計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-直線、圓、橢圓的生成.

1、2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)1第二章 直線、圓、橢圓生成算法圖形的掃描轉(zhuǎn)換（光柵化）：確定一個(gè)像素集合，用于顯示一個(gè)圖形的過程。步驟如下：1、確定有關(guān)像素2、用圖形的顏色或其它屬性，對(duì)像素進(jìn)行寫操作。對(duì)一維圖形，不考慮線寬，則用一個(gè)像素寬的直線來顯示圖形。二維圖形的光柵化，即區(qū)域的填充：確定像素集，填色或圖案。任何圖形的光柵化，必須顯示在一個(gè)窗口內(nèi)，否則不予顯示。即確定一個(gè)圖形的哪些部分在窗口內(nèi)，哪些在窗口外，即裁剪。 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)2圖形顯示前需要：掃描轉(zhuǎn)換+裁剪裁剪-掃描轉(zhuǎn)換：最常用，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。掃描轉(zhuǎn)換-裁剪：算法簡單；2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

2、3本章內(nèi)容掃描轉(zhuǎn)換直線段 DDA算法 中點(diǎn)畫線法 Bresenham畫線算法圓弧、橢圓弧掃描轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)算法 內(nèi)接正多邊形迫近法 等面積正多邊形逼近法 生成圓弧的正負(fù)法 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4直線段的掃描轉(zhuǎn)換算法n直線的掃描轉(zhuǎn)換直線的掃描轉(zhuǎn)換: 確定最佳逼近于該直線的一組象素，并且按掃描線順序，對(duì)這些象素進(jìn)行寫操作。n三個(gè)常用算法：數(shù)值微分法（DDA）中點(diǎn)畫線法Bresenham算法。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)5數(shù)值微分法（） 假定直線的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別為：（x0,y0), (x1,y1)，且都為整數(shù)。(X i+1 ,Yi + k)(X i , Int(Yi +0.5)(

3、X i , Yi)柵格交點(diǎn)表示象素點(diǎn)位置。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)6數(shù)值微分(DDA)法n基本思想已知過端點(diǎn)P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直線段Ly=kx+b直線斜率為這種方法直觀，但效率太低，因?yàn)槊恳徊叫枰淮胃↑c(diǎn)乘法和一次舍入運(yùn)算。 0101xxyyk)(,;10yroundxbkxystepxxxxxx令2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)7數(shù)值微分(DDA)法計(jì)算yi+1= kxi+1+b = kxi+b+kx = yi+kx 當(dāng)x =1;yi+1 = yi+k n即：當(dāng)x每遞增1，y遞增k(即直線斜率)；n注意上述分析的算法僅適用于k 1的情形。在這種情

4、況下，x每增加1,y最多增加1。n當(dāng) k 1時(shí)，必須把x，y地位互換2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)8數(shù)值微分(DDA)法n增量算法：在一個(gè)迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上一個(gè)增量來獲得，則稱為增量算法。nDDA算法就是一個(gè)增量算法。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)9數(shù)值微分(DDA)法void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x；float dx, dy, y, k;dx, = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x+) drawpixe

5、l (x, int(y+0.5), color); y=y+k; 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)10數(shù)值微分(DDA)法n例：畫直線段P0(0,0)-P1(5,2)x int(y+0.5) y+0.5000+0.5100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.5522.0+0.50 1 2 3 4 5321Line: P0(0, 0)- P1(5, 2)2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)11數(shù)值微分(DDA)法n缺點(diǎn)： 在此算法中，y、k必須是float，且每一步都必須對(duì)y進(jìn)行舍入取整，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)12中點(diǎn)畫線法n原理：假

6、定直線斜率0K P2離直線更近更近-取P2 。nM在Q的上方- P1離直線更近更近-取P1nM與Q重合， P1、P2任取一點(diǎn)。n問題：如何判斷M與Q點(diǎn)的關(guān)系？P=(xp,yp)QP2P12022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)14中點(diǎn)畫線法假設(shè)直線方程為：ax+by+c=0其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0由常識(shí)知：欲判斷中點(diǎn)M點(diǎn)是在Q點(diǎn)上方還是在Q點(diǎn)下方，只需把M代入F(x,y),并檢查它的符號(hào)。點(diǎn)在直線下方點(diǎn)在直線上方點(diǎn)在直線上面0,0,0,yxFyxFyxFP=(xp,yp)QP2P12022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)15中點(diǎn)畫線法構(gòu)造判別式：d=F(M)=F(

