應(yīng)變能密度的分析

1、3.2彈性應(yīng)變能密度函數(shù)321彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的定義彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要產(chǎn)生變化。根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一部分 將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界 吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量?，F(xiàn)分析彈性體內(nèi)任一有限部分刀的外力功和內(nèi) 能的變化關(guān)系，設(shè)彈性體內(nèi)取出部分 工的閉合表面為S，它所包圍的體積為Vo 以W表示外力由于微小位移增量在取出部分 工上所作的功，8U表示在該微 小變形過程中取出部分 工的內(nèi)能增量，sK表示動能增量，Q表示熱量的變化（表 示為功的單位），根據(jù)熱力學(xué)第一定律，則有s

2、W = s K + s U - s Q我們首先假設(shè)彈性體的變形過程是絕熱的，也就是假設(shè)在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得失。再假設(shè)彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽 略不計(jì)（這樣的加載過程稱為準(zhǔn)靜態(tài)加載過程），則根據(jù)上式表示的熱力學(xué)第一 定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲得的，故稱之為 彈性變形能或彈性應(yīng)變能。 由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程， 所以，卸載后，彈性應(yīng)變能將全 部釋放出來。下面，推導(dǎo)單位體積彈性應(yīng)變能的表達(dá)式。仍以X、Y、Z

3、表示單位體積的外力，表示作用在彈性體內(nèi)取出部分 工表面上 單位面積的內(nèi)力。對上述的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，可以認(rèn)為彈性體在外力作用下始終 處于平衡狀態(tài)。外力所作的功 W包含兩個部分：一部分是體力 X、Y Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2,它們分別為111 二廠(3.30)w二皿兀 qt/r 二V以及咒二 JJ工仲沼二 JJODf + fr + N険活（3.31） SS于是，有W =兀+ W2 = jJ碑0 + ®耳淬V£=jjf （A7/ + Yv + 乃嘆廠 + （Xu + Yv + Zw）dS v$（3.32）因此，外力由于微小位移增量在取出部分工上所作的功 W可以表

4、示為(3.33)dW8W+ dW2 二 jJXfSu + XufdSVs將平衡微分方程（1.66 ）和靜力邊界條件（1.68 ）代入上式，并利用散度定 理，上式可化為5W二町（-嘰網(wǎng)）亦+（勺網(wǎng)旳亦vs=m gjj網(wǎng)）臚+jjj冋西力羽=jjj叭腫VVV（3.34）利用幾何方程（2.12 ），并注意到°耳二一 jy、匯'二，最終可推得相應(yīng)的內(nèi)能增量$U為dU 二 d Jlh牧珂二山円聞羽（3.35）VV定義函數(shù)uo（j），使之滿足該定義式稱為格林（Green ）公式。將它代入式（3.35），有§u=H吋訶=M讐亦 訓(xùn)肌亦=< 訶VV Ubij¥V(3

5、.37)由上式可以看出，函數(shù)U0（ j）表示單位體積的彈性應(yīng)變能，故稱之為彈性應(yīng)變 能密度函數(shù)（或彈性應(yīng)變比能函數(shù)），簡稱為應(yīng)變能。由于彈性應(yīng)變能密度函數(shù) 表示彈性體的內(nèi)能概念，因此，它必然是一個勢函數(shù)，故也稱之為 彈性勢函數(shù)。對式（3.36 ）取積分，可得U Q （爲(wèi)）r侖t. "!匚,打（3.38）這里，Uo（ j）和Uo（O）分別表示物體變形之后和未變形時的彈性應(yīng)變能密度。通常，取uO（O）=O，于是有(3.39)根據(jù)格林公式（3.36），假如uo（j）的具體函數(shù)形式能夠確定的話，那么，彈 性體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系也就完全確定了。 這表明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)是 彈性材料本構(gòu)關(guān)

6、系的另一種表達(dá)形式。若假設(shè)uo（§）對j有二階以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由格林公式（3.36），可進(jìn)一步 推得%二嘰運(yùn)； CS.（ 340）上式就稱為廣義格林公式。將式（3.3 ）代入廣義格林公式，可得(3.41)這就證明了各向異性彈性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個以上我們討論的是彈性體的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，如果彈性體在外力作用下處于. 運(yùn)動狀態(tài),同樣可以證明,彈性應(yīng)變能密度函數(shù)仍具有式（3.39）所表示的形式 此外，還可以證明，對于變形過程是等溫的情形,彈性應(yīng)變能密度函數(shù)也可以近 似地表示為式（3.39 ）的形式。3.2.2線彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)對線彈性體，它的應(yīng)力與應(yīng)變之間呈線性關(guān)系，如

