第十章非歐幾何誕生

1、數(shù)數(shù) 學學 史史主主 講講 人人張躍輝張躍輝10、痛苦的分娩、痛苦的分娩幾何學的革命幾何學的革命l 關(guān)于第五公設(shè)的思考關(guān)于第五公設(shè)的思考l 高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作l 非歐幾何學非歐幾何學l 黎曼對非歐幾何的貢獻黎曼對非歐幾何的貢獻 1818世紀由于微分方程、變分法一些世紀由于微分方程、變分法一些新數(shù)學分支的出現(xiàn)，形成分析、幾何、新數(shù)學分支的出現(xiàn)，形成分析、幾何、代數(shù)這三大數(shù)學學科，而在這一世紀代數(shù)這三大數(shù)學學科，而在這一世紀中分析領(lǐng)域遠遠超過了幾何、代數(shù)。中分析領(lǐng)域遠遠超過了幾何、代數(shù)。雖然分析的光芒使雖然分析的光芒使1818世紀綜合幾何黯世紀綜合幾何

2、黯然失色，但分析的方法應(yīng)用卻開拓出然失色，但分析的方法應(yīng)用卻開拓出了一個嶄新的分支了一個嶄新的分支微分幾何。微分幾何。v平面曲線理論平面曲線理論1717世紀基本完成世紀基本完成微分幾何微分幾何惠更斯惠更斯( (荷荷, , 1629-1695)1629-1695)n 1673 1673年年惠更斯惠更斯( (荷荷, 1629-1695), 1629-1695)：漸伸線、漸屈線：漸伸線、漸屈線洛比塔洛比塔( (法法, , 1661-1704)1661-1704) n 1671 1671年和年和16861686年年牛頓牛頓和和萊布尼茨萊布尼茨：曲率、曲率半徑：曲率、曲率半徑n 16911691年和年和

3、16921692年年約翰約翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748) , 1667-1748) ：曲線的包絡(luò)：曲線的包絡(luò)n 16961696年年洛比塔洛比塔( (法法, 1661-1704), 1661-1704)的的無窮小分析無窮小分析完成并傳播了完成并傳播了平面曲線理論平面曲線理論v1818世紀的空間曲線、曲面理論世紀的空間曲線、曲面理論微分幾何微分幾何克萊羅克萊羅( (法法, 1713-1765), 1713-1765)n 1697 1697年年約翰約翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)提出的測地線問題提出的測地線問題n 17311731年年

4、克萊羅克萊羅( (法法, 1713-1765), 1713-1765)關(guān)于雙重曲率曲線的研究關(guān)于雙重曲率曲線的研究：弧長、曲率弧長、曲率微分幾何微分幾何n 1760 1760年年歐拉歐拉( (瑞瑞, 1707-1783) , 1707-1783) 關(guān)于曲面上曲線的研究關(guān)于曲面上曲線的研究：曲率、：曲率、繞率，建立了曲面理論繞率，建立了曲面理論 蒙日蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818) n17711771年年歐拉歐拉關(guān)于可展曲面，關(guān)于可展曲面，17711771和和17751775年蒙日年蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818)關(guān)關(guān)于可展曲面與直紋面

5、于可展曲面與直紋面n 17951795年年蒙日蒙日( (法法, 1746-1818) , 1746-1818) 關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文借助微分方程對曲面族、可展曲面、直紋面做深入研究借助微分方程對曲面族、可展曲面、直紋面做深入研究l 蒙日蒙日: 1792: 1792年任法蘭西共和國海軍部部長年任法蘭西共和國海軍部部長, , 簽署了簽署了處決路易十六的報告書處決路易十六的報告書, 1800, 1800年任元老院議長年任元老院議長, 1808, 1808年封爵年封爵, , 波旁王朝復(fù)辟后被革職波旁王朝復(fù)辟后被革職l 17941794年組建巴黎綜合工科學校年組建巴黎