7、xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c當(dāng)d0，M在直線(Q點(diǎn))上方，取右方P1；當(dāng)d=0，選P1或P2均可，約定取P1；能否采用增量算法呢？P=(xp,yp)QP2P12022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)16中點(diǎn)畫線法若d0 -M在直線上方-取P1;此時(shí)再下一個(gè)象素的判別式為 d1=F(xp+2, yp+0.5) =a(xp+2)+b(yp+0.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a =d+a； 增量為aP=(xp,yp)QP2P12022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)17中點(diǎn)畫線法n若dM在直線下方-取P2;n此時(shí)再下一個(gè)象素的判別式為 d2

8、= F(xp+2, yp+1.5) =a(xp+2)+b(yp+1.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b =d+a+b ； 增量為abP=(xp,yp)QP2P12022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)18中點(diǎn)畫線法n畫線從(x0, y0)開始，d的初值d0=F(x0+1, y0+0.5)= a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符號(hào)作判斷，為了只包含整數(shù)運(yùn)算, 可以用2d代替d來擺脫小數(shù)，提高效率。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)19中點(diǎn)畫線法void Midpoint Line (i

9、nt x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2, d, x, y; a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (xx1) if (d0) x+; y+; d+=d2; else x+; d+=d1; drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)20中點(diǎn)畫線法n例：用中點(diǎn)畫線法P0(0,0) P

10、1(5,2)a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6i xiyid1 0012 10-33 2134 31-15 4250 1 2 3 4 53212022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)21Jack Elton Bresenham Bresenham算法最初是為數(shù)字繪圖儀提出，但同樣適用于CRT光柵顯示器。 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)22Bresenham畫線算法在直線生成的算法中Bresenham算法是最有效的算法之一。令 k=y/x，就0k1的情況來說明Bresenham算法。由DDA算法可知：yi+1=yi+k (1)

11、由于k不一定是整數(shù)，由此式求出的yi也不一定是整數(shù)，因此要用坐標(biāo)為（xi,yir）的象素來表示直線上的點(diǎn)，其中yir表示最靠近yi的整數(shù)。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)23Bresenham畫線算法 設(shè)圖中xi列上已用（xi,yir）作為表示直線的點(diǎn)，又設(shè)B點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（xi+1,yi+1），顯然下一個(gè)表示直線的點(diǎn)（ xi+1,yi+1,r）只能從圖中的C或者D點(diǎn)中去選。設(shè)A為CD邊的中點(diǎn)。 若B在A點(diǎn)上面則應(yīng)取D點(diǎn)作為（ xi+1,yi+1,r），否則應(yīng)取C點(diǎn)。(x)的幾何意義為能確定B在A點(diǎn)上面或下面，令(x(xi+1i+1)=y)=yi+1i+1-y-yirir-0.5

12、 (2)-0.5 (2) 若若B B在在A A的下面，則有的下面，則有(x(xi+1i+1)0)0)0。由圖可知 y yi+1,ri+1,r=y=yirir+1+1，若，若(x(xi+1i+1)0 (3)0 (3) y yi+1,ri+1,r=y=yirir， 若若(x(xi+1i+1)0)02022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)24Bresenham畫線算法由式（2）和式（3）可得到 (xi+2)=yi+2 - yi+1,r - 0.5 =yi+1 + k - yi+1,r - 0.5 （4） yi+1 - yir -0.5 + k - 1,當(dāng)(xi+1)0 yi+1 - yir -0.5 +

13、 k, 當(dāng)(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k -1 ,當(dāng)(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k , 當(dāng)(xi+1)0 由式（1）和式（2）可得到 (x2)= k - 0.5 (5)2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)25 程序如下： BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; int x,y,dx,dy; float k,e; int e; dx = x1-x0; dy = y1-y0; k = dy/dx; e = -0.5; x=x0; y=y0; e = -dx; for( i=0; i

14、0) e = e - 1; e = e - 2*dx; if(e =0) y+; Bresenham畫線算法2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)26圓的掃描轉(zhuǎn)換算法下面僅以圓心在原點(diǎn)、半徑R為整數(shù)的圓為例，討論圓的生成算法。假設(shè)圓的方程為： X2 + Y2 = R22022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)27圓弧掃描算法nX2 + Y2 = R2Y = Sqrt(R2 - X2)在一定范圍內(nèi)，每給定一X值，可得一Y值。當(dāng)X取整數(shù)時(shí)，Y須取整。缺點(diǎn)：浮點(diǎn)運(yùn)算，開方，取整，不均勻。yx2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)28角度DDA法 x = x0 + Rcos y = y0 + Rsindx =-