7、式（3.2）所示，因此，由 式（3.39 ）可以發(fā)現(xiàn)，彈性應(yīng)變能密度函數(shù) uo（ij）定是應(yīng)變張量分量的二次齊 次函數(shù)。根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉（Euler）定理，有(3.42)代入格林公式（3.36），得（3.43）這就是線彈性體彈性應(yīng)變能密度函數(shù) Uo（ §）的最一般表達(dá)形式。對于各向同性彈性體，則有Wo （勺）二 + 5局二札防 + 2G& +£； + £；） + G（殆 + 了； + 總）（3.44）或"o（W ）二寺（b； + b + b； ） - 2 （耳弓 + bz + bzbj +右儒+；+：）（3.45）從表達(dá)式（3.44 ）或式（3

8、.45 ）中可得到一個重要的結(jié)論：各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)恒為正，而且分別為 g和c j的二次齊函數(shù)。若將式（3.45 ）分別對各個應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，則可推得込二勾（346）上式表明：對彈性勢函數(shù)uo（ c ij）求各個應(yīng)力分量的偏導(dǎo)數(shù)，就可以得到相應(yīng) 的各個應(yīng)變張量分量。從彈性應(yīng)變能密度函數(shù) 比（§）出發(fā)，我們還可以求出整個彈性體的總應(yīng)變能U。設(shè)一個彈性體的體積為V，則整個彈性體的總應(yīng)變能U為&nbs,p;&, ;nbs, p; (3.47)V1N2 （x）dx 1以下，列出幾個各向同性彈性體常用的應(yīng)變能表達(dá)式:° £4 :（工）鳳 1

9、 F EI EA（）2dx （桿拉伸情形）"U血M它-Ei（yax （梁純彎曲情形） 2Jo dx2=-f理辿=-（GI （坐）臨（圓軸桿扭轉(zhuǎn)情形） 2Jo G仁2Jo 八dx323體變能和畸變能的概念在介紹體變能和畸變能的概念之前，我們首先對各向同性彈性體的本構(gòu)方程（3.21）作一有意義的分解，即把應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都分解為球量和偏量兩個 部分（T ij = sij +（T m S ijij = eij + m S ij這里，（T m =（T ii /3 = （T x+（T y+ c z）/3為平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力,j m= di / 3= （ j x + j y+ j z）/3 為

10、平均正應(yīng)變。于是，式（3.21 ）就改寫為勺+ b再-兄陶+ 2"（勺+ sm3g ） =2“旬+（加9 + 2嶺）爲(wèi) =2“旬+（32十2“）&詢利用體積模量K=（3入+2卩）/3，則上式變?yōu)?3.48 )sj + a m S ij = 2ge i+3Ke m將式（3.26 ）代入上式，可得片=2/佝=2G§jafwuf（3.49）由此可見，對各向同性彈性體，其變形可以分為相互獨(dú)立的兩個部分：一部分是由各向相等的正應(yīng)力（靜水應(yīng)力）引起的相對體積變形（體積應(yīng)變）；另一 部分則是由應(yīng)力偏量作用所引起的物體幾何形狀的變化（即畸變）?，F(xiàn)考察各向同性彈性體在兩種特殊的應(yīng)力狀態(tài)作用下的彈性應(yīng)變能：一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是球量，另一種對應(yīng)的應(yīng)力張量是偏量。由于在以應(yīng)力球張量描繪 的應(yīng)力狀態(tài)作用下，各向同性彈性體僅產(chǎn)生體積變化， 所以，稱與之對應(yīng)的彈性 應(yīng)變能為體變能；而在以應(yīng)力偏量描繪的應(yīng)力狀態(tài)作用下， 各向同性彈性體僅產(chǎn) 生幾何形狀的變化，所以，稱與之對應(yīng)的彈性應(yīng)變能為 畸變能（或形變能）。根 據(jù)各向同性彈性體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的表達(dá)式（