牛莉 線性代數(shù)教案 第02章

1、第2章 矩陣 2.1 矩陣的概念2.1.1矩陣的定義定義定義1 由 個(gè)數(shù) 按一定順序排成 行 列的數(shù)表稱為一個(gè) 行 列矩陣，簡(jiǎn)稱 矩陣，記為或 ，其中 表示位于第 行第 列的數(shù),稱為 的元素（或元），所以 矩陣也可以簡(jiǎn)記為 或 m n(1,2,1,2, )ijaim jnmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaAm nA ijaij()ija()ijm na mnm nAm n2.1.2 幾種特殊形式的矩陣（1）行矩陣）行矩陣 當(dāng) 時(shí)，即只有一行的矩陣或稱為行矩陣或行向量（2）列矩陣）列矩陣 當(dāng) 時(shí)，即只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量1m 12()nAa aa= =L12(

2、,)nAa aa= =L1n mbbbB21（3）零矩陣）零矩陣 所有元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為 例如， 的零矩陣可記為（4）方陣）方陣 行數(shù)和列數(shù)都等于 的矩陣，稱為 階矩陣或 階方陣，記為 ， Om n000000000m nOnnAnn即其中元素 稱為 階方陣的主對(duì)角元素，過(guò)元素 的直線稱為 階方陣的主對(duì)角線 （5） 階對(duì)角陣階對(duì)角陣 非主對(duì)角元素全為零的 階方陣稱為 階對(duì)角矩陣，即111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa1122,nnaaan1122,nnaaannnn0 (; ,1,2, )ijaij i jn記為12120000diag(,)00nnaaa

3、 aaa 或12naaa其中未寫(xiě)出的元素全為零（6） 階單位矩陣階單位矩陣 主對(duì)角元素全為1，其余元素全為零的 階方陣稱為 階單位矩陣，即 且 記為或n1(1,2, )iiain0 (; ,1,2, ),ijaij i jnnn100010001nEE111（7） 階數(shù)量矩陣階數(shù)量矩陣 主對(duì)角元素等于同一個(gè)數(shù) 的 階對(duì)角陣，稱為 階數(shù)量矩陣，記為 或k000000kkkEkkkknnn 2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1 矩陣的線性運(yùn)算1矩陣的加法定義定義2 兩個(gè) 的同型矩陣 和 的對(duì)應(yīng)元素相加，所得 的矩陣稱為矩陣 與的和,記為 ，即mn ()ijAa= =()ijBb= =ABCAB= =+ +m

4、n CAB= =+ +111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab()ijijab= =+ +例例1 設(shè) 則而 無(wú)意義305,147A312,435B12 .3C 1275316573441251033BACA2數(shù)與矩陣的乘法 定義定義3 用數(shù) 乘以 矩陣 的所有元素，所得的 矩陣稱為數(shù) 與矩陣 的數(shù)乘矩陣，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，記為 ，即 當(dāng) 時(shí)，稱 為矩陣 的負(fù)矩陣，顯然有 mn AAmn A111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1A- -= =()ija- -()AAO+ + - -= =A所以矩陣的減法可定義為矩陣的

5、加法和數(shù)與矩陣的乘法統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算，其運(yùn)算規(guī)律： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ()ABAB- -= =+ + - -ABBA()()ABCABCAOA+ += =()()AA ()AAA()ABAB例例2 設(shè)且 ，求矩陣 解解 在 等式兩端同加上 ，得32,15A11127B32AXBX3A32AXB111322332715XBA11196272731558上式兩端同乘 ，得12712712585242X2.2.2 矩陣與矩陣相乘定義定義4 設(shè) 是一個(gè) 矩陣， 是一個(gè) 矩陣，則規(guī)定 與 的乘積是一個(gè)矩陣 ，其中記為 ()ijAam l()ijBblnABm

