2015全國1理數(shù)試卷含答案

1、絕密啟封并使用完畢前 試題類型：A2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷1至3頁，第卷3至5頁.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效. 4. 考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.第卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1） 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|(A)1 (B) (C) (D)2(2)sin20°cos10°con160°sin10° (A)

2、(B) (C) (D)(3)設(shè)命題P：nN，>，則P為 (A)nN， > (B) nN， (C)nN， (D) nN， (4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為(A)0.648 (B)0.432(C)0.36(D)0.312(5)已知M(x0，y0)是雙曲線C： 上的一點，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是(A)(，)(B)(，)(C)(，) (D)(，)(6)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:

3、積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛(7)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，則(A) (B) (C) (D) (8)函數(shù)f(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A)()，k (b)()，k(C)()，k (D)()，k(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t0.01，則輸出的n(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2rr正視圖正視圖俯視圖r2r（

4、10） 的展開式中，的系數(shù)為(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11） 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，（12） 該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的（13） 表面積為16 20，則r(A)1(B)2(C)4(D)812.設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)0，則a的取值范圍是( )A.，1) B. ) C. ) D. ，1)第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題第(24)題未選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共

5、3小題，每小題5分(13)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a (14)一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .(15)若x，y滿足約束條件，則的最大值為 .(16)在平面四邊形ABCD中，ABC75°，BC2，則AB的取值范圍是 . 三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分) Sn為數(shù)列an的前n項和.已知an>0，()求an的通項公式：ABCFED()設(shè) ，求數(shù)列的前n項和(18)如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2

6、DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值(19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1，2，···，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.年銷售量/t年宣傳費(千元)(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.656.36.8289.81.61469108.8表中wi ， ， ()根據(jù)散點圖判斷，yabx與ycd哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸

7、方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)()根據(jù)()的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；()以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)()的結(jié)果回答下列問題：（i） 年宣傳費x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？（ii） 年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1 v1)，(u2 v2). (un vn)，其回歸線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：(20)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y與直線l:ykxa(a>0)交于M，N兩點，()當(dāng)k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；()y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總

8、有OPMOPN？說明理由.(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) ()當(dāng)a為何值時，x軸為曲線 的切線；()用 表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h(x)零點的個數(shù)請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.(22)(本題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E CDAEBO （I） 若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；（II） 若OACE，求ACB的大小. (23)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系

9、與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中.直線:x2，圓：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點， x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I） 求，的極坐標(biāo)方程；（II） 若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為， ，求C2MN的面積 (24)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)|x1|2|xa|，a>0.()當(dāng)a1時，求不等式f(x)>1的解集；()若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題A答案一、 選擇題（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B

10、（12）D二、填空題 （13）1 （14） （15）3 （16）二、 解答題（17）解：（I）由，可知可得 即由于可得又，解得所以是首相為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為（II）由設(shè)數(shù)列的前n項和為，則（18）解：（I）連結(jié)BD，設(shè)BDAC=G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中不妨設(shè)GB=1.由ABC=120°，可得AG=GC=.由BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，可得FE=.從而又因為所以平面（III） 如圖，以G

11、為坐標(biāo)原點，分別以GB，GC的方向為x軸，y軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz. 由（I）可得所以故所以直線AE與直線CF所成直角的余弦值為.（19）解： （I）由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型。 2分 （II）令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程。由于 。所以y關(guān)于w的線性回歸方程為，因此y關(guān)于x的回歸方程為。 6分 （III）（i）由（II）知，當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值年利潤z的預(yù)報值。 9分 （ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值 所以當(dāng)，即x=46.24時，取得最大值 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大。 12分（

12、20）解：（I）有題設(shè)可得又處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點出的切線方程為，即.股所求切線方程為（III） 存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x,y),N(x,y)直線PM，PN的斜率分別為故從而當(dāng)b=-a時，有（21）解：（I）設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點因此，當(dāng)（II）當(dāng)是的零點綜上，當(dāng)（22）解：（I）鏈接AE，由已知得，在中，由已知得，DE=DC故鏈接OE，則OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°故，DE是得切線（II）設(shè)CE=1，AE=X，由已知得，由攝影定理可得，AE=CE.BE，所以即可得，所以（23）解： （I）因為，所