6、綜合工科學校 , 1795, 1795年設(shè)立巴黎年設(shè)立巴黎高等師范學校高等師范學校l 培養(yǎng)一批優(yōu)秀學生培養(yǎng)一批優(yōu)秀學生: : 泊松、劉維爾、傅里葉、柯西泊松、劉維爾、傅里葉、柯西歐幾里得幾何歐幾里得幾何歐氏幾何及其平行公設(shè)歐氏幾何及其平行公設(shè)公設(shè)一：過不同兩點可連一直線公設(shè)一：過不同兩點可連一直線公設(shè)二：直線可無限地延長公設(shè)二：直線可無限地延長公設(shè)三：以任意一點為中心和任一線段公設(shè)三：以任意一點為中心和任一線段之長為半徑可作一圓之長為半徑可作一圓公設(shè)四：所有直角均相等公設(shè)四：所有直角均相等公設(shè)五：一平面上兩條直線被另一直線公設(shè)五：一平面上兩條直線被另一直線所截，若截線一側(cè)的兩內(nèi)角和小于兩個所截

7、，若截線一側(cè)的兩內(nèi)角和小于兩個直角，則此二直線必在這一側(cè)相交直角，則此二直線必在這一側(cè)相交平行公理的研究平行公理的研究( (公元前公元前3 3世紀至世紀至18001800年年) )10.1 10.1 關(guān)于第五公設(shè)的思考關(guān)于第五公設(shè)的思考 歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本共共48條命題，只有證明第條命題，只有證明第29條命題時唯條命題時唯一應(yīng)用了第五公設(shè)一應(yīng)用了第五公設(shè)從歐幾里得本人開始，歐氏幾何第五公設(shè)從歐幾里得本人開始，歐氏幾何第五公設(shè)(平平行公設(shè)行公設(shè))就一直是數(shù)學家的一塊心病，它完全就一直是數(shù)學家的一塊心病，它完全不能滿足人們的審美要求這條公設(shè)冗長，一不能滿足人們的審美要求這條公設(shè)冗長，

8、一點也不直觀，與具有簡單性、簡明性的美妙的點也不直觀，與具有簡單性、簡明性的美妙的歐氏幾何太不相稱了于是，許多數(shù)學家力圖歐氏幾何太不相稱了于是，許多數(shù)學家力圖由其他公理、公設(shè)中推出平行公設(shè)，但誰也沒由其他公理、公設(shè)中推出平行公設(shè)，但誰也沒有成功有成功 第一個給出第五公設(shè)證明的是第一個給出第五公設(shè)證明的是2世紀的古希臘世紀的古希臘數(shù)學家數(shù)學家托勒密托勒密，他依賴如下假設(shè)：，他依賴如下假設(shè)：“過已知直線外一點可且僅可作一條直線與已過已知直線外一點可且僅可作一條直線與已知直線平行知直線平行.”（普萊菲爾公設(shè)普萊菲爾公設(shè)， 1795年以后年以后的的幾何原本幾何原本版本版本）中世紀的阿拉伯數(shù)學家海雅姆和

9、納西爾丁等也中世紀的阿拉伯數(shù)學家海雅姆和納西爾丁等也曾嘗試過對第五公設(shè)的證明曾嘗試過對第五公設(shè)的證明10.1 10.1 關(guān)于第五公設(shè)的思考關(guān)于第五公設(shè)的思考普萊菲爾普萊菲爾J. PlayfairJ. Playfair，( (蘇格蘭蘇格蘭, 1748-1819), 1748-1819)A+B+C=2勒讓德勒讓德(法, 1752-1833)n 勒讓德勒讓德(法, 1752-1833) 幾何學原理：關(guān)于三角形的三個內(nèi)角和的定理應(yīng)該認為是那些基本真理之一。這些真理是不容爭論的，它們是數(shù)學永恒真理的不朽的例子。(1832) 直到直到1818世紀末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里世紀末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天

10、下。解析幾何改變了幾何研究的方得一統(tǒng)天下。解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身法，但沒有從實質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身的內(nèi)容。解析方法的運用雖然在相當長的時的內(nèi)容。解析方法的運用雖然在相當長的時間內(nèi)沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾間內(nèi)沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學嚴格性的典范始終保持著里得幾何作為數(shù)學嚴格性的典范始終保持著神圣的地位。神圣的地位。 歐幾里得平行公設(shè)歐幾里得平行公設(shè) ？“幾何原理中的家丑幾何原理中的家丑” 達朗貝爾達朗貝爾n 1733年薩凱里薩凱里(意, 1667-1733)歐幾里得無懈可擊v1919世紀以前依然進行了一些有價值的工

