(n)與Y(n)的互相關(guān)，xcorr(x)計(jì)算X(n)的自相關(guān)。option選項(xiàng)可以設(shè)定為：'biased' 有偏估計(jì)，即'unbiased' 無偏估計(jì)，即按（1.5）式估計(jì)。'coeff

6、9; m = 0時(shí)的相關(guān)函數(shù)值歸一化為1。'none' 不做歸一化處理。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及結(jié)果1. 采用線性同余法產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)1000個(gè)，計(jì)算該序列均值和方差與理論值之間的誤差大小。改變樣本個(gè)數(shù)重新計(jì)算。Script計(jì)算腳本：num=input('num= ');N=231;k=216+3; %IBM random number generator Y=zeros(1, num);X=zeros(1, num); Y(1)=1;for i = 2:num Y(i)=mod(k*Y(i-1), N);end X=Y/N; a=0;b=1;m0=(a+b)/2;s

7、igma0=(b-a)2)/12; %theoritical valuem1=mean(X);sigma1=var(X); %actual value delta_m=abs(m1-m0)delta_sigma=abs(sigma1-sigma0) %error plot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：num = 1000delta_m =0.0110delta_sigma =0.0011num = 5000delta_m =2.6620e-04delta_sigma =0.

8、0020num = 10000delta_m =8.7166e-05delta_sigma =4.1864e-04由結(jié)果可知， 當(dāng)num=10000時(shí)的均值和方差與理論值誤差最小，因此效果比較好。2. 參數(shù)為的指數(shù)分布的分布函數(shù)為FXx=1-e-x利用反函數(shù)法產(chǎn)生參數(shù)為0.5的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)1000個(gè)，測(cè)試其方差和相關(guān)函數(shù)。script計(jì)算腳本R = rand(1, 1000);lambda = 0.5;X = -log(1-R)/lambda; Dx = var(X)Rm, m = xcorr(X); subplot(2,1,1);plot(X, 'k');xlabel(&#

9、39;n');ylabel('X(n)');axis tight; subplot(2,1,2);plot(m, Rm, 'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;運(yùn)行結(jié)果：Dx =4.1286結(jié)果分析：參數(shù)為的指數(shù)分布，其方差為12。當(dāng)=0.5時(shí)， 應(yīng)有DX=4，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果DX=4.1286，可見大致與理論相符，誤差來源于樣本數(shù)量過少。3. 產(chǎn)生一組N(1,4)分布的高斯隨機(jī)數(shù)（1000個(gè)樣本），估計(jì)該序列的均值、方差和相關(guān)函數(shù)。script計(jì)算腳本：X = normrnd(1

10、, 2, 1, 1000); mx = mean(X)Dx = var(X) Rm, m = xcorr(X); subplot(2,1,1);plot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight; subplot(2,1,2);plot(m, Rm, 'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;運(yùn)行結(jié)果：Dx =3.8872結(jié)果分析：樣本方差為3.8872， 可見與理論值4比較接近。誤差主要來源于樣本數(shù)量過少。樣本的自相關(guān)函數(shù)表明：正態(tài)分布的隨機(jī)序列