第5章A 應(yīng)力莫爾圓(2014)

1、9.3 為什么叫莫爾圓為什么叫莫爾圓 ( ？首先由首先由Otto （1835-1918）提出）提出 ( 又是一位工程師又是一位工程師)來由來由 一點無窮多個微元上的應(yīng)力一點無窮多個微元上的應(yīng)力 能否在一張圖上表示？能否在一張圖上表示？ 或者說，或者說， asa把把a a看成參數(shù)，看成參數(shù)，能否找到能否找到 與與 的函數(shù)關(guān)系？的函數(shù)關(guān)系？aassaasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxsssssaa往下是關(guān)鍵的一步往下是關(guān)鍵的一步-平方和相加，得平方和相加，得一、斜截面應(yīng)力一、斜截面應(yīng)力y0s sy xys sxs sa a a aa

2、axns sx xys syxyO在在 - - 坐標(biāo)系中，坐標(biāo)系中， 與與落在一個圓上落在一個圓上 （應(yīng)力圓應(yīng)力圓 或或 莫爾圓莫爾圓）asaasa圓心？圓心？半徑？半徑？)0 ,2(yxss222xyyxRss二、應(yīng)力圓的畫法二、應(yīng)力圓的畫法第一種畫法第一種畫法（1）在）在s sa a軸上作出軸上作出 A0(s sx,0), B0(s sy,0) （2） A0, B0的中點為圓心的中點為圓心C（3）過）過A0垂直向上取垂直向上取 xy 得得 A， CA為半徑為半徑0s sa a a aCA0B0ABysxs（4）以）以C 為圓心、為圓心、CA為半徑為半徑 畫圓畫圓第二種畫法第二種畫法（1 1

3、）坐標(biāo)系內(nèi)畫出點坐標(biāo)系內(nèi)畫出點 A( (s s x， xy) B (s sy， yx) （2 2） AB與與s sa a 軸的軸的 交點交點C是圓心是圓心（3 3） 以以 C 為圓心為圓心 以以AC為半徑為半徑 畫畫 圓圓 應(yīng)力圓應(yīng)力圓 或或 莫爾圓莫爾圓s sx xys syxyOns sa a a aa aA(s sx , xy)Os sa a a aCB(s sy , yx)x2a anD( s sa a , a a) )以上由單元體公式以上由單元體公式應(yīng)力圓（原變換）應(yīng)力圓（原變換）下面尋求：下面尋求：由應(yīng)力圓由應(yīng)力圓單元體公式（逆變換）單元體公式（逆變換）只有這樣，應(yīng)力圓才能與公式等

4、價只有這樣，應(yīng)力圓才能與公式等價換句話，單元體與應(yīng)力圓是否有一一對應(yīng)關(guān)系？換句話，單元體與應(yīng)力圓是否有一一對應(yīng)關(guān)系？為什么說有這種對應(yīng)關(guān)系？為什么說有這種對應(yīng)關(guān)系？a a a a a as ss sa aa aa aa aa aa aa aa a222222222221800000cossincos)cosR(sin)cosR()sin(R)(sinRDExyyxoa as sa a a as ss ss ss sa aa aa aa as ss sa aa as ss sa aa as ss s2222222222222218020000sincos)sinsincos(cosR)cos(R

5、)(cosRECOCOExyyxyxyxyxoyx0s sa a a aCA(s sx , xy)B(s sy , yx)x2a an D( s sa a , a a) )E2a a0 0單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系（1 1）單元體的右側(cè)立面）單元體的右側(cè)立面 應(yīng)力圓的應(yīng)力圓的 A A 點（點（2 2a a 0 ）（2 2）斜截）斜截面和面和應(yīng)力應(yīng)力( (s s a a ， a a) 應(yīng)力圓上一點應(yīng)力圓上一點 D D 點點 和坐標(biāo)和坐標(biāo)( (s s a a ， a a)（3 3）單元體上夾角單元體上夾角a a 應(yīng)力圓上應(yīng)力圓上 CA 與與 CD 夾角夾角 2a a 且轉(zhuǎn)向一

6、致且轉(zhuǎn)向一致s sx xys syxyOns sa a a aa aOs sa a a aCA(s sx , xy)B(s sy , yx)x2a anD( s sa a , a a) )2a a0 0（4 4）主）主單元體上單元體上s s 1所在面法向所在面法向 是由是由x x 軸軸逆時針轉(zhuǎn)逆時針轉(zhuǎn) a a 0 s s a a 軸上應(yīng)力圓最右端軸上應(yīng)力圓最右端223122xyyxyxR OC s ss ss ss ss ss s）（半徑半徑四、應(yīng)力極值四、應(yīng)力極值22minmax2xyyxRss）（半徑A(s sx , xy)maxCOs sa a a aB(s sy , yx)x2a a1