11、作，他們中有世紀以前依然進行了一些有價值的工作，他們中有普羅普羅克洛斯克洛斯(Proclus(Proclus，約公元，約公元412485412485年，雅典柏拉圖學園晚年，雅典柏拉圖學園晚期的導(dǎo)師，在期的導(dǎo)師，在450450年左右給歐幾里得原本卷年左右給歐幾里得原本卷1 1作注作注) )、薩薩凱里凱里( (意，意， SaccheriSaccheri，16671733)16671733)、克呂格爾克呂格爾( (德德, , KlgelKlgel，1739-1812) 1739-1812) 、蘭伯特蘭伯特（德，（德，Lambert,1728Lambert,172817771777） 、普萊菲爾普萊菲

12、爾( (蘇格蘭，蘇格蘭，PlayfairPlayfair，17481819) 17481819) 、勒讓德勒讓德( (法法, 1752-1833) , 1752-1833) 、施魏卡特施魏卡特（普魯士，（普魯士，SchwcikartSchwcikart，1780-19591780-1959）和）和托里努斯托里努斯（普魯士，（普魯士，TaurinusTaurinus，1794-18741794-1874）等等）等等 v代表人物：代表人物：薩凱里、蘭伯特薩凱里、蘭伯特1733年，年，薩凱里薩凱里（意大利，（意大利，Saccheri，16671733）：歐幾里）：歐幾里得無懈可擊得無懈可擊薩凱里四邊

13、形薩凱里四邊形銳角？直角？鈍角？銳角？直角？鈍角？鈍角時很快引出矛盾。但鈍角時很快引出矛盾。但當銳角時，卻得出了許多有當銳角時，卻得出了許多有趣的推論：趣的推論：三角形內(nèi)角之和小于兩直角；過給定直線三角形內(nèi)角之和小于兩直角；過給定直線外一給定點，有無窮多條直線不與該給定直線相交；外一給定點，有無窮多條直線不與該給定直線相交；在平面上存在兩條直線，它們在一個方向無限地互相在平面上存在兩條直線，它們在一個方向無限地互相接近，而在其相反的方向上無限地分開，這樣，這兩接近，而在其相反的方向上無限地分開，這樣，這兩條直線將在無限遠點有共同的垂線；等等條直線將在無限遠點有共同的垂線；等等 薩凱里的工作薩凱

14、里的工作v薩凱里薩凱里認為“結(jié)論不合情理”，從而得到矛盾。因此，他認為他已經(jīng)證明了第五公設(shè)。v薩凱里薩凱里的錯誤在于把有限圖形有限圖形的性質(zhì)擴大到無限圖形無限圖形，以為在有限遠處有限遠處不成立的東西在無限遠處無限遠處也不成立。v薩凱里薩凱里所發(fā)現(xiàn)的矛盾只是同常識、經(jīng)驗、情理矛盾，即同歐幾里得幾何中的相應(yīng)命題矛盾，而不是反證法所需要的邏輯矛盾v薩凱里薩凱里由于過于崇尚第五公設(shè)的絕對正確，以至于走到偉大發(fā)現(xiàn)的門前而卻步克呂格爾的工作克呂格爾的工作v17631763年年, , 克呂格爾克呂格爾 在其博士論文中指出：在其博士論文中指出：(1)(1)公理的實質(zhì)在于經(jīng)驗，而并非不證自明，人公理的實質(zhì)在于經(jīng)

15、驗，而并非不證自明，人們之所以接受歐氏平行公設(shè)的真理是基于人們之所以接受歐氏平行公設(shè)的真理是基于人們對空間觀念的經(jīng)驗；們對空間觀念的經(jīng)驗；(2)(2)歐氏平行公設(shè)的歐氏平行公設(shè)的可證明性值得懷疑，薩凱里并沒有得出矛盾，可證明性值得懷疑，薩凱里并沒有得出矛盾，他只得到似乎異于經(jīng)驗的結(jié)果。他只得到似乎異于經(jīng)驗的結(jié)果。v克呂格爾克呂格爾( (德德, Klgel, Klgel，1739-1812) 1739-1812) 是是第一個對第一個對“平行公設(shè)能由其他公設(shè)推平行公設(shè)能由其他公設(shè)推出出”表示懷疑的數(shù)學家。表示懷疑的數(shù)學家。蘭伯特的工作蘭伯特的工作v蘭伯特蘭伯特（德，（德，Lambert,17281

