附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)附錄附錄 A A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)A. .1 形心和靜矩形心和靜矩A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑A. .3 平行軸定理平行軸定理A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩附錄附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì) 反映平面圖形的反映平面圖形的形狀形狀與與尺寸尺寸的的幾何量幾何量NF A NElFl A如：如：本章介紹：本章介紹： 平面圖形幾何性質(zhì)的平面圖形幾何性質(zhì)的定義定義、計(jì)算方法計(jì)算方法和和性質(zhì)性質(zhì) T pI GTl p I1. .在軸向拉（壓）中：在軸向拉（壓）中：2. .在扭轉(zhuǎn)中

2、：在扭轉(zhuǎn)中：附錄附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)A. .1 形心和靜矩形心和靜矩一、靜一、靜矩矩二、形心二、形心四、組合圖形的靜矩和四、組合圖形的靜矩和形心形心三、靜矩的性質(zhì)三、靜矩的性質(zhì)A. .1 形心和靜矩形心和靜矩一、靜一、靜矩矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對對 x 軸的靜矩：軸的靜矩：整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對對 y 軸的靜矩：軸的靜矩：ydA微面積微面積dA對對 x 軸的靜矩軸的靜矩xdA微面積微面積dA對對 y 軸的靜矩軸的靜矩定義：定義：（面積矩）（面積矩）其值：其值：+ +、- -、0 單位：單位：m3 AxAySd AyAxSdydAxxyOAA. .1 形心和靜矩形心和

3、靜矩二、形心二、形心（各分力對任一軸的力矩之和等于其合力對同一軸的力矩）各分力對任一軸的力矩之和等于其合力對同一軸的力矩）有有 則則 xdA 和和 ydA 相當(dāng)于相當(dāng)于力矩力矩由由合力矩定理合力矩定理 將微面積將微面積 dA 看作是看作是 力力CAxyAAyS d ACyxAAxSdASyxC ASxyC xCCyCydAxxyOAA. .1 形心和靜矩形心和靜矩三、三、靜矩的性質(zhì)靜矩的性質(zhì)形心軸形心軸 圖形對形心軸的靜矩為零圖形對形心軸的靜矩為零xSyS0 CyA CxA 0 通過圖形形心的通過圖形形心的反之，反之，圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸

4、xyOACyCxC 性質(zhì)性質(zhì) 1 ：0 Cx0 Cy 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸若若 性質(zhì)性質(zhì) 2 ： 對稱軸必為形心軸對稱軸必為形心軸A. .1 形心和靜矩形心和靜矩四、組合圖形的靜矩和形心四、組合圖形的靜矩和形心 組合圖形組合圖形由幾個(gè)簡單圖形（如矩形、圓形等）由幾個(gè)簡單圖形（如矩形、圓形等） 組成的平面圖形組成的平面圖形如：如：A. .1 形心和靜矩形心和靜矩1. .靜矩靜矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心 CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1 CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC 三、組合圖形的靜

5、矩和形心三、組合圖形的靜矩和形心A. .1 形心和靜矩形心和靜矩2002003030ASyxC 例例1 確定圖示圖形的形心坐標(biāo)確定圖示圖形的形心坐標(biāo)mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 2211yAyA 21AA x（參考軸）yyCC解：解： 取參考坐標(biāo)系取參考坐標(biāo)系xy附錄附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑一、一、慣性矩與慣性積慣性矩與慣性積二、慣性二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系矩與極慣性矩的關(guān)系三、慣性積的性質(zhì)三、慣性積的性質(zhì)四、慣性半徑四、慣性半徑A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半

6、徑慣性半徑一、慣性一、慣性矩與慣性積矩與慣性積整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對對x 軸的慣性矩軸的慣性矩整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩y2dA微面積微面積dA對對 x 軸的慣性矩軸的慣性矩x2dA微面積微面積dA對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩定義：定義：其值：其值：+ + 單位：單位：m4 AxAyId2 AyAxId2xyOAydAx1. .慣性矩慣性矩A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑整個(gè)圖形整個(gè)圖形 A 對對 x 軸和軸和 y 軸的慣性積軸的慣性積定義：定義： xydA微面積微面積 dA 對對 x 軸和軸和 y 軸的慣性積軸的慣性積 的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)軸其