7、 1min 2a a0 0s s1s s2s s3五、平面應(yīng)力狀態(tài)的分析方法五、平面應(yīng)力狀態(tài)的分析方法1 1、解析法、解析法 精確、公式不好記精確、公式不好記 7 7個個 一般公式一般公式2 2個（正、切應(yīng)力），極值應(yīng)力個（正、切應(yīng)力），極值應(yīng)力5 5個個 （極大與極小正應(yīng)力，極大與極小切應(yīng)力，（極大與極小正應(yīng)力，極大與極小切應(yīng)力， 主單元體方位角）主單元體方位角）2 2、圖解法、圖解法 不必記公式、數(shù)值不精確不必記公式、數(shù)值不精確 有沒有有沒有 集二者優(yōu)點集二者優(yōu)點、避二者缺點避二者缺點 的方法的方法 ？ 我提出了這種方法我提出了這種方法 3 3、圖算法、圖算法 前半部前半部 畫莫爾圓畫莫爾

8、圓 后半部后半部 看圖精確計算看圖精確計算30080 s ss s , ,yx例例 單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體3080單位：單位：MPa8030s1s s3s sOA (80, 30)80, 30)BCxs sys sD1、取、取 的中點的中點C為圓心為圓心yx,s ss s 以以 AC 為半徑畫莫爾圓為半徑畫莫爾圓2、算出心標(biāo)、算出心標(biāo) 0C = -40，半徑，半徑3、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值5022DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031s ss sMPaR -minmax50

9、5、畫出主單元體、畫出主單元體 （1）A點對應(yīng)于右垂面點對應(yīng)于右垂面 （2）右垂面逆時針轉(zhuǎn)）右垂面逆時針轉(zhuǎn)s1s s3s sOA (80, 30)80, 30)BCxs sys sDoa a257712863618086360. .DCADtg arcACD a a3080單位：單位：MPa802s s1s soa a 得主單元體的最大得主單元體的最大 拉應(yīng)力所在的面拉應(yīng)力所在的面 （3）垂直做主單元體的）垂直做主單元體的 另一個面另一個面oa a例例 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置 (單位：單位：MPa)解：解：(1)(1)主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖主應(yīng)力坐標(biāo)系如

10、圖(3)(3)AB的垂直平分線與的垂直平分線與s sa a 軸的交點軸的交點 C 即即是圓心，是圓心， 以以 C 為圓心，以為圓心，以 AC為為 半徑畫圓半徑畫圓 應(yīng)力圓應(yīng)力圓)325,45(B)325,95(A(2)(2)在在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點坐標(biāo)系內(nèi)畫出點s s 1s s2a a04532532595150s s3s s1s s2BACs sa a a a(MPa)(MPa)O20MPa02a a(4)(4)按按圖計算圖計算 心標(biāo)心標(biāo) 和和 半徑半徑 OC OC = (= (A A 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) + + B B 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo))/2)/2 = 70 = 70020120321s ss ss sR

11、OCROC6020 FCAFtg arca a4532532595150s s 1a0s s2AB(5)(5)計算計算主應(yīng)力主應(yīng)力及及方位角方位角5022DCADACRs s3s s1s s2BACs sa a a a(MPa)(MPa)O20MPa02a aEDF300a a(6)(6)在在圖上畫圖上畫主單元體主單元體、主應(yīng)力主應(yīng)力9.4 梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線zzxyIbQSzxIMys 梁發(fā)生橫力彎曲，梁發(fā)生橫力彎曲，M與與Q 0，試確定截面上，試確定截面上各點主應(yīng)力大小及主平面各點主應(yīng)力大小及主平面位置位置單元體上：單元體上：223122xyxxssss）（q

12、s s1 15 5s s3 31 1s s3 3s s1 13 3452 2s s1 1s s3 3a0s s3 34 4s s1 1a0s s A1A2D2D1COA2s sD2D1CA1O 2a0D2s s D1CD1O2a0= 90 s sD2A1O2a0CD1A2s s A2D2D1CA1O 主應(yīng)力跡線（主應(yīng)力跡線（Stress Trajectories) ) 主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線 曲線上每一點的切線曲線上每一點的切線 都指示著該點的主拉應(yīng)力（或主壓應(yīng)力）方位都指示著該點的主拉應(yīng)力（或主壓應(yīng)力）方位實線表示主拉應(yīng)力跡線實線表示主拉應(yīng)力跡線虛線表示主壓應(yīng)力跡線虛線表示