16、777Lambert,17281777）v受受克呂格爾克呂格爾的見解啟發(fā)對的見解啟發(fā)對平行公設(shè)進行了更加深入平行公設(shè)進行了更加深入的探討。的探討。v認識到一組假設(shè)如果不引認識到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何。種可能的幾何。蘭伯特蘭伯特（德，（德，17281777）1766年，年，蘭伯特蘭伯特:平行線理論平行線理論蘭伯特四邊形蘭伯特四邊形銳角？直角？鈍角？銳角？直角？鈍角？鈍角假設(shè)很快引出矛盾，發(fā)現(xiàn)結(jié)論恰好與球面上圖形的相鈍角假設(shè)很快引出矛盾，發(fā)現(xiàn)結(jié)論恰好與球面上圖形的相應(yīng)性質(zhì)一樣，由此猜想由銳角假設(shè)得出的定理可以于虛半應(yīng)性質(zhì)一樣，由此猜想由銳角假設(shè)得出

17、的定理可以于虛半球面的圖形球面的圖形蘭伯特蘭伯特并不認為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認識并不認為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認識到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何何蘭伯特蘭伯特實際上為非歐幾何的誕生奠定了基礎(chǔ)，但他缺乏理實際上為非歐幾何的誕生奠定了基礎(chǔ)，但他缺乏理論勇氣，在即將打開非歐幾何大門時退卻了論勇氣，在即將打開非歐幾何大門時退卻了v施魏卡特施魏卡特（普魯士，（普魯士，SchwcikartSchwcikart，1780-19591780-1959）1816年寫了一份備忘錄，認為應(yīng)該承認存在年寫了一份備忘錄，認為應(yīng)

18、該承認存在著兩類幾何：歐氏幾何與假設(shè)三角形內(nèi)角之著兩類幾何：歐氏幾何與假設(shè)三角形內(nèi)角之和不足兩直角的幾何（他稱其為星空幾何）和不足兩直角的幾何（他稱其為星空幾何）v在在施魏卡特施魏卡特的指導(dǎo)下，外甥的指導(dǎo)下，外甥托里努斯托里努斯（TaurinusTaurinus，1794-18741794-1874）繼續(xù)研究星空幾何，繼續(xù)研究星空幾何，得到只有歐氏幾何對物質(zhì)空間是正確的，而得到只有歐氏幾何對物質(zhì)空間是正確的，而星空幾何只是邏輯上相容星空幾何只是邏輯上相容v施魏卡特施魏卡特和和托里努斯托里努斯都踏進了非歐幾何的大都踏進了非歐幾何的大門，但由于他們不能對這種幾何的廣闊前景門，但由于他們不能對這種幾

19、何的廣闊前景和現(xiàn)實應(yīng)用作出合理的聯(lián)想，在無人支持的和現(xiàn)實應(yīng)用作出合理的聯(lián)想，在無人支持的困境中，放棄了對星空幾何的研究，最終半困境中，放棄了對星空幾何的研究，最終半途而廢途而廢10.2 10.2 高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作v非歐幾何的誕生，有待于富有高度科學非歐幾何的誕生，有待于富有高度科學想象力的數(shù)學家為它邁出決定性的下一想象力的數(shù)學家為它邁出決定性的下一步步. v而決定性的一步，應(yīng)歸功于而決定性的一步，應(yīng)歸功于高斯高斯、波爾波爾約約和和羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基三人三人()n 1813年高斯(德, 1777-1855)：非歐幾里得幾何n 1832年J波爾

