數(shù)字電路教案-閻石第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1 概述1、邏輯代數(shù)亦稱布爾代數(shù)，是研究數(shù)字邏輯電路的基本工具。2、事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。3、邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。4、邏輯代數(shù)與普通代數(shù)相似之處在于它們都是用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。但不同的是，邏輯代數(shù)是描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，邏輯函數(shù)表示式中的邏輯變量的取值和邏輯函數(shù)值都只有兩個值，即0 和1。這兩個值不具有數(shù)量大小的意義，僅表示

2、事物的兩種相反狀態(tài)。2.2 邏輯函數(shù)及其表示法2.2.1基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算·基本的邏輯關(guān)系：與、或、非三種邏輯。·數(shù)字系統(tǒng)中所有的邏輯關(guān)系均可以用基本的三種來實現(xiàn)（如同十進(jìn)制數(shù)總可以用10個數(shù)字和小數(shù)點表示出來一樣。·每一種基本邏輯關(guān)系對應(yīng)一種邏輯運(yùn)算。1、與邏輯（與運(yùn)算）與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：ABC開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：Y=AB定義：這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：

3、2、或邏輯（或運(yùn)算）或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：同理分析課本圖2.2.3，有實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：3、非邏輯（非運(yùn)算）非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：亦可同樣道理分析課本電路圖2.2.5，有邏輯符號：2.2.2 幾種導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算（即復(fù)合邏輯運(yùn)算）1、與非、或非、與或非運(yùn)算與非：先與后非，邏輯表達(dá)式為： 或非：先或后非，邏輯表達(dá)式為： 與或非：先與再或后非，邏輯表達(dá)式為： 2、異或運(yùn)算和同或運(yùn)算·

4、都是二變量邏輯運(yùn)算·異或邏輯關(guān)系為：輸入邏輯變量A、B不同時，輸出Y為1，否則為0 。邏輯表達(dá)式為 ·同或邏輯關(guān)系為：輸入邏輯變量A、B相同時，輸出Y為1，否則為0 。邏輯表達(dá)式為 比較異或運(yùn)算和同或運(yùn)算真值表可知，異或函數(shù)與同或函數(shù)在邏輯上是互為反函數(shù)。2.2.3邏輯函數(shù)及其表示法1、邏輯函數(shù)的建立（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。邏輯表達(dá)式描述了邏輯變量與邏輯函數(shù)間的邏輯關(guān)系，是

5、實際邏輯問題的抽象表達(dá)。（2）邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、的邏輯函數(shù)。記為2、邏輯函數(shù)的表示方法（1）真值表真值表是由邏輯函數(shù)輸入變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的輸出函數(shù)值所構(gòu)成的表格。其特點是：直觀地反映了變量取值組合和函數(shù)值的關(guān)系，便于把一個實際問題抽象為一個數(shù)學(xué)問題。（2）邏輯函數(shù)式·由邏輯變量和與、或、非、異或及同或等幾種運(yùn)算符號連接起來所構(gòu)成的式子。·由真值表直接寫出的邏輯式是標(biāo)準(zhǔn)的與-或邏輯式。寫標(biāo)準(zhǔn)與-或式的方法是：把任意一組變量取值中的1代以原變量，0代以反變量，由此得到一組

6、變量的與組合，如A、B、C三個變量的取值為110時，則代換后得到的變量與組合為。把邏輯函數(shù)Y的值為1所對應(yīng)的各變量的與組合相加，便得到標(biāo)準(zhǔn)的與-或邏輯式。（3）邏輯圖·將邏輯表達(dá)式中的邏輯運(yùn)算關(guān)系，用對應(yīng)的邏輯符號表示出來，就構(gòu)成函數(shù)的邏輯圖。·只要把邏輯函數(shù)式中各邏輯運(yùn)算用相應(yīng)門電路和邏輯符號代替，就可畫出和邏輯函數(shù)相對應(yīng)的邏輯圖。（4）卡諾圖。2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式1、邏輯常量運(yùn)算公式·與運(yùn)算：·或運(yùn)算：·非運(yùn)算：2、邏輯變量、常量運(yùn)算公式·0-1律： ·互補(bǔ)律： ·等冪律

7、：·雙重否定律：2.3.2 邏輯代數(shù)的基本定律1、與普通代數(shù)相似的定律·交換律：·結(jié)合律：·分配律：利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：A BA.BB.A0 00 11 01 1000100012、吸收律·還原律：·吸收率：·冗余律：3、摩根定律反演律（摩根定律）：2.3.3 邏輯代數(shù)的三個重要規(guī)則1、代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置（包括等式兩邊）都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。例2、反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果