15、 Rsinddy = Rcosdxn+1 =x n + dxy n+1 =y n + dyxn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )dy n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d顯然，確定x,y的初值及d值后，即可以增量方式獲得圓周上的坐標(biāo)，然后取整可得象素坐標(biāo)。但要采用浮點(diǎn)運(yùn)算、乘法運(yùn)算、取整運(yùn)算。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)29 圓的掃描轉(zhuǎn)換是在屏幕像素點(diǎn)陣中確定最佳逼近于理想圓的像素點(diǎn)集的過程。圓的繪制可以使用簡單方程畫圓算法或極坐標(biāo)畫圓算法，但這些算法涉及開方運(yùn)算或

16、三角運(yùn)算，效率很低。主要講解僅包含加減運(yùn)算的順時(shí)針繪制1/8圓的中點(diǎn)Bresenham算法原理，根據(jù)對(duì)稱性可以繪制整圓 。圓的掃描轉(zhuǎn)換 圓的掃描轉(zhuǎn)換 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)30中點(diǎn)畫圓法利用圓的對(duì)稱性，只須討論1/8圓。第二個(gè)8分圓P為當(dāng)前點(diǎn)亮象素，那么，下一個(gè)點(diǎn)亮的象素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1，Yp +1)。MP1P2P（Xp ，Yp ）2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)31中點(diǎn)畫圓法構(gòu)造函數(shù)：F（X，Y）=X2 + Y2 - R2 ；則 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圓上； F（X，Y） 0 （X，Y）在圓外。設(shè)M為P1、P2間的中點(diǎn)，M=(Xp+1

17、,Yp-0.5)MP1P22022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)32中點(diǎn)畫圓法有如下結(jié)論： F（M）M在圓內(nèi)- 取P1 F（M）= 0 -M在圓外- 取P2為此，可采用如下判別式： MP1P22022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)33中點(diǎn)畫圓法 d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) =(xp + 1)2 + (yp - 0.5) 2 - R2 若d=0, 則P2 為下一個(gè)象素，那么再下一個(gè)象素的判別式為： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) = (xp + 2)2 + (yp - 1.5) 2 - R2 = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2）

18、即d 的增量為 2 (xp - yp) +5. d的初值: d0 = F(1, R-0.5) = 1 + (R-0.5)2 - R2 = 1.25 - RMP1P22022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)35中點(diǎn)畫圓法 MidpointCircle(int r, int color) int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(xy) if(d0) d+ = 2*x+3; x+ elsed+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; 2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)36中點(diǎn)畫圓法n為了進(jìn)一步提高算法的效率

19、，可以將上面的算法中的浮點(diǎn)數(shù)改寫成整數(shù)，將乘法運(yùn)算改成加法運(yùn)算，即僅用整數(shù)實(shí)現(xiàn)中點(diǎn)畫圓法。n使用e=d-0.25代替dne0=1-R2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)37中點(diǎn)畫圓法n上述算法能否再改進(jìn)呢？n注意到d的增量是x,y的線性函數(shù)，n每當(dāng)x遞增1，則d的增量遞增x=2n每當(dāng)y遞減1，則d的增量遞增y=2nx初始值=3；y初始值=-2r+2n見173頁算法。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)38Bresenham畫圓算法現(xiàn)在從A點(diǎn)開始向右下方逐點(diǎn)來尋找弧AB要用的點(diǎn)。如圖中點(diǎn)Pi-1是已選中的一個(gè)表示圓弧上的點(diǎn)，根據(jù)弧AB的走向，下一個(gè)點(diǎn)應(yīng)該從Hi或者Li中選擇。顯然應(yīng)選離AB最近的

20、點(diǎn)作為顯示弧AB的點(diǎn)。 假設(shè)圓的半徑為R，顯然，當(dāng)xhi2 + yhi2 -R2 R2 - (xli2 + yli2)時(shí)，應(yīng)該取Li。否則取Hi。令di = xhi2 + yhi2 + xli2 + yli2 - 2R2 顯然，當(dāng)di 0 時(shí)應(yīng)該取Li。 否則，取Hi。Pi-1HiLi應(yīng)取Hi還是取Li2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)39Bresenham畫圓算法剩下的問題是如何快速的計(jì)算di。設(shè)圖中Pi-1的坐標(biāo)為(xi-1,yi-1)，則Hi和Li的坐標(biāo)為(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 )di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2=2xi

21、2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 - 2R2=2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3Pi-1HiLi應(yīng)取Hi還是取Li2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)40Bresenham畫圓算法當(dāng)di取Hi - yi=yi-1，則 di+1 = di + 4xi-1 + 6當(dāng)di 0時(shí)-取Li - yi=yi-1-1，則 di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12 + y02 + 12 +(y