20、約(匈, 1802-1860)絕對空間的科學n 1826年羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)簡要論述平行線定理的一個嚴格證明10.2 10.2 高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的工作v高斯高斯（C.F.Gauss,1777-1855），德國數(shù)學家、物理），德國數(shù)學家、物理學家和天文學家學家和天文學家 v出生于德國布倫茲維克的一個貧苦家庭。出生于德國布倫茲維克的一個貧苦家庭。 在成長過程中，幼年的高斯主要依靠母在成長過程中，幼年的高斯主要依靠母親羅捷雅和舅舅弗利德里希親羅捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich） v羅捷雅希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，羅捷雅希望

21、兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對高斯的才華極為珍視。對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養(yǎng)家糊當時尚不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學研究中口的數(shù)學研究中v7歲上學。1787年高斯高斯10歲數(shù)學，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學教師是數(shù)學教師是布特納布特納（Buttner）v據(jù)對據(jù)對高斯高斯素有研究的著名數(shù)學史家素有研究的著名數(shù)學史家貝爾貝爾（T.Bell）考證，）考證，布特納布特納當時給孩子們出的是當時給孩子們出的是一道更難的加法題：一道更難的加法題： 81297+81495+81693+100899 v布特納布特納“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西你已經(jīng)超過了我，我沒有

22、什么東西可以教你了?？梢越棠懔?。”高斯與布特納的助手巴特爾巴特爾斯斯(J.M.Bartels)建立了真誠的友誼，一起學習，互相幫助，由此開始了真正的數(shù)學研究 v1788年，年，11歲的歲的高斯高斯進入了文科學校，功課進入了文科學校，功課都極好，古典文學、數(shù)學尤為突出都極好，古典文學、數(shù)學尤為突出v經(jīng)過經(jīng)過巴特爾斯巴特爾斯等人的引薦，等人的引薦，布倫茲維克公爵布倫茲維克公爵召見了召見了14歲的歲的高斯高斯，提出作，提出作高斯高斯的資助人的資助人 v1792年，年，高斯高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續(xù)學習繼續(xù)學習v1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入年，公爵又為他

23、支付各種費用，送他入德國著名的哥廷根大學德國著名的哥廷根大學v1799年完成了博士論文，獲得講師職位，但年完成了博士論文，獲得講師職位，但未能成功地吸引學生，不得不回到老家未能成功地吸引學生，不得不回到老家，又，又是公爵伸手救援他，送給他一幢公寓，負擔是公爵伸手救援他，送給他一幢公寓，負擔了了高斯高斯的所有生活費用的所有生活費用 。v高斯高斯十分感動，他在博士論文和十分感動，他在博士論文和算術(shù)研究算術(shù)研究中，寫下了情真意切的獻詞：中，寫下了情真意切的獻詞：“獻給大公獻給大公”，“你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究使我能從事這種獨特的

24、研究”。v 1806年，年，布倫茲維克公爵布倫茲維克公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。長時間對法國人有一種深深的敵意。v這一切使得這一切使得高斯高斯有些心灰意冷，從不向他人透露自有些心灰意冷，從不向他人透露自己的窘?jīng)r。己的窘?jīng)r。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數(shù)學手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手搞中，突然插入了一段細微的鉛筆字：對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。 v由于由于高斯高斯在天文學、數(shù)學方面

25、的杰出工作，他的名在天文學、數(shù)學方面的杰出工作，他的名聲從聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年歐拉歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著象高斯高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國v為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者學者洪堡洪堡（B.A.Von Humboldt）聯(lián)合其他）聯(lián)合其他學者和政界人物，為學者和政界人物，為高斯高斯爭取到了享有特權(quán)爭取到了享有特權(quán)的哥廷根大學數(shù)學和天文學教授，以及哥廷的哥廷根大學數(shù)學和天文學教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位根天文臺臺長的職位v1807

26、年，年，高斯高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。赴哥廷根就職，全家遷居于此。除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥廷根。舒適的生活環(huán)境，直住在哥廷根。舒適的生活環(huán)境，高斯高斯本人本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學學可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學學派的創(chuàng)立、德國成為世界科學中心和數(shù)學中派的創(chuàng)立、德國成為世界科學中心和數(shù)學中心創(chuàng)造了條件心創(chuàng)造了條件 v高斯高斯有有“數(shù)學王子數(shù)學王子”、“數(shù)學家之王數(shù)學家之王”的美稱、被認為是人類有史以來的美稱、被認為是人類有史以來“最偉最偉大的四位數(shù)學家之一大的四位數(shù)學家之一”（阿基米德、牛（阿基米德、牛頓、歐

