第三講三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、第三講 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 課前預(yù)習(xí)1下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的是( )3x（A） (B) )xsin(y32)xsin(y62(C) (D) )xsin(y62)xsin(y62解：B.2已知點在第一象限，則在內(nèi)，的取值范圍是( ) )tan,cos(sinP20,（A） （B） 45432,4524,（C） （D） 2345432,4324解：B.3函數(shù)的定義域為 （ ） )xcoslg(y12（A） （B）33xx66xx（C） （D） Zk ,kxkx3232Zk ,kxkx6262解：C.4若是周期為的奇函數(shù)，則可以是（ ） xsin)x(f)x(f（A） （B

2、） （C） （D） xsinxcosxsin2xcos2解：B.5. (天津)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象xcosy2)xsin(y422上所有的點的( )(A)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動個單位長度218(B)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變） ，再向右平行移動個單位長度214(C)橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變） ，再向左平行移動個單位長度4(D)橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變） ，再向右平行移動個單位長度8解：C.課堂典例精講 例 1：已知函數(shù). )Rx(xcos)xsinxcos(xsin)xcosx(sin)x( f3 ()求函數(shù)的周期；)

3、x( f ()函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？)x( fxsiny22分析：分析：三角函數(shù)周期性的題目是命題者送給考生的見面禮物！就像考慮三角函數(shù)的其它性質(zhì)一樣，把三角函數(shù)式化作只含一個三角符號的一次式是求解此類題的決定性步驟，然后套用正弦(或余弦、正切、余切)型函數(shù)的最小正周期公式即可。另外三角函數(shù)的圖像變換是k)xsin(Ay|T2重點也是難點，要求學(xué)生切實掌握平移和伸縮變換的規(guī)律。解：.)xsin(xcosxsinxcosxsinxcosxsin)x(f432222222322()函數(shù)的最小正周期為.)x(f()函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)xsiny2283的圖象；將函數(shù)

4、的圖象向上平移 2 個單位得)xsin(y4322)xsin(y4322到函數(shù)的圖象.即將函數(shù)的圖象按向量)xsin(y4222xsiny22平移得到函數(shù)的圖象.),(a283)x(f反思：反思：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在本章中占有非常重要的地位，因此，必須認真掌握三角函數(shù)的圖象特征，圖象變換(平移、伸縮)理論；以及三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)，并能以三角變換為手段，以其中的數(shù)學(xué)思想和方法為依托解決三角函數(shù)與向量、函數(shù)的綜合問題.例 2：(重慶)若函數(shù)的最大值為 2，試)xcos(xsina)xsin(xcos)x( f222421確定常數(shù) a 的值.分析：分析：三

5、角函數(shù)的最值問題是一個?？贾R點，要求學(xué)生切實掌握三角函數(shù)的值域。并且能熟練的對所給三角式子進行變形，轉(zhuǎn)化為正、余弦函數(shù)，從而利用正、余弦函數(shù)的有界性求出所給函數(shù)的最值。解：，其中，22422xcosxsinaxcosxcos)x(fxsinaxcos221)xsin(a4412，由已知，解得211asin44412a15a反思：反思：三角函數(shù)最值類型常有兩種解法：一是化為只含一個三角符號的一次式后利用正弦或余弦函數(shù)的有界性，要特別注意自變量的范圍限制；二是通過換元轉(zhuǎn)化為有范圍限制的一元二次函數(shù)的最值問題.例 3：(2005 年江蘇模擬題)設(shè)函數(shù)，給出以)|,( )xsin()x( f20下四

6、個論斷：它的最小正周期為；它的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形；12x它的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形；),(03在區(qū)間上是增函數(shù).)0,6以其中兩個論斷作為條件，另兩個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題 (用序號表示即可).分析：分析：本題是一個開放性題目，綜合考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，周期性以及對稱性。解：若、成立，則；令，且，222122kZk2|300-3001180-1900oIt故，. 此時，當(dāng)時，0k3)xsin()x( f323x，的圖象關(guān)于成中心對稱；又在032sin)xsin()x( f),(03)x( f上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，因此12,125)0,6，用類似的分析可得. 因

