第3章固體結(jié)構(gòu)34倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū)

1、第三章第三章 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)3.2 3.2 晶體的對稱性和布拉維點(diǎn)陣晶體的對稱性和布拉維點(diǎn)陣3.13.1 晶體的特征晶體的特征3.3 3.3 晶體結(jié)構(gòu)分類及特性晶體結(jié)構(gòu)分類及特性3.4 3.4 倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū)倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū) 機(jī)械波：牛頓力學(xué)或分析力學(xué)描述 固體熱性質(zhì)和聲學(xué)性質(zhì) 電磁波：麥克斯韋方程組描述 晶體衍射學(xué) 物質(zhì)波：薛定諤方程、量子場論描述 固體電子理論；聲子能譜、準(zhǔn)粒子能譜物質(zhì)波傳輸?shù)目臻g：與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)的倒空間（倒物質(zhì)波傳輸?shù)目臻g：與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)的倒空間（倒易點(diǎn)陣）易點(diǎn)陣）本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :3.4.1.1 3.4.1.1 倒格定義倒格定義3.4.1.3 3.4

2、.1.3 倒格與傅里葉變換倒格與傅里葉變換3.4.1.2 3.4.1.2 倒格與正格的關(guān)系倒格與正格的關(guān)系3.4.1 3.4.1 倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣( (倒格倒格) )3.4.1.1 3.4.1.1 倒格倒格( (倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣) ) 倒格：倒格：正格（點(diǎn)位）矢：正格（點(diǎn)位）矢：332211anananRn 321,bbb倒格基矢倒格基矢倒格（點(diǎn)位）矢：倒格（點(diǎn)位）矢：332211bhbhbhKn 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格：正格： 一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)格子，一個(gè)是一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)格子，一個(gè)是正格正格，另一個(gè)為，另一個(gè)為倒格倒格。321,aaa倒格定義倒格基矢定義

3、為：倒格基矢定義為： 213132321222aabaabaab 其中其中 是是正格基矢正格基矢，321,aaa 332211bhbhbhKn ),(321為為整整數(shù)數(shù)hhh 與與 所聯(lián)系的各點(diǎn)所聯(lián)系的各點(diǎn)的列陣即為的列陣即為倒格倒格。 321aaa 是固體物理學(xué)原胞體積是固體物理學(xué)原胞體積倒格基矢的方向和長度如何呢倒格基矢的方向和長度如何呢？132122daab 222db 3b1b2b332db 一個(gè)倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方一個(gè)倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距晶面族面間距

4、倒數(shù)的倒數(shù)的2 倍倍。 213132321222aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji ( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 3.4.1.2 倒格與正格的關(guān)系如：如： hlKR )(332211alalal)(332211bhbhbh )hlhlhl (3322112 2 332211alalalRl 332211bhbhbhKh 其中其中 分別為分別為正格點(diǎn)位矢正格點(diǎn)位矢和和倒格點(diǎn)位矢倒格點(diǎn)位矢。hlKR 和2. 2 hlKR( ( 為整數(shù)為整數(shù)) )倒格與正格的關(guān)系 2113aaaa 1a 13232aaa * 23 2113121

5、3aaaaaaaa 3.3. *32 (其中其中 和和 *分別為分別為正、倒格原胞體積正、倒格原胞體積) 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 倒格與正格的關(guān)系3.4.1.3 倒格與傅里葉變換在任意兩個(gè)原胞的相對應(yīng)點(diǎn)上，晶體的物理性質(zhì)相同在任意兩個(gè)原胞的相對應(yīng)點(diǎn)上，晶體的物理性質(zhì)相同。 rRrl 上式兩邊分別按傅里葉級數(shù)展開：上式兩邊分別按傅里葉級數(shù)展開： rKihhhKr e)( lhRrKihhlKRr e 2 lhRKlR是正格矢。是正格矢。hK一定是倒格矢。一定是倒格矢。晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 正格正格 倒格倒格332211anananRn 1.1.332211b