8、將表達(dá)式中的所有“·”換成“”，“”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如： 3、對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“”，“”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如： 2.4 邏輯函數(shù)的公式化簡法2.4.1化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn)1、化簡邏輯函數(shù)的意義邏輯函數(shù)化簡的意義：在邏輯設(shè)計中，邏輯函數(shù)最終都要用

9、邏輯電路來實現(xiàn)。若邏輯表達(dá)式越簡單，則實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。2、邏輯函數(shù)式的基本形式和變換對于同一個邏輯函數(shù)，其邏輯表達(dá)式不是唯一的。常見的邏輯形式有5種：與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式。如：（1）與或表達(dá)式：（2）或與表達(dá)式：Y（3）與非-與非表達(dá)式：Y （4）或非-或非表達(dá)式：Y（5）與或非表達(dá)式：Y3、邏輯函數(shù)的最簡形式·最簡與-或表達(dá)式（1）邏輯函數(shù)式中的乘積項（與項）的個數(shù)最少；（2）每個乘積項中的變量數(shù)也最少的與或表達(dá)式。2.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化

10、簡邏輯函數(shù)。1、并項法利用公式1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。2、吸收法（）利用公式，消去多余的項。（）利用公式，消去多余的變量。、配項法（）利用公式（），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡。（）利用公式，為某項配上其所能合并的項。、消去法2.4.3代數(shù)化簡法舉例2.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.5.1最小項與卡諾圖1、最小項的定義和性質(zhì)（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：（2）最小項的表示方法：通常用符號

11、mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進(jìn)制數(shù)，則與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：（3）最小項的性質(zhì)：3變量全部最小項的真值表A B CM0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1，而其余各項的取值均使它的值為0。不同的

12、最小項，使它的值為1 的那組變量取值也不同。對于變量的任一且取值，任意兩個不同的最小項的乘積必為0。全部最小項的和必為1。2、表示最小項的卡諾圖邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。（1）、相鄰最小項定義：如果兩個最小項中只有一個變量為互反變量，其余變量均相同，則這樣的兩個最小項為邏輯相鄰，并把它們稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。（2）最小項的卡諾圖表示卡諾圖的構(gòu)成：將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。·二變量卡諾圖 A B010m0m21m1m3 2變

13、量卡諾圖 每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰·三變量卡諾圖 ABC000111100m0m2m6m4 3變量卡諾圖1m1m3m7m5每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項） 。·四變量卡諾圖 4變量卡諾圖 ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10·每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰·最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的·最上面

14、一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的·對角的兩個最小項也是相鄰的2.5.2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式（最小項表達(dá)式）任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項表達(dá)式。A B CY最小項0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7 將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達(dá)式。2、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的

15、方格內(nèi)填入0。（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。2.5.3 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。（3）任何8個（23個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。2、化簡邏輯函數(shù)式的步驟和規(guī)則（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖（2）合

16、并卡諾圖中的相鄰最小項·只有相鄰的1方格才能合并，而且每個包圍圈只能包含2 n 個1方格（n =0，1，2）。·在新畫的包圍圈中必須有未被圈過的1方格，否則該包圍圈的多余的。·包圍圈的個數(shù)盡量少，這樣邏輯函數(shù)的與項就少。·畫包圍圈時應(yīng)遵從由少到多的順序圈。·包圍圈盡量大，這樣消去的變量就多，與門輸入端的數(shù)目就少。（3）將合并化簡后的各與項進(jìn)行邏輯加，便為所求的邏輯函數(shù)最簡與-或式。3、化簡舉例課本例題：例2.5.5、例2.5.6、例2.5.72.5.4具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡1、邏輯函數(shù)中的無關(guān)項邏輯函數(shù)中的無關(guān)項也叫做約束項、隨意項。定義：

17、邏輯函數(shù)中的無關(guān)項是指那些與所討論的邏輯問題沒有關(guān)系的變量取值組合所對應(yīng)的最小項。分兩種：·一種是某些變量取值組合不允許出現(xiàn)。如8421BCD編碼中，10101111這六種代碼是不允許出現(xiàn)的。·另一種是某些變量取值組合在客觀上不會出現(xiàn)。如在連動互鎖開關(guān)系統(tǒng)中，幾個開關(guān)的狀態(tài)是互相排斥的。約束項和隨意項都是一種不會在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)的最小項，所以對應(yīng)于這些最小項的變量取值組合，函數(shù)值視為1或0都可以（因為實際上不存在這些變量取值），這樣的最小項統(tǒng)稱為無關(guān)項。2、利用無關(guān)項化簡邏輯函數(shù)在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用隨意項可以得到更加簡單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡單。在化簡過程中，隨意項的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項對化簡有利，則取1；如果隨意項對化簡不利，則取0。如：本章小結(jié)1、邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和