6、n()ijCc1 1221(1,2,;1,2, )ijijijilljlikkjkca ba ba ba bim jnCAB= =例例3 設(shè)矩陣求乘積 解解 101,113A113121430BAB034101121113311CAB3143239101041033006210523 例4 設(shè)矩陣 ，求 及 解解2142A6342BABBA168321663422142AB000021426342BA例5 設(shè) ， 求 與 解解 12()nAa aaT12( ,)nBb bbABBA12121 12 2()nn nnbbABa aaaba ba bb1niiiab1212()nnbbBAa aa

7、b， nnnnnnababababababababab212221212111矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）結(jié)合律： （2）分配律： （3）對(duì)任意數(shù) 有（4）設(shè) 是 矩陣 ，則 ，或簡(jiǎn)記為 即單位矩陣是矩陣乘法的單位元，作用類似于乘法中的數(shù)1 ()()AB CA BC(),()AB CAB AC B C A BA CA()()()ABA BABAm nmm nm nE AAm nnm nAEAEAAEA定義定義5方陣 的 次冪定義為 個(gè)方陣 連乘，即其中 為正整數(shù)，規(guī)定 ，其運(yùn)算規(guī)律：（1） ；（2） 為正整數(shù) 因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以兩個(gè) 階方陣 與 ，一般來(lái)說(shuō)Ann

8、nAA AA 個(gè)n0AEnAklk lA AA()( ,klklAAk l)nAB()kkkABA B2.2.3 矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義6 將 矩陣 的行換成同序數(shù)的列，所得的 矩陣稱為 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 或 ，即其運(yùn)算規(guī)律： （1） ；m n()ijAan mATAA1121112222T12mmnnmnaaaaaaAaaaTT()AA；（2） ； （3） ；（4） 例例6 已知 求 解法解法1因?yàn)門(mén)TT()ABABTT()AATTT()ABB A102324171,231102BAT()AB1013173140102324171231102AB所以解法解法2 T017()1413310ABTT

9、T()ABB A1031314170213012131027241 定義定義7設(shè) 為 階方陣，若滿足 ，則稱 為對(duì)稱矩陣，即其特點(diǎn)是：關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的元素相等若滿足 ，則稱 為反對(duì)稱矩陣，即 ，當(dāng) 時(shí)， ，其特點(diǎn)是：關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的元素相反，主對(duì)角線上的元素全為零AnTAAA), 2 , 1,(njiaajiijTAA A ijjiaaij0iia2.2.4 方陣的行列式定義定義8 由 階方陣 的所有元素（位置不變）構(gòu)成的行列式，稱為方陣 的行列式，記為 或 ，即其運(yùn)算規(guī)律：（1） （行列式性質(zhì)1）；（2） 為 階方陣） ；（3） nAAdet AAA111212122212detnnnn

10、nnaaaaaaAaaaTAAnAA(AnABA BBA2.2.5 共軛矩陣當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記 ， 稱為 的共軛矩陣其運(yùn)算規(guī)律（設(shè) ， 為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：（1） ；（2） ；（3） )(ijaA ijaija()ijAaAAABBABAAABAAB 2.3 逆矩陣2.3.1 逆矩陣的定義及性質(zhì)定義定義9 設(shè) 為 階方陣，若存在 階方陣 ，使 ，則稱方陣 可逆， 為 的逆矩陣若 可逆，則 的逆矩陣是惟一的可逆矩陣的性質(zhì)： (1) 若 可逆，則其逆陣 也可逆，且（2）若 可逆，則 也可逆，且 AnBABBAEnABAAAA1A11()AAT11 T()(

11、)AAATA（3）若 可逆， 為非零常數(shù)，則 也可逆，且（4）若 ， 為同階可逆陣，則 也可逆，且 AA111()(0)AA；B111()ABB AAAB2.3.2 方陣 可逆的充分必要條件及 的求法定義定義10 設(shè) 階方陣 由 的行列式 的所有元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的 階方陣稱為矩陣的伴隨矩陣. A1An111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaAijAnnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*定理定理1 設(shè) 是 階方陣， 為 的伴隨矩陣，則定理定理2 階方陣 可逆 ，且 推論推論若 ，則 An*AEAAAAA*AA0A1*1AAAn)(EBAEAB1 AB