6、hbhbhKn 1.2.與晶體中原子位置與晶體中原子位置 相對應(yīng)；相對應(yīng)；2.與晶體中一族晶面相與晶體中一族晶面相對應(yīng)；對應(yīng)；3.是與真實(shí)空間相聯(lián)系的是與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉空間中點(diǎn)的周期性傅里葉空間中點(diǎn)的周期性排列；排列；3.是真實(shí)空間中點(diǎn)的周是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性排列；期性排列；4.線度量綱為線度量綱為長度長度4.線度線度量綱為量綱為長度長度-1已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？晶體晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)正格正格332211bhbhbhKh 正格正格基矢基矢321,aaa倒格倒格基矢基矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)j

7、i ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2例例1 1：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點(diǎn)的排列。：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點(diǎn)的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhKh 倒格是邊長為的正方形格子。倒格是邊長為的正方形格子。a2由由例例2 2：證明體心立方的倒格是面心立方證明體心立方的倒格是面心立方。解：解： 已知體心立方的原胞基矢為：已知體心立方的原胞基矢為： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaa

8、aakjiaa 222222222222aaaakaaaajaaaai kaja2222 213132321222aabaabaab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格矢：倒格矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：體心立方的倒格是邊長為體心立方的倒格是邊長為4 4 / /a的的面心立方面心立方 。代入得：代入得：例例3 3：證明簡立方晶面：證明簡立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面間距為的面間距為232221321hhhadhhh 證明：證明：3212hhhhd

9、K 由由得：得：3213212hhhhhhKd 簡立方：簡立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 kaaab22213 法一：法一：232221hhha 3213212hhhhhhKd 2322212321hhhaKhhh 332211321bhbhbhKhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23 法二：法二：設(shè)設(shè)ABC為為晶面族晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)最近的晶面，中離原點(diǎn)最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分別為上的截距分別為 ，321,aaa332211,hahahadnX 由平面方程由平面方程 得：得： dnhadn

10、hadnha332211 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos dahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos 對于立方晶系：對于立方晶系：aaaa 321321aaa 且：且： dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 1,cos,cos,cos322212 nanana12122122122 hahahad232221321hhhadhhh 3.4.2 布里淵區(qū) 物質(zhì)波在與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)的倒空間（倒易點(diǎn)陣）物質(zhì)波在與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)的倒空間（倒易點(diǎn)陣）中傳輸，其能譜在倒易點(diǎn)陣中的分布規(guī)律滿足平中傳輸，其

11、能譜在倒易點(diǎn)陣中的分布規(guī)律滿足平移、旋轉(zhuǎn)等對稱性操作規(guī)則：移、旋轉(zhuǎn)等對稱性操作規(guī)則： E(k)=E(k+G) G為中格矢量，由布里淵區(qū)決定為中格矢量，由布里淵區(qū)決定 晶體中的準(zhǔn)粒子能譜在倒易點(diǎn)陣中周期性操作的晶體中的準(zhǔn)粒子能譜在倒易點(diǎn)陣中周期性操作的基本單元就是基本單元就是布里淵區(qū)布里淵區(qū)。由于布里淵區(qū)的這種周。由于布里淵區(qū)的這種周期性特點(diǎn)，只需在第一布里淵區(qū)中描述準(zhǔn)粒子能期性特點(diǎn)，只需在第一布里淵區(qū)中描述準(zhǔn)粒子能譜譜E(k)即可。即可。1. 布里淵區(qū)定義 在在倒格空間中以中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的所有倒格點(diǎn)連線的中垂面中垂面(或中垂線

12、，稱為布拉格面或線或中垂線，稱為布拉格面或線)，這些中垂面這些中垂面(或中垂線或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為域稱為布里淵區(qū)布里淵區(qū)。 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)( (簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)) )：圍繞原點(diǎn)的最小閉合：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；區(qū)域；對于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢對于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢? ? 第第n+1+1布里淵區(qū)布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過n個(gè)中垂面?zhèn)€中垂面( (或中垂線或中垂線) )才能到達(dá)的區(qū)域才能到達(dá)的區(qū)域( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )。2. 布里淵區(qū)作圖法晶體晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)布拉菲布拉菲晶格晶格