7、此填或.反思反思：三角函數(shù)的周期性、對稱性是三角函數(shù)的特有性質(zhì)，要切實掌握，并注意結(jié)合三角函數(shù)的圖像，從而達到解決問題的目的.例 4：已知電流與時間 的關(guān)系式為Itsin()IAt（）右圖是（0，）sin()IAt|2在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求sin()IAt的解析式；（）如果 在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最t1150sin()IAt大值和最小值，那么 的最小正整數(shù)值是多少？分析：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和邏輯推理能力解解:（）由圖可知300A設(shè)1，2， t1900t1180則周期T2（21）2（）tt11801900175150 2T又當(dāng) 時，

8、0，即 sin（150）0，t1180I1180而， |26故所求的解析式為 300sin(150)6It（）依題意，周期，即， （）T1150211500300942，又，故最小正整數(shù)943 N反思反思:本題解答的關(guān)鍵點是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，其中讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑例 5：方程在上有兩個不同根、，求 m 的范圍mxcosxsin3),(20及的值. 分析：分析：本題如果直接去考慮方程的根的情況，比較困難。遇到這種情況的時候，我們不妨換個角度來看問題。正所謂是“退一步海闊天空” ， “橫看成嶺側(cè)成峰” 。當(dāng)我們把方程的左右兩邊分開來看時，思路就有了。其實我們可以用“數(shù)形結(jié)

9、合”的方法解決。解：原方程即,設(shè)，23m)xsin()xsin(y3122my 兩函數(shù)的圖象如右圖.由圖知：且時，121m232m原方程在總有兩個不同根；另一方面，),(20當(dāng)時，,關(guān)于對稱，1223m6x故，所以；當(dāng)時，,關(guān)于對稱，故6232321m67x，所以.所以 m 的范圍是或；6723732m23 m或.337反思：反思：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)問題中，如果能充分的結(jié)合圖形，往往能受到意想不到的效果。三角函數(shù)是函數(shù)的一種，所以有關(guān)函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合，都可移植到三角中來：諸如方程根的個數(shù)的探討、解不等式、單調(diào)性與值域等，只要看作函數(shù)時，圖象易于作出即可.課后練習(xí)A

10、 基礎(chǔ)練習(xí)1. 函數(shù)在下列哪個區(qū)間上是減函數(shù)( )xy2cos(A) (B) (C) (D)4,443,42, 0,2解：C.2 、函數(shù) y=cos(2x+)的圖象的一個對稱軸方程為 （ ）2(A) (B) (C) (D) 2x4x8xx解：B.3(全國卷)函數(shù)的最小正周期是( )|xcosxsin|)x( f(A) (B) (C) (D)422解：C 4右圖是周期為的三角函數(shù)的圖象，2)x(fy 那么可以寫成 （ ）)x(f(A) (B) )xsin( 1)xsin(1(C) (D) )xsin(1)xsin( 1解：D.5設(shè)函數(shù) f（x）=A+Bsinx，若 B0 時，f（x）的最大值是，

11、最小值是，2321yx111x232o2m67326y則 A=_，B=_.解：填： 1.根據(jù)題意，由可得結(jié)論.212123BABA，B 能力提升1(山東)已知函數(shù)，則下列判斷正確的是( )xcos()xsin(y1212(A)此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是2),(012(B)此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是),(012(C)此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是2),(06(D)此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是),(06解：B.2(全國卷)已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則( )xtany),(22(A) (B) (C) (D)100111解：B.3定義運算，

12、例如，則函數(shù)的值域為ba, bba, aba121xcosxsin)x( f 解： 當(dāng)，即時，22, 1xcosxsin)Zk(kxk24243xsin)x(f此時；當(dāng)，即時，xsin)x(f22, 1xsinxcos)Zk(kxk24524，此時，綜上，的值域為xcos)x(fxcos)x(f22, 1xcosxsin)x( f.22, 14已知 P（1，cosx） ，Q（cosx，1） ，x，.44（1）求向量和的夾角的余弦用 x 表示的函數(shù) f（x） ；OPOQ（2）求的最值.cos解：（1）=2cosx，|=1+cos2x，f（x）OPOQOPOQ=；cosxx2cos1cos2（2）x， ，cosx，1=，4422cosxx2cos1cos2xxcos1cos22cosx+，cos1.即的最大值為 1，最小值為xcos1223322cos.3225是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在閉區(qū)間上的最a23852axcosaxsiny2, 0大值是 1?若存在，求出對應(yīng)的值；若不存在，試說明理由.a