第一類(lèi)曲線(xiàn)積分ppt課件

1、問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分第一類(lèi)曲線(xiàn)積分第一類(lèi)曲線(xiàn)積分一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取極限取極限M取近似取近似曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念1.1.定義定義設(shè)設(shè)L為為 xOy面內(nèi)一

2、條光滑曲線(xiàn)弧面內(nèi)一條光滑曲線(xiàn)弧,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值,0時(shí)時(shí) 在在L上任意插入一點(diǎn)列上任意插入一點(diǎn)列把把L分成分成n個(gè)小段個(gè)小段.設(shè)第設(shè)第i個(gè)小段的個(gè)小段的第第i個(gè)小段上任意取定的個(gè)小段上任意取定的長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為一點(diǎn)一點(diǎn),Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nM MM曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量 LsyxMd),( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在,

3、 則稱(chēng)此極限為則稱(chēng)此極限為),(yxf函函數(shù)數(shù)在曲線(xiàn)弧在曲線(xiàn)弧 L 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分或或第一類(lèi)曲線(xiàn)積分第一類(lèi)曲線(xiàn)積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分0lim 2. 性質(zhì)性質(zhì) (1) 與積分路徑的方向無(wú)關(guān)與積分路徑的方向無(wú)關(guān),即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分在在函函數(shù)數(shù)),()2(yxf Lsyxfd),(閉曲線(xiàn)閉曲線(xiàn)L L上上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分記作記作三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的計(jì)算三、

4、對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理定理),()()( ttytxL的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上在在曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧設(shè)設(shè)Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), Lsyxfd),( 注意注意對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求0d s定積分的下限定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 tttd)()(22 特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba baxf,(1)xx d)(12 )(x dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yy d)(1

5、2 f),(t )(t Lsyxfd),( tttd)()(22 )()(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t Lsyxfd),( tttd)()(22 例例解解例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原點(diǎn)點(diǎn)到到為為其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 )2 , 2( xy22 xyO

6、,d22 Lyxse計(jì)計(jì)算算,:222ayxL 由由圓圓周周軸軸及及直直線(xiàn)線(xiàn)xxy 在第一象限中所圍圖形的邊界在第一象限中所圍圖形的邊界.AB Lyxsed22 BOABOA提示提示解解:OA, 0 y OAyxsed22xsd01d2 :ABcos ,sin ,xat yat04t seAByxd2240dtdtae a xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyOAB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO,1),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxf上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)Lyxf),( SsL),(y

7、xfz 幾何意義幾何意義 Lsd(1)(2),),(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)yx四、幾何意義與物理意義四、幾何意義與物理意義 Lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) L Lsyxfd),(22 ( )cos , ( )sin ( )( )df rrrr:( ),L rr 22222()()RRxy2222xyzR解解例例 求圓柱面求圓柱面 被截在球被截在球02:cos , ,L rR 由對(duì)稱(chēng)性知，所求面積是第一卦限部分面由對(duì)稱(chēng)性知，所求面積是第一卦限部分面積的積的4倍倍2224LSRxy ds24R222204cosRR對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分內(nèi)的部分曲面的面積。內(nèi)的部分曲

8、面的面積。Rd軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸及軸及曲線(xiàn)弧對(duì)曲線(xiàn)弧對(duì)yx)2(,d2 LxsyI 曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo))3(,dd LLssxx 的的線(xiàn)線(xiàn)密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx),()( 1 LsyxMd),( 物理意義物理意義 LysxId2 LLssyydd 則則為下半圓周為下半圓周設(shè)平面曲線(xiàn)設(shè)平面曲線(xiàn),12xyL ).(d)(22 syxL曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分 解解 設(shè)下半圓周的參數(shù)方程設(shè)下半圓周的參數(shù)方程cos ,sinxt yt那么那么syxLd)(22 22(cossin)tt 22dtdt( sin )(cos )tt 2對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分還有更簡(jiǎn)單的方法

9、嗎還有更簡(jiǎn)單的方法嗎? 在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上關(guān)于上關(guān)于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) Lsyxfd),(是是L上關(guān)于上關(guān)于x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 LsyxfL1是曲線(xiàn)是曲線(xiàn)L落在落在y 軸一側(cè)的部分軸一側(cè)的部分.在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的L關(guān)于關(guān)于y軸軸 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng),補(bǔ)充補(bǔ)充對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)曲線(xiàn)曲線(xiàn)L上連續(xù)上連續(xù), ),(yxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)那那么么, 0當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y)(或或y)當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或x軸軸)(或或x) 例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,

10、d Lsx對(duì)對(duì)因積分曲線(xiàn)因積分曲線(xiàn)L關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是是L上上0d Lsx Lsy,d3對(duì)對(duì)被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 Lsy因積分曲線(xiàn)因積分曲線(xiàn)L關(guān)于關(guān)于3y222Ryx 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性, ,計(jì)算計(jì)算得得0 是是L上上y軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù)xyO例例).0(222 xRyxABL解解xyO即即是右半圓周是右半圓周其中其中計(jì)算計(jì)算,d|LsyL ,軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yy Ry02則則其周長(zhǎng)為其周長(zhǎng)為為橢圓為橢圓設(shè)設(shè), 13422ayxL Lsyxxyd)432(22a12解解 Lsxyd20 Lsyxd)43(1211222 Lsyxd)34(1222sLd112 a12 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 Lsyxxyd)432(2202