第二章 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

1、2導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生 導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Fermat在研究極值問題中提出微分學(xué)的創(chuàng)始人英國數(shù)學(xué)家 Newton （1642 1727） 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz （1646 1716） (16011665)3一、引例一、引例1. 1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tSS 221tgs so的平均速度：的平均速度：到到則從則從ttt00時刻的瞬時速度：時刻的瞬時速度：在在0t)(0tS)(0ttsttSttSv)()(00ttSttSvt)()(lim00042.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放5 T0

2、xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT6.)()(limtan000 xxxfxfkxx xxx0記記xxfxxfx)()(lim000兩個問題的共性兩個問題的共性瞬時速度ttSttSvt)()(lim000切線斜率xxfxxfkx)()(lim000

3、所求量為函數(shù)增量函數(shù)增量與自變量增量自變量增量之比的極限 .類似問題類似問題加速度電流強度線密度等7二、導(dǎo)數(shù)的定義0000( ),()();yf xxxxxyyf xxf x 設(shè)在點 的某個鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量在 處取得增量時 相應(yīng)地函數(shù) 取得增量如果0( )f xx存在，則稱在 可導(dǎo)，0( )yf xx此極限稱為在 點的導(dǎo)數(shù)；0000()()limlimxxyf xxf xxx 8.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 2、導(dǎo)數(shù)的其它形式、導(dǎo)數(shù)的其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx,0 xxdxdy記作：記作：,0 xxy,)(0 xxxdxfd; )(0 x

4、f xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即即說明：說明：點不可導(dǎo)；點不可導(dǎo)；在在不存在，則稱不存在，則稱、若、若00)(lim1xxfxyx)(0 xxx無窮。無窮。，不可導(dǎo)，也稱導(dǎo)數(shù)為，不可導(dǎo)，也稱導(dǎo)數(shù)為若若xyx0lim9.)(,.)()()(lim)(,dxxdfdxdyyxfxxfxxfxfbaxx或或也可記作也可記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為稱為）（對于任一對于任一0 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.),()(,),()(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點內(nèi)的每點在在、如果函數(shù)、如果函數(shù)bax

5、fbaxfy 3.)()(004xxxfxf、10ttSttSvt)()(lim000 xxfxxfkx)()(lim000)(tSS ，、導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的變化率、導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的變化率51如引例如引例)(0tS2引例引例)(xfy )(0 xf 11三、由定義求導(dǎo)數(shù)三、由定義求導(dǎo)數(shù)例例1 1點的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)。點的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)。在在求求1532xxy解解xfxffx) 1 ()1 (lim) 1 (0 xxx535)1 (3lim20 xxxx20)(36lim6xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxxxx535)(3lim20 x6也有也有66)() 1 (11xxxxff12求導(dǎo)的一般步驟：

6、求導(dǎo)的一般步驟：);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例2 2.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即)(xfy 13例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22 類似可得：類似可得：xxsin)(cos即即xxcos)(s

7、in14例例4 4.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121x.21x )(1 x11)1( x.12x )1(xx)(43x4743xxx21)(21)1(xx15例例5 5.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 16例例6 6.)1, 0(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求

8、函函數(shù)數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln)(logaxxa1即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1.lnax117.2)()(lim)(0000hhxfhxfxfh存存在在，求求極極限限設(shè)設(shè)7例例解解: 原式)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()(2100 xfxf)(0 xf 18四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000

9、為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy )().()(010000 xfxxxfyy19例例8 8.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即.

10、 01582 yx即即20例例9. 9. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線? 在哪一點處的切線與直線131xy平行? 并寫出切線方程 .解解: :)(3xy3231x32131x,0 xy故在原點( 0 , 0 )有垂直切線0 x令,3113132x得,1x對應(yīng),1y所以在點(1,1) , (1,1)的切線與直線131xy平行,切線方程分別為) 1(131xy即023 yx1111) 1(311xy212.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度瞬時速度.lim)(0dtdststvt

11、 交流電路交流電路: :電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.22xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000導(dǎo)數(shù)定義的其它形式導(dǎo)數(shù)定義的其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)的定義：232.2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù): :五、左右導(dǎo)數(shù)五、左右導(dǎo)數(shù)1.1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù): :00000 xxxfxfxfxx)()(lim)(00000

12、xxxfxfxfxx)()(lim)()(0 xf存存在在 )(0 xf =)(0 xf xyxyxyxxx00000limlimlim存在存在結(jié)結(jié)論論：如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).;)()(limxxfxxfx0000;)()(limxxfxxfx000024例例1010.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh000000lim)()(lim, 1 hhhfhfhh000000lim)()(

13、lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導(dǎo)點不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy)0(f)0(f25六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 26注意注意: :、連續(xù)不一定可導(dǎo)。、連續(xù)不一定可導(dǎo)。1xxf)(如如xy xyo點連續(xù)，點連續(xù)，在在0)(xxf1)0(f但但1)0(f.0)(點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy導(dǎo)。導(dǎo)。點不連續(xù)，則一定不可

14、點不連續(xù)，則一定不可在在、如果、如果0)(2xxxf可用左、右導(dǎo)?？捎米蟆⒂覍?dǎo)。點的導(dǎo)數(shù)問題點的導(dǎo)數(shù)問題、討論分段函數(shù)在分段、討論分段函數(shù)在分段327例例1111.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx2812例例,0,0,11)(xbxa

15、xxxxf已知已知點可導(dǎo)？點可導(dǎo)？在在為何值時為何值時問問0)(,xxfba解：解：可導(dǎo)一定連續(xù)，可導(dǎo)一定連續(xù)，),0()00()00(fff由由,11lim)(lim0000axxbxaxxxxax11lim00)11 (lim00 xxxx21),0()0(0)(ffxxf點可導(dǎo)點可導(dǎo)在在29xfxffx)0()(lim)0(00而而xbxx2121lim00, bxfxffx)0()(lim)0(00 xxxx2111lim00200121limxxxx)121 (4lim2200 xxxxx81),0()0(ff由由,81b點可導(dǎo)。點可導(dǎo)。在在時，時，即當(dāng)即當(dāng)0)(8121xxfba3

16、0六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.318512P習(xí)題.18,17,15),2(14,13,11, 8),7 , 6 , 4 , 2(7 , 6 , 432思考題思考題

17、函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點點0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？33思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個具體的是一個具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點都可導(dǎo)而定義在點都可導(dǎo)而定義在I上的一個新函數(shù)，即上的一個新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應(yīng)，所以兩與之對應(yīng)，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點是：在某點0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是導(dǎo)即是導(dǎo)函數(shù)函數(shù))

18、(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值34一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運動規(guī)律為已知物體的運動規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時的速度為秒時的速度為_ ._ .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練

19、習(xí)題練習(xí)題354 4、 設(shè)設(shè)2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點在 點)1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶

20、函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .36四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù)；連續(xù)； （2 2）可導(dǎo)；）可導(dǎo)；（3 3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)）導(dǎo)數(shù)連續(xù). .五、五、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，ba ,應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點處的切線與兩上任一點處的切線與兩 坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于22a. .37八八、 設(shè)設(shè)有有一一根根細(xì)細(xì)棒棒，取取棒棒的的一一端端作作為為原原點點，棒棒上上任任意意點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為x，于于是是分分布布在在區(qū)區(qū)間間1,0上上細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量m是是x的的函函數(shù)數(shù))(xmm 應(yīng)應(yīng)怎怎樣樣確確定定細(xì)細(xì)棒棒在在點點0 x處處的的線線密密度度（對對于于均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒來來說說，單單