7、值：其值：+ +、- -、0 單位：單位：m4 AxyAxyId假設(shè)：假設(shè)： x 軸和軸和 y 軸為一對軸為一對相互垂直相互垂直一、慣性一、慣性矩與慣性積矩與慣性積2. .慣性積慣性積xyOAydAxA. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑二、慣性二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系矩與極慣性矩的關(guān)系即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面圖形對任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對通過平面圖形對任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對通過該點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和該點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和性質(zhì)性質(zhì) 2 ： AAyxd22)(若若 x 、 y 軸為

8、一對軸為一對正交正交坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸xyOAydAxA. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑1. .矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用圖形的慣性矩：常用圖形的慣性矩：A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑2. .圓形截面圓形截面D324D pIIIyx 由對稱性由對稱性 yxII 21pI 64 44) )( (dD 644D 3. .環(huán)形截面環(huán)形截面dxyO p21 IIIyx)(44164 D常用圖形的慣性矩：

9、常用圖形的慣性矩：A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑三、慣性三、慣性積的性質(zhì)積的性質(zhì)當(dāng)當(dāng) x 、 y 軸中有軸中有一軸為對稱軸一軸為對稱軸xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim)( niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA - 在一對正交軸中，只要有一個(gè)對稱軸，則該圖形在一對正交軸中，只要有一個(gè)對稱軸，則該圖形對這對軸的慣性積為零。對這對軸的慣性積為零。性質(zhì)性質(zhì) 3 ：A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑 慣慣 性性 矩矩對對某一軸某一軸而言而言 極極 慣慣 性性 矩矩對對某一點(diǎn)某一點(diǎn)而言而言特別指出：特別指出：

10、 慣慣 性性 積積對對某一對正交軸某一對正交軸而言而言A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑圖形對圖形對 x 軸的軸的慣性半徑慣性半徑 單位：單位：mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、慣性半徑四、慣性半徑 在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把慣性矩在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把慣性矩寫成寫成即：即：圖形對圖形對 y 軸的軸的慣性半徑慣性半徑A. .2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑注意：注意：試問：試問：即：即：? Cxyi 22d xAxiAAyI Cxyi Cyxi ? 2CyA 四、慣性半徑四、慣性半徑附錄附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)A. .3

11、 平行軸定理平行軸定理一、定理推導(dǎo)一、定理推導(dǎo)二、應(yīng)用二、應(yīng)用A. .3 平行軸定理平行軸定理一、定理推導(dǎo)一、定理推導(dǎo)yOAxCdAyxxCCybaCyxCbxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd2)( AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：A. .3 平行軸定理平行軸定理AaIICxx2 2AbIICyy CyyII CxxII 顯然：顯然：性質(zhì)性質(zhì)4：在平面圖形對所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩在平面圖形對所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩 中，以對形心軸的慣性矩為最小。中，以對形心軸的慣性矩為最小。同理同理慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的平

12、行軸定理平行軸定理一、定理推導(dǎo)一、定理推導(dǎo) abAIICCyxxy A. .3 平行軸定理平行軸定理二、應(yīng)用二、應(yīng)用A. .3 平行軸定理平行軸定理解：解：IIIa1a2xC1xC22002003030 xCCyC157.512302003 47mm 1003. 2 42mm 302005 .57 12 1AIICCxx 1a47mm 1098. 3 22 2AIICCxx 2a CCCxxxIII47mm 1001. 6 CxICyI例例2 求求 和和而而12200303 42mm 302005 .57 5 .57 5 .57 A. .3 平行軸定理平行軸定理 CCCyyyIII122003

13、03 47mm 1005. 2 12302003 解：解： CCCxxxIII47mm 1001. 6 CxICyI例例2 求求 和和IIIa1a2xC1xC22002003030 xCCyC157.55 .57 5 .57 附錄附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)二、主慣性矩二、主慣性矩A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)規(guī)定：規(guī)定： 角角逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檗D(zhuǎn)向?yàn)?+ + xyOdAyxA sincos1yxx 兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系： sincos1xyy 代

14、入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111x1y1x11yA. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩 2cos2sin22sin2cos22 2sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII 一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)規(guī)定：規(guī)定： 角角逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檗D(zhuǎn)向?yàn)?+ + 兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：xyOdAyxA x1y1x11yA. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩顯然顯然 11yxyxIIII const pI xyOdAyxA x1y1x11y一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo) 2cos