13、倒格點(diǎn)倒格點(diǎn)排列排列 中垂面中垂面( (中垂線中垂線) )區(qū)分布區(qū)分布里淵區(qū)里淵區(qū)倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhKh 正格基矢正格基矢,321aaa、aa 例例2：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一、第二第二、第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji ij第一布第一布里淵區(qū)里淵區(qū)第三布第三布里淵區(qū)里淵區(qū)第二布第二布里淵區(qū)里淵區(qū)a2a2 高階布里淵區(qū)的各個(gè)分離區(qū)域，可通過平移對稱操作，高階布里淵區(qū)的各個(gè)分離區(qū)域，可通過平移對稱操作，將各個(gè)分

14、散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢將各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢G G，進(jìn)入并填滿第一，進(jìn)入并填滿第一布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖ija 2a 2布里淵區(qū)的面積布里淵區(qū)的面積= =倒格原胞倒格原胞( (第一區(qū)第一區(qū)) )的面積的面積第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第九區(qū)第十區(qū)第十區(qū)二維正方晶格的布二維正方晶格的布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖里淵區(qū)的簡約區(qū)圖abjbaiaa 21jbbiab2

15、221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍為矩形。倒格仍為矩形。 例例3 3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為擴(kuò)展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為 。ba，解解: :ij第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)b2a23. 維格納-塞茨原胞(W-S原胞) W-S原胞原胞的的構(gòu)造：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)構(gòu)造：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連接的中垂面連接的中垂面( (或中垂線或中垂線) )，由這些中垂面，由這些中垂面( (或中垂線或中垂線) )所圍成所圍成的最小體積的最小體積

16、( (或面積或面積) )即為即為W-S原胞原胞。 特點(diǎn)：它是倒易點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元，每個(gè)原胞只包特點(diǎn)：它是倒易點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元，每個(gè)原胞只包含含1個(gè)格點(diǎn)。其個(gè)格點(diǎn)。其體積與固體物理學(xué)原胞體積相同體積與固體物理學(xué)原胞體積相同。某晶體的第一布里淵區(qū)亦即其倒易點(diǎn)陣的某晶體的第一布里淵區(qū)亦即其倒易點(diǎn)陣的W-S原胞：原胞：如，如，BCC晶體晶體(或或FCC)的第一布里淵區(qū)亦即其倒易點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)亦即其倒易點(diǎn)陣FCC(或或BCC)的的W-S原胞原胞例例4：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面

17、心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka面心立方的倒格是面心立方的倒格是邊長為邊長為4 / /a體心立方。體心立方。 kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：已知體心立方正格基矢已知體心立方正格基矢: : kjiaakjiaakjiaa222321 0002 O,a：X 0012 ,aX：L 2121212 ,aL：K 043432 ,aK：視頻視頻例例5 5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為：畫出體心立方第一布里淵區(qū)

18、。設(shè)體心立方晶格常量為a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a體心立方倒格是邊長體心立方倒格是邊長為為 4 / /a的的面心立方。面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaakiaakjaa222321已知面心立方正格基矢：已知面心立方正格基矢：H 0012 ,aH：P 2121212 ,aP：N 021212 ,aN：正方形正方形正格正格簡約布里簡約布里淵區(qū)形狀淵區(qū)形狀面心立方面心立方正方形正方形十四面體十四面體(截角八面體截角八面體)體心立方體心立方十二面體十二面體簡約布里淵簡約布里淵區(qū)體積區(qū)體積(面積面積)*1SS *V 1*V 1布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉維晶格決定；布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉維晶格決定；布里淵區(qū)的體積布里淵區(qū)的體積( (或面積或面積) )等于倒格原胞的體積等于倒格原胞的體積( (或面積或面積) )。 固體中電子能帶的表