22、0 - 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2RPi-1HiLi應(yīng)取Hi還是取Li2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)41生成圓弧的正負(fù)法 原理： 設(shè)圓的方程為F(x,y)=X2 + Y2 - R2=0;假設(shè)求得Pi的坐標(biāo)為(xi,yi)；則當(dāng)Pi在圓內(nèi)時(shí)- F(xi,yi) 向右- 向圓外Pi在圓外時(shí)- F(xi,yi)0 - 向下- 向圓內(nèi)2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)42生成圓弧的正負(fù)法即求得Pi點(diǎn)后選擇下一個(gè)象素點(diǎn)Pi+1的規(guī)則為：當(dāng)F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi+1，yi+1 = yi;當(dāng)F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi， yi+1 = y

23、i - 1;這樣用于表示圓弧的點(diǎn)均在圓弧附近，且使F(xi,yi) 時(shí)正時(shí)負(fù)，故稱正負(fù)法。快速計(jì)算的關(guān)鍵是F(xi,yi) 的計(jì)算，能否采用增量算法？2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)43生成圓弧的正負(fù)法n若F(xi,yi) 已知，計(jì)算F(xi+1,yi+1) 可分兩種情況：n1、F(xi,yi)0- xi+1 = xi+1，yi+1 = yi;n - F(xi+1,yi+1)= (xi+1 )2 +(yi+1 )2 -R2n - = (xi+1)2+ yi2 -R2 = F(xi,yi) +2xi +1n2、 F(xi,yi)0- xi+1 = xi，yi+1 = yi -1;n - F(

24、xi+1,yi+1)= (xi+1 )2 +(yi+1 )2 -R2n - = xi2+(yi 1)2-R2 = F(xi,yi) - 2yi +1n3、初始值：略2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)44生成圓弧的多邊形逼近法 圓的內(nèi)接正多邊形迫近法 圓的等面積正多邊形迫近法2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)45圓的內(nèi)接正多邊形逼近法n思想：當(dāng)一個(gè)正多邊形的邊數(shù)足夠多時(shí)，該多邊形可以和圓無限接近。即n因此，在允許的誤差范圍內(nèi)，可以用正多邊形代替圓。n設(shè)內(nèi)接正n邊形的頂點(diǎn)為Pi(xi,yi), Pi的幅角為i ,每一條邊對(duì)應(yīng)的圓心角為a，則有nxi =Rcos i nyi =Rsin i圓邊正

25、內(nèi)接多邊形）nn(lim2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)46圓的內(nèi)接正多邊形逼近法 內(nèi)接正內(nèi)接正n邊形代替圓邊形代替圓n計(jì)算多邊形各頂點(diǎn)的遞推公式計(jì)算多邊形各頂點(diǎn)的遞推公式 Xi+1 Rcos( a+ i) = Yi +1 Rsin (a+ i)Xi+1 cos a- sin a Xi = Yi +1 sin a cosa Yi因?yàn)? a是常數(shù)， sin a， cosa只在開始時(shí)計(jì)算一次所以，一個(gè)頂點(diǎn)只需4次乘法，共4n次乘法，外加直線段的中點(diǎn)算法的計(jì)算量。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)47圓的等面積正多邊形逼近法n當(dāng)用內(nèi)接正多邊形逼近圓時(shí)，其面積要小于圓的面積；而當(dāng)用圓的外切正多邊

26、形逼近圓時(shí)，其面積則要大于圓的面積。為了使近似代替圓的正多邊形和圓之間在面積上相等，只有使該正多邊形和圓弧相交，稱之為圓的等面積正多邊形。2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)48圓的等面積正多邊形逼近法步驟：l求多邊形徑長，從而求所有頂點(diǎn)坐標(biāo)值l由逼近誤差值，確定邊所對(duì)應(yīng)的圓心角2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)49橢圓的掃描轉(zhuǎn)換nF(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0n橢圓的對(duì)稱性，只考慮第一象限橢圓弧生成，分上下兩部分，以切線斜率為-1的點(diǎn)作為分界點(diǎn)。n橢圓上一點(diǎn)處的法向：N(x,y) = (F) x i + (F) y j = 2b2 x i + 2a2 y j2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)50在上半部分,法向量的y分量大在下半部分,法向量的x分量大上半部分下半部分法向量兩分量相等M1M2在當(dāng)前中點(diǎn)處，法向量（ 2b2 (Xp+1) ，2a2 (Yp-0.5)的y分量比x分量大,即： b2 (Xp+1) a2 (Yp-0.5), 而在下一中點(diǎn)，不等式改變方向，則說明橢圓弧從上部分轉(zhuǎn)入下部分2022-2-2浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)51橢圓的中點(diǎn)畫法n與圓弧中點(diǎn)