12、例例1 設(shè)判斷 是否可逆，若可逆，求 解解因?yàn)?02613803AA1A0152831502613803A所以 可逆，又因?yàn)橛?A86180, 05080, 55061312111AAA66383, 15283, 35263322212AAA31303, 00203, 20213332313AAA302613805*A所以例例2設(shè)求矩陣 ，使?jié)M足 .解解若 ， 存在，則用 左乘上式， 右乘上式， *11AAA30261380530261380511,502613803A,3512B130231C XCAXB 1A1B1A1B有即 由例1知， 可逆，且又因 ， 也可逆，且111111()A AX

13、BBAAXB BA CB11CBAXA3026138051A01BB25131B所以11CBAX25131302313026138057127617282513911152323292.4 分塊矩陣2.4.1分塊矩陣的概念 設(shè) 是 矩陣，用若干條橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，每一小塊作為一個(gè)小矩陣，稱為 的子塊（或子矩陣），在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)，可以將 的每一個(gè)子塊作為一個(gè)元素，這種以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 Am nAA2.4.2 分塊矩陣的運(yùn)算1.分塊矩陣的線性運(yùn)算 分塊矩陣的加法設(shè) 與 為同型矩陣，且以相同的方式分塊，即其中 與 也是同型矩陣，則AB11111111,ssrrs

14、rrsAABBABAABBijAijB(1,2, ;1,2, )ir js11111111ssrrrsrsABABABABAB數(shù)與分塊矩陣的乘法設(shè) 為數(shù)，則1111srrsAAAAA1111srrsAAAAA2.分塊矩陣的乘法 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，若它們的分塊矩陣分別為其中子塊 的列數(shù)分別等于子塊 的行數(shù)，即矩陣 的列的分法與矩陣 的行的分法一致，則Am lBln11111111,trsstttrAABBABAABB12,(1,2, )iiitAAA is12,(1,2, )jjtjBBBjrAB1111rssrCCABCC其中例1 設(shè)求 11221tijijijittjikkjkCA

15、BA BA BA B(1,2, ;1,2, ).is jr1000101001001201,1210104111011120ABAB 解解 將 、 分塊成AB11000010012101101EOAAE1121221010120110411120BEBBB11111212211121122EOBEBEABAEBBA BBAB111211210102411121111ABB122124133112031AB10101010120112012433243311311131AB3.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) 則4分塊對(duì)角陣及其運(yùn)算設(shè) 為 階方陣，若 的分塊矩陣的主對(duì)角元素為非零子塊，其余子塊均為零子塊，且非零

16、子塊均為方陣， 1111,rssrAAAAATT111TTT1srsrAAAAAAnA 或其中 為方陣，則稱 為分塊對(duì)角陣 分塊對(duì)角陣的行列式與各主對(duì)角塊的行列式滿足： 12sAOOOAOAOOA12sAAAA(1,2, )iA isA12sAA AA由此可知，若 ，則 ，并有 或 0(1,2, )iAis0A 111121sAOOOAOAOOA111121sAAAA 例2 設(shè)求 解解 將 按元素特征分塊為其中500031021A1AA12500031021AOAOA11115,5AA1223111,2123AA所以110010055011011023023A2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣2

17、.5.1 矩陣的初等變換1初等行（列）變換定義定義11下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對(duì)換變換：對(duì)換矩陣的某兩行 （對(duì)換 兩行，記為 ）；（2）數(shù)乘變換：非零數(shù) 乘矩陣某行的所有元素（第 行乘 ，記為 ）；（3）倍加變換：將矩陣的某一行所有元素的 倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上（第 行的 倍加到 行上，記為 ）, i jijrrkiikrkkjkiijrkr若將上述定義中的“行”換成“列”，即對(duì)矩陣的列施行上面三種變換，就稱為矩陣的初等列變換，相應(yīng)的初等列變換分別記 ， ， 2初等變換 矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換3等價(jià)關(guān)系 如果矩陣 經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為矩陣 ，則稱 與

