第二十一講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0 1 nnnuu這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). ., , 211 nnnsssu有有對(duì)對(duì)于于正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)2. 2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件: :定理定理. 有界有界部分和數(shù)列部分和數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ns一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 . 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列即部分和數(shù)列即部分和數(shù)列ns

2、證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv 設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界，即部分和數(shù)列有界，.1收收斂斂 nnunvvv 21. ), 2 , 1( 111111發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，則則反反之之，若若收收斂斂；收收斂斂，則則若若且且均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè)比比較較審審斂斂法法 nnnnnnnnnnnnnnvuuvnvuvunns )()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且, .1發(fā)散發(fā)散 nnv. ) ( )( )( ) ( 11發(fā)發(fā)散散收收斂斂，則則且且為為非非零零常常數(shù)數(shù)，發(fā)發(fā)散散收收斂斂若若推推論論： nnnnnnnnvvkuNnkuvku , 不不是是有有界界數(shù)數(shù)列列即即

3、n 那么那么解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散則則 P nnppxdxn 1 1 . 1 p設(shè)設(shè)考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù), 1)1(1211 nppnn)0.( 14131211 1 pnPpppp的的收收斂斂性性級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)討討論論例例,11 1 ppxnnxn- 有有時(shí)，時(shí)，因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)所以所以1)1(11111 ppnnp. 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂因因此此 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), 1 , 1 ppP 1)1(11211 nkppnnns, 1)1(11(limlim 1 pnnnns因因?yàn)闉?, 1)1(1 211收收斂斂故故 nppnn. )1(111 pn證明證

4、明,11)1(1 nnn, 11 1 nn發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù). )1(1 1 nnn發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). )1(1 2 1 nnn是發(fā)散的是發(fā)散的證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)例例4. 4. 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式. )3( 0 )2( 0 )1( lim 111111發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則時(shí)，若時(shí)，若當(dāng)當(dāng)收斂；收斂；收斂，則收斂，則時(shí)，若時(shí)，若當(dāng)當(dāng)斂散性；斂散性；時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)有相同的時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)有相同的當(dāng)當(dāng)，則，則都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果與與設(shè)設(shè) nnnnnnnnnnnnnnnuvluvlllvuvu證明證明, lim )1(lvunnn 由由, 02 l 對(duì)于對(duì)于,N ,

5、 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,22llvullnn )()23()2( Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, , 得證得證. .5. 5. 極限審斂法極限審斂法為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) 1 nnu；發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，則，則如果如果 )lim( 0lim 1 nnnnnnunulnu. lim , 1 1收斂收斂存在，則級(jí)數(shù)存在，則級(jí)數(shù)使得使得如果如果 nnnpnuunp解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. .)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收收斂斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂. .;31

6、)2( ;1sin )1( 311 nnnnn：判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性例例. )1ln(1 )3(12 nn(3)(3)考察考察).11ln(lim22nnn ，并應(yīng)用重要極限，有，并應(yīng)用重要極限，有代替代替用實(shí)變量用實(shí)變量nx)11ln(lim22xxn 2)11(limln2xnx eln 1 因而因而. 1)11ln(lim22 nnn. )1ln(1 12收斂收斂根據(jù)極限審斂法知級(jí)數(shù)根據(jù)極限審斂法知級(jí)數(shù) nn證明證明, 為有限數(shù)時(shí)為有限數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對(duì)對(duì),N , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即6. 6. 比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法）比值審斂

7、法達(dá)朗貝爾判別法）,lim 11 nnnnnuuu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果設(shè)設(shè). 1 )lim ( 1 1 1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散；時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂；則則 nnnuu,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu, 111 mNmur收收斂斂而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),11收斂收斂 NnummNuu級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂. ., 1 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. .注意注意: :, 11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如，

8、 nn,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn. 1 1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效；當(dāng)當(dāng) 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n. !1 1收收斂斂故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn.2)12(1 (3) ; 10! (2) ; !1 )1( 411n1 nnnnnnn：判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性例例),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, , 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收

9、斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn . )12(211收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn,1 , 1 nnn設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)例如例如nnnnnu1 n1 ),(0 n級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂. .7. 7. 根值審斂法柯西判別法）根值審斂法柯西判別法），是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果設(shè)設(shè) nnnnnuulim 1. 1 )lim ( 1; 1 發(fā)散發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)時(shí)或或時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂則則 nnnu定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . )1()1(111nnnnnnuu 或或. )0( nu其其中中. , 0lim )2(

10、);, 3 , 2 , 1( )1( 111 nnnnnnnurrusunuu的的絕絕對(duì)對(duì)值值，其其余余項(xiàng)項(xiàng)則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，且且其其和和：如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件萊萊布布尼尼茨茨定定理理二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是是有有界界的的數(shù)數(shù)列列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s . ,1uss 且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于

11、和和),(21 nnnuur余余項(xiàng)項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件, ,.1 nnur解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x, 1 單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂. . 1)1( 5 2 nnnn的收斂性的收斂性判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)例例定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又. 11收收斂斂收收斂斂，則則若若定定理理 nnnnuu三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂解解,1sin22nnn ,112收收斂斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. . sin 6 12 nnn的的收收斂斂性性判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 . ; 11111為條件收斂為條件收斂收斂，則稱收斂，則稱發(fā)散，而發(fā)