13、主壓應(yīng)力跡線主應(yīng)力跡線的畫法主應(yīng)力跡線的畫法xy11截截面面22截截面面33截截面面44截截面面ii截截面面nn截截面面bacdqs s1s s3s s3s s19.5 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓法應(yīng)力圓法xyzs s2s s1s s31s2s3sasa1 1、空間應(yīng)力狀態(tài)、空間應(yīng)力狀態(tài)2 2、三向應(yīng)力分析、三向應(yīng)力分析（1 1）彈性理論證明，圖彈性理論證明，圖 a 單元體內(nèi)任意一點任意截面上單元體內(nèi)任意一點任意截面上 的應(yīng)力都對應(yīng)著圖的應(yīng)力都對應(yīng)著圖 b 的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點（2 2）整個單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為整個單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為231maxsss

14、s1xyz圖圖as s2s s3圖圖b max1s2s3sasa例例 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（MPa）解：解：(1)(1)由上圖知由上圖知 y z面為主面為主 面之一面之一501s（2 2）建立應(yīng)力坐標(biāo)建立應(yīng)力坐標(biāo) 系，畫應(yīng)力圓系，畫應(yīng)力圓2750583121s ss ss ss s44maxxyz504030ABC (M Pa)s sa a（M Pa ） a as s1s s2s s3 max復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的單元體的變形復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的單元體的變形）一、單拉下的本構(gòu)關(guān)系一、單拉下的本構(gòu)關(guān)系ExxsxyEs s xzEs s 二、純剪的本構(gòu)關(guān)系二、純

15、剪的本構(gòu)關(guān)系Gxyxy)x,y,zi,j ( ij 0 )x,y,zi ( i 0 0zxyz xyzs sxxyz x y三、復(fù)雜狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系三、復(fù)雜狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系依疊加原理依疊加原理, ,得得)zyxzyxxEEEEssssss1 )xzyyEsss1)yxzzEsss1GxyxyGyzyzGzxzx)zyxxEsss1 xyzs szs sy xys sx主單元體本構(gòu)關(guān)系主單元體本構(gòu)關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系0zxyzzs)13221sssE)12331sssE)32111sssEyxxEs21xyxyGxyyEs21s s1s s3s s2 用

16、用 應(yīng)力應(yīng)力 表示表示 應(yīng)變應(yīng)變 的本構(gòu)關(guān)系的本構(gòu)關(guān)系)12EG五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系dz dy dxV )(dz dy dx )(dz)(dy)(dxV32132111111 3211VVV體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：)(21 )(21321zyxEEssssss 代入本構(gòu)關(guān)系，得到代入本構(gòu)關(guān)系，得到體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系: :s s1s s3s s2dxdzdy例例 構(gòu)件表面上某點的兩個面內(nèi)主應(yīng)變?yōu)闃?gòu)件表面上某點的兩個面內(nèi)主應(yīng)變?yōu)?1=240 10-6 2= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求該點的求該點的 主

17、應(yīng)力及另一主應(yīng)變主應(yīng)力及另一主應(yīng)變03s s自由面上自由面上解解 :MPa.).(. E34410160302403011021016292121 s s故為平面應(yīng)力狀態(tài)故為平面應(yīng)力狀態(tài) MPa.).(.E32010240301603011021016291222 s s1s2s)6691322103341034432010210301.).(.Es ss s s s MPa. MPa.3200344321s ss ss s例例 為測量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力為測量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力，用電阻應(yīng)變片，用電阻應(yīng)變片 測得容器表面環(huán)向應(yīng)變測得容器表面環(huán)向應(yīng)變 t = =350l06；容器平均直徑；

18、容器平均直徑 D = 500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求：求： 1.1.橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式 2.2.內(nèi)壓力內(nèi)壓力pppxs s1 1s smlpODxABy1 1、軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)力( L( Longitudinal stress) )解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式容器截開后受力如圖所示容器截開后受力如圖所示, ,據(jù)平衡方程據(jù)平衡方程)42DpDm s ss4pDmps sms smxD縱截面將容器截開后受力縱截面將容器截開后受力2 2、環(huán)向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力( (Hoop stres

19、s) )Dlplts2s2pDt3 3、內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）、內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）ss241EpDEmttMPa.).(. )(DEp t363250250103500101021042469 s st s sm外表面外表面yps s ts s tDq qdq q)d2(qDlpzO9.7 9.7 變形位能變形位能332211212121sssu)(31321ssssms s2s s3s s 1s s3 -s sms s 1-s sms s2-s sm)(Ea32121s ss ss s )312321232221221sssssssssEs sms sms sm 為了剖析為了剖析變形位能變形位能同同體積變形體積變形和和形狀形狀變形變形的關(guān)系的關(guān)系，引入引入為什么？為什么？因因是體積應(yīng)變是體積應(yīng)變按迭加原理得左圖按迭加原理得左圖交互項交互項應(yīng)力迭加沒有交互項，位能迭加有應(yīng)力迭加沒有交互項，位能迭加有)(Ea32121s ss ss s 0c因因 故第故第3 3項項 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)同同 體積應(yīng)變體積應(yīng)