均值不等式?？碱}型

1、均值不等式及其應用.均值不等式2221 .(1)若a,bR,則a2b22ab(2)若a,bR,則aba-(當且僅當ab時取“二”)22 .(1)若a,bR*,則土上標(2)若a,bR*,則ab2Jab(當且僅當ab時取“=”)22(3)若a,bR*,則abab(當且僅當ab時取“=”)21時取“=”)113 .若x0,則x2(當且僅當x1時取=);若x0,則x2(當且僅當xxx若x0,則x12即x12或x1-2(當且僅當ab時取“=")xxx2(當且僅當ab時取"二”)-2 (當且僅當a b時取“=”)若ab0,則ab2即ab2或abbababa.2.24 .若a,bR,則

2、(_a_b)2a_b_(當且僅當ab時取"=”)22注：(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.應用一：求最值例1:求下列函數的值域11(1) y=3x2+雙y=x+x=乖，值域為加5 + )x x =2；解：y=3x2+2x>2V3x2點(2)當x>0時，y=x+11>2j當x<0時，y=x+-=_(_x_)w_2、/x,一=_2xx

3、；x，值域為(一8,2U2,+8)解題技巧：技巧一：湊項一一，5例1:已知x,求函數v4x2的取大值。4y4x5解：因4x50,所以首先要“調整”符號，又(4x2)1不是常數，所以對4x2要進行拆、湊項,Mx5115,._11x,54x0，y4x254x3231144x554x一,1_,.當且僅當54x一，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax1。54x評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例1.當Usxc4時，求yx(82x)的最大值。解析：由口u/44知，*-2m>口，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其

4、和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數即可。當8-2其，即x=2時取等號當x=2時，yx(82x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。3變式：設0x萬，求函數y4x(32x)的最大值。解：: 032x32xx232x0y4x(32x)22x(32x)23 3當且僅當2x32x,即x0,-時等號成立。4 2技巧三：分離2,x27x10例3.求y2"_0(x1)的值域。x1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。當工,即工4口時，y2

5、J(x1)-59(當且僅當x=1時取“=”號)。,x1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。當工nT,即t=|x+ln0時，y2，t459(當t=2即x=1時取“=”號)。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最A值。即化為ymg(x)B(A0,B0),g(x)恒正或恒負的形式,g(x)例:求函數yx2 5x 5的值域。x2然后運用均值不等式來求最值。f(x) x旦的單調性。x技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數解：令&_4t(t2),則vx25

6、Jx24-J=zt1(t2)y.x24.x24tE11.一.因t0,t-1,但t-解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt一、，1一5因為yt-在區(qū)間1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數，故y。t2所以，所求函數的值域為52,練習.求下列函數的最小值,并求取得最小值時,x的值.x2 3x 1(1) y (x 0) y 2x1 ,x 3 (3) y 2sin x x 3sin x,x (0,)2.已知0x1,求函數yJx(1x)的最大值.；3.0x2,求函數y,x(23x)的最大值.條件求最值1.若實數滿足ab2,則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而

7、且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數，3a3b>2j3a3b23萬6ab_ab一_ab當33時等號成立，由ab2及33得ab1即當ab1時，33的最小值是6.變式：若log 4 x11心log4y2,求一的取小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。192：已知x0,y0,且一一1,求xy的最小值。xy漏2歷12故x 丫 min 12。錯解：x0,y0,且121,xy錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x y 2/xy等號成立條件是xy,在£ 2巴等號成立x y xy19條件是-即

8、y9x，取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，歹咄xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。y 9x-10 6 10 16x y-F31919正斛：1*0,y0_1,xyxyxyxyy9x19.一當且僅當上時，上式等號成立，又一一1,可得x4,y12時，xy16。xyxym變式：(1)若x,yR且2xy1,求1。的最小值xy(2)已知a,b,x,yR且ab1,求xy的最小值xy技巧七、已知x,y為正實數，且x2+y2=1,求x-1+y2的最大值.八，一一一，“八,一一e,a2+b2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故米用公式abw2。同時

9、還應化簡1+y2中y2前面的系數為2,xj1_|_y2=x2,2-=J2x,'"J"2+'下面將x,、/1+，分別看成兩個因式：1 y2 x2+ x , 2 +2 W工)2X2+1十2)x2十23=即 x< 1 + y2 =2 x、/2 +2 w技巧八：已知 a, b為正實數，2b+ab+a=30,求函數分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑， 性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進行。1，一，y=Tu的取小值.ab一是通過消元，轉化為一元函數問題二是直接用基本 不

10、等式，對本題來說，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式,再用單調因已知條件302b法一：a= =丁，b+1302bab= , , . b =b+ 1-2 b2+30bb+ 124由a>0得，0vbv15法二:點評:令 t= b+1,ab< 18由已知得：令 u= ab1vtv16, ab =2t 2+ 34t311 y> W30-ab=a + 2b/. .ab- <32 ,本題考查不等式16162(t+1)+ 34 .- t + jT >當且僅當t=4,即b=3, a= 6時，等號成立。a + 2b>2/2abU2+2* u-30<0, 5也 WuW

11、3中1、ab< 18, y>T1830- abn 2M2 ab16t =8a b ab (a,b2R)的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式aba2b30(a,bR)出發(fā)求得ab的范圍，關鍵是尋找到ab與ab之間的關系，由此想到不等ab式vab(a,bR),這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2變式：1.已知a>0,b>0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x,y為正實數，3x+2y=10,求函數W=V3x+a的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，號wa

12、詈，本題很簡單保+V2y血'(V3)2+(兩)2=啦hx+2y=2泗解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0,W2=3x+2y+2必炳=10+2而V2y<10+(3x)2-(2y)2=10+(3x+2y)=20WW遮=2近變式：求函數yV2T7后其(1x5)的最大值。2 2解析：注意到2x1與52x的和為定值。又y0,所以0y2723當且僅當2x1=52x,即x-時取等號。故ymax2&。max評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用均值不等式

13、求最值時，一定要注意“一正二定三相等"，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1,已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2b2c2abbcca1)正數a,b,c滿足a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6：已知a、b、cR,且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又11L2b_c2_bc,可由此變形入手。aaaa解：a、b、c R , a b c 1。1 d 1 a b c 2 . bc1 a a a a-1同理一1 b2、. ac12, ab， 1 b c c上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111滔abca2.ab8。當且僅當1,一一時取等號。3應用三：均值不等式與恒成立問題一一19例：已知x0,y0且1-xy1,求使不等式xy