第三章第二節(jié)冪級(jí)數(shù)-DAIppt課件

1、3.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(一一) 冪級(jí)數(shù)定義冪級(jí)數(shù)定義(二二) 冪級(jí)數(shù)收斂的判別法冪級(jí)數(shù)收斂的判別法 重要概念：收斂圓、收斂半徑重要概念：收斂圓、收斂半徑(三三) 收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(一一) 冪級(jí)數(shù)定義冪級(jí)數(shù)定義通項(xiàng)是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。以通項(xiàng)是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。以z0為中心的冪級(jí)數(shù)：為中心的冪級(jí)數(shù)：20010201., 3.2.1kkkazzaazzazz其正項(xiàng)級(jí)數(shù)為：其正項(xiàng)級(jí)數(shù)為：2 . 2 . 3.0202010kkzzazzazzaa以以z0為中心的冪級(jí)數(shù)：為中心的冪級(jí)數(shù)：(二二) 冪級(jí)數(shù)收斂的判別法冪級(jí)數(shù)收斂的判別法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法(達(dá)朗貝爾判

2、別法達(dá)朗貝爾判別法)假如假如1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk那么那么(3.2.2收斂收斂)01., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz3 . 2 . 3,.lim1kkkaaR絕對(duì)收斂1 . 2 . 3.1limlim,101010RaazzazzaRzzkkkkkkkk 引入引入R, 收斂圓，收斂半徑收斂圓，收斂半徑以以Z0為圓心，為圓心，R為半徑畫圓周為半徑畫圓周 ， 則有在圓內(nèi)則有在圓內(nèi)RCRzz001., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz1limkkkaaR 以以Z0為圓心，為圓心，R為半徑畫圓周為半徑畫圓周 ，

3、則在圓則在圓外外發(fā)散1 . 2 . 3.1limlim,101010RaazzazzaRzzkkkkkkkkRC因而，圓因而，圓 叫收斂圓，叫收斂圓，R叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，冪級(jí)叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)或收斂或發(fā)散。數(shù)或收斂或發(fā)散。RCRzz001., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz3 . 2 . 3,.lim1kkkaaR以以Z0為圓心，為圓心，R為半徑畫圓周為半徑畫圓周 ， 其中其中R 與冪級(jí)數(shù)的收斂有關(guān)與冪級(jí)數(shù)的收斂有關(guān)RC因而，圓因而，圓 叫收斂圓，叫收斂圓，R叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，冪級(jí)叫收斂半徑。對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)或收斂或發(fā)散。數(shù)或收

4、斂或發(fā)散。RCRzz020010201., 3.2.1kkkazzaazzazz2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法因而發(fā)散各相的模則如果絕對(duì)收斂收斂，則如果, 11 . 2 . 3, 1lim1 . 2 . 32 . 2 . 3, 1lim00kkkkkkkkzzazza收斂半徑收斂半徑R的另一公式的另一公式6 . 2 . 3.1limkkkaR01., 3.2.1kkkazz01., 3.2.2kkkazz(三三) 收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1：冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂kkkkRazza1001kkkazz

5、CR1R1Z0kkkRa1011limlim1111111RRRaaRaRakkkkkkkk根據(jù)上一節(jié)最后的內(nèi)容：根據(jù)上一節(jié)最后的內(nèi)容：對(duì)于上式右邊的級(jí)數(shù)：對(duì)于上式右邊的級(jí)數(shù)：可以證明其收斂，因?yàn)椋嚎梢宰C明其收斂，因?yàn)椋菏諗浚瑒t復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域收斂，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域B (或曲線或曲線 l )上絕對(duì)且一致收斂。上絕對(duì)且一致收斂。如果對(duì)于某個(gè)區(qū)域如果對(duì)于某個(gè)區(qū)域B (或某根曲線或某根曲線 l )所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)z，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)(3.1.6)的各項(xiàng)的模的各項(xiàng)的模 而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,kkmzw,1kkm可得冪級(jí)數(shù)可得冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂。在收斂

6、圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂。例一例一 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂圓，的收斂圓，t 為復(fù)變數(shù)。為復(fù)變數(shù)。解：解：.12kttt111limlim1kkkkaaR下面舉例說明：冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂下面舉例說明：冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)不僅絕對(duì)且一致收斂12011.1kkkktttttt 收斂圓是以收斂圓是以t=0為圓心，以為圓心，以1為半徑的圓。因?yàn)闉榘霃降膱A。因?yàn)?11.1 . 3.2.71kttttt ，1011limlim11kkkkktttt在收斂圓內(nèi)部，即在收斂圓內(nèi)部，即1t 即，在收斂圓內(nèi)部，級(jí)數(shù)是收斂的，且收斂于即，在收斂圓內(nèi)部，級(jí)數(shù)是收斂的，且收斂于11 t基本公式：基本公式：例二

7、，求冪級(jí)數(shù)例二，求冪級(jí)數(shù)的收斂圓，的收斂圓，z為復(fù)變數(shù)。為復(fù)變數(shù)。解：解：.1642zzz8 . 2 . 3.1,11.1. 1. 11lim.1,26421322zzzzzzRzaaRtttttzkkk可表示為收斂圓的內(nèi)部平面的收斂半徑為平面的收斂半徑為則有令u 性質(zhì)性質(zhì)2：冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)部可以表示為連續(xù)函數(shù)的在收斂圓內(nèi)部可以表示為連續(xù)函數(shù)的u回路積分、可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次回路積分、可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次 201020., 3.2.9waazaz為了應(yīng)用柯西公式，將為了應(yīng)用柯西公式，將(3.2.1)中的中的z改為改為01kkkazz柯西公式柯西公式:112 iz 取收斂

8、圓內(nèi)的任一內(nèi)點(diǎn)取收斂圓內(nèi)的任一內(nèi)點(diǎn)z，用有界函數(shù)，用有界函數(shù)遍乘上式遍乘上式 100111.,222wazaiziziz 201020., 3.2.9waazaz為了應(yīng)用柯西公式，將為了應(yīng)用柯西公式，將(3.2.1)中的中的z改為改為01kkkazz 12010201.2RCCauchywdaazzazziz根據(jù)公式有 1111001211.,22RRRCCCwdizazaddiziz 這就是說，冪級(jí)數(shù)這就是說，冪級(jí)數(shù)(3.2.1)可以表示為連續(xù)函數(shù)的回路積分?？梢员硎緸檫B續(xù)函數(shù)的回路積分。 .21dzfizfl 這就是說，冪級(jí)數(shù)這就是說，冪級(jí)數(shù)(3.2.1)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次。在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多次。1!12nniz將將(3.2.9)式式得得 201020., 3.2.9waazaz兩邊同乘以兩邊同乘以 1!2nn