15、2sin22sin2cos22 2sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩性質(zhì)性質(zhì)5：平面圖形對通過一點(diǎn)的任意一對正交軸的兩個(gè)平面圖形對通過一點(diǎn)的任意一對正交軸的兩個(gè) 慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點(diǎn)的極慣慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點(diǎn)的極慣 性矩。性矩。xyOdAyxA x1y1x11y一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)顯然顯然 11yxyxIIII const pI A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩二、主慣性矩二、主慣性矩1. .定義定義主慣性軸主慣性軸慣性積為零的一對坐標(biāo)軸

16、，慣性積為零的一對坐標(biāo)軸，簡稱簡稱主軸主軸主慣性矩主慣性矩圖形對主慣性軸的慣性矩圖形對主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸形心主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩形心主慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)性質(zhì)6：圖形的對稱軸是形心主慣性軸圖形的對稱軸是形心主慣性軸 試問試問：圖形的主慣性軸是否是唯一的？：圖形的主慣性軸是否是唯一的？A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩2. .主慣性軸的方位主慣性軸的方位 設(shè)設(shè)主慣性軸的方位為主慣性軸的方位為 0，對應(yīng)的坐標(biāo)軸為，對應(yīng)的坐標(biāo)軸為 x0、y0令令得到得到02cos2sin20000 xyyxy

17、xIIII 22tan 0yxxyIII 二、主慣性矩二、主慣性矩A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩3. . 主慣性矩主慣性矩因因故故 22tan 0yxxyIII xy xy xyxy22 0220422sinxyyxxyIIII )( 22042cosxyyxyxIIIII )( 有有 4212 2200 xyyxyxyxIIIIIII )(二、主慣性矩二、主慣性矩A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩4. .主慣性矩的性質(zhì)主慣性矩的性質(zhì) 當(dāng)當(dāng)Ix1取極值時(shí)，取極值時(shí)，對應(yīng)對應(yīng)的方位為的方位為 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin xyyxIII)(y

18、xxyIII 22tan1 02tan 即：即：01 性質(zhì)性質(zhì)7：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個(gè)為極大慣性主慣性矩為極值慣性矩，其中一個(gè)為極大慣性 矩矩Imax，另一個(gè)為極小慣性矩，另一個(gè)為極小慣性矩Imin。令令 2sin2cos221 xyyxyxxIIIIII yxxyIII 22tan0 二、主慣性矩二、主慣性矩A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩解：解：例例3 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。xy120108010IIIyCbxCa212211AAbAbAb cm 171215 . 4175 . 0121 cm 97. 1 212211AAaAaAa c

19、m 171215 . 0176121 cm 97. 3 1. .確定形心位置確定形心位置C A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩 2. .求求 、 和和CxICyICCyxI1211AaIICCxx 12197. 361212123 )(45.193 4cm2222AaIICCxx 715 . 097. 3121723 )( 87.84 CCCxxxIII4cmxy120108010IIIyCbxCaC 解：解：例例3 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。4cm 32.278 而而cm 97. 1 bcm 97. 3 aA. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩

20、2. .求求 、 和和CxICyICCyxI CCCxxxIIIxy120108010IIIyCbxCaC 解：解：例例3 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。4cm 32.278 cm 97. 1 bcm 97. 3 a CCCyyyIII22212121AbIAbICCyy 1215 . 097. 11211223 )(7197. 15 . 4127123 )(4cm 32.100 A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩 2. .求求 、 和和CxICyICCyxI CCCxxxIIIxy120108010IIIyCbxCaC 解：解：例例3 求圖示圖形的形心主慣性

21、矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。4cm 32.278 cm 97. 1 bcm 97. 3 a CCCyyyIII4cm 32.100 111AbaICCyx )()(5 . 097. 197. 36 4cm 81.35 222AbaICCyx 7197. 15 . 45 . 097. 3 )(4cm 45.61 121 CCCCCCyxyxyxIII4cm 26.97 A. .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩 2. .求求 、 和和CxICyICCyxI CCCxxxIIIxy120108010IIIyCbxCaC 解：解：例例3 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。4cm 32.278 cm 97. 1 bcm 97. 3 a CCCyyyIII4cm 32.100 CCCCCCyxyxyxIII4cm 26.97 3. .求形心主慣性軸的方位求形心主慣性軸的方位CCCCyxyxIII 22tan0 32.10032.27826.972 093. 1 o08 .23 即：即：o8 .113或或xC0yC0 0A.