18、 等價(jià)，記為 矩陣的等價(jià)具有以下性質(zhì)： （1）自反性： ；（2）對(duì)稱性：若 則 ；（3）傳遞性：若 ， ，則 ijccikcijckcBAABABAAABBABC.ACAB4特殊矩陣（1）行階梯形矩陣如果矩陣中元素全為零的行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐行減少并呈階梯狀，稱此矩陣為行階梯形矩陣（2）行最簡(jiǎn)形矩陣若行階梯形矩陣中的非零行的第一個(gè)非零元素為1，且1所在列的其它元素全為零，稱此行階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣（3）若 矩陣的左上角為一個(gè) 階單位陣，其余元素全為零，即m nrrm nEOOO稱此矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，它由 三個(gè)數(shù)惟一確定，其中 為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中非零行的行數(shù), ,m n rr

19、2.5.2 初等矩陣定義定義12單位矩陣經(jīng)一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩（方）陣三種初等行變換對(duì)應(yīng)的三種初等矩陣分別為：（1） 或 ：交換 的 兩行（列）所得的矩陣，即( , )E i jijEE, i j11011( , )11011ijijE i jE第行第行（2） 或 ： 的第 行（列）乘非零數(shù) 所得的矩陣，即（3） 或 ： 的第 行乘 加到第行（第 列乘 加到第 列）所得的矩陣， ( ( )E i k( )iE kEik11( ( )( )11iiE i kE kk第 行( , ( )E i j k( )ijE kEjkiikj即初等矩陣都是可逆的，其逆矩陣仍是同種初等矩陣，即 11

20、( , ( )( )11ijikE i j kEkj第 行第行1( , )( , );E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1( , ( )( , ().E i j kE i jk定理定理3設(shè) 為 矩陣，對(duì) 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣定理定理4 若 為 矩陣，則存在 階初等矩陣 與 階初等矩陣 ，使得推論推論1 階可逆陣 必等價(jià)于單位矩陣 推論推論2 若方陣 可逆，則存在有限個(gè)初等矩陣 ，使 Am nAmnAAA12,sP PP12,tQ QQAm nmn1111rssttE

21、OPPPAQQ QOOnEnA12,lP PP12lAPPPA推論推論3 矩陣 存在 階可逆陣 和 階可逆陣 ，使 用初等列變換也可求逆矩陣，即例例1 設(shè) 求 m nABmPnQPAQB1AEEA有限次初等列變換123221343A1A例例16 設(shè)解解 221331123100123100221010025210343001026301rrrrAE2131253223102110100132025210020365001111001111rrrrrrrr2 ( 2)( 1)310013235010322001111rr 所以 113235322111A 例例2 求矩陣 ，使 ，其中 解解 若

22、可逆，則 XAXB412221,311A1322.31BA1XA B13412131012222122221223113131131rrAB232131232231012210122023660129501295001124rrrrrrrr132332( 1)100102010153001124rrrrr 所以 102153124X 2.6 矩陣的秩2.6.1 矩陣秩的定義定義定義13 設(shè) 為 矩陣，在 中任取 行和列 ，位于這 行 列交叉位置上的 個(gè)元素，按原有的位置構(gòu)成的 階方陣，稱為矩陣 的一個(gè) 階子方陣，其行列式稱為 的一個(gè) 階子式定義定義14 設(shè) 矩陣 中，有一個(gè) 階子式 不等于零，

23、而所有 階子式（如果存在）全等于零，則稱 為矩陣 的最高階非零子式，稱數(shù) 為矩陣 的秩，記為 并規(guī)定零矩陣的秩為零 Am nA(1min, )km nk2kkAkkkAkAk1r Dr( )R Arm nADArA2.6.2 矩陣秩的性質(zhì) （1）設(shè) 為 矩陣，則 ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，其中 為 矩陣， 為矩陣 Am n( )min , R Am nT( )()R AR A()() (0)R kAR Ak()( )( )R ABR AR B( )( )()min( ),( )R AR BkR ABR A R BAm kBkn2.6.3 初等變換求矩陣的秩 定理定理5 若 ，則 推論推論1