27、拉和高斯）頓、歐拉和高斯）。人們還稱贊高斯是人們還稱贊高斯是“人類的驕傲，人類的驕傲，許多世界著名的科學泰許多世界著名的科學泰斗都把高斯當作自己的老師斗都把高斯當作自己的老師 v把把18世紀的數(shù)學家想象為一系列的高山世紀的數(shù)學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是峰就是高斯高斯；如果把；如果把19世紀的數(shù)學家想世紀的數(shù)學家想象為一條條江河，那么其源頭就是象為一條條江河，那么其源頭就是高斯高斯C. F. Gauss, 1777-1855高斯高斯（Gauss, 1777-1855）在）在15歲時已清楚存在一種歐氏平行公設(shè)歲時已清楚存在一種歐氏

28、平行公設(shè)不成立的邏輯幾何不成立的邏輯幾何. 1799年開始意識到平行公設(shè)不能從年開始意識到平行公設(shè)不能從其他的歐幾里得公理推出來其他的歐幾里得公理推出來1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。他起先稱之為中不成立的新幾何。他起先稱之為“反歐幾里得幾何反歐幾里得幾何”，最后改稱為，最后改稱為“非歐幾里得幾何非歐幾里得幾何”，所以，所以“非歐非歐幾何幾何”這個名稱正是來自高斯。這個名稱正是來自高斯。一向謹小慎微，不敢發(fā)表離經(jīng)叛道一向謹小慎微，不敢發(fā)表離經(jīng)叛道的、但被他認為是正確的學說的、但被他認為是正確的學說v1824年年高斯高斯回答回答托里努斯托里努斯的信中

29、說：的信中說：“三角形內(nèi)角三角形內(nèi)角和小于兩直角，這個假設(shè)引導(dǎo)到特殊的與我們的幾和小于兩直角，這個假設(shè)引導(dǎo)到特殊的與我們的幾何完全不同的幾何，這個幾何完全是一貫的，并且何完全不同的幾何，這個幾何完全是一貫的，并且我發(fā)現(xiàn)它本身完全令人滿意我發(fā)現(xiàn)它本身完全令人滿意.”v高斯高斯不僅深信新幾何在邏輯上的相容性，而且還確不僅深信新幾何在邏輯上的相容性，而且還確認它具有可應(yīng)用性（實際測量三個山峰構(gòu)成的三角認它具有可應(yīng)用性（實際測量三個山峰構(gòu)成的三角形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和多了形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和多了15）. 可惜他并沒有發(fā)表這可惜他并沒有發(fā)表這一開創(chuàng)性的見解，主要原因有二：一開創(chuàng)性的見解，主要原因有二：v其一，其一，“

30、怕黃蜂圍繞耳朵亂飛怕黃蜂圍繞耳朵亂飛”，怕惹麻煩，受人，怕惹麻煩，受人嘲笑；嘲笑；v其二，過于謹慎，其二，過于謹慎，“問題在思想上沒有弄清之前決問題在思想上沒有弄清之前決不動筆不動筆”，只有無懈可擊時才肯發(fā)表，只有無懈可擊時才肯發(fā)表v當知道兒子當知道兒子約翰約翰.波爾約波爾約對第五公設(shè)對第五公設(shè)問題著了迷，趕緊寫信勸阻問題著了迷，趕緊寫信勸阻：“希希望你放棄這個問題望你放棄這個問題.對這樣一個問題對這樣一個問題的害怕應(yīng)該更多于感情上的迷戀，的害怕應(yīng)該更多于感情上的迷戀，它會剝奪你生活中的一切：時間、它會剝奪你生活中的一切：時間、健康、休息和幸福健康、休息和幸福.”W. Bolyai，1775-

31、1856v高斯高斯的大學同學、匈牙利人的大學同學、匈牙利人W.波爾約波爾約（W. Bolyai，1775-1856 ），曾經(jīng)從事第五公設(shè)），曾經(jīng)從事第五公設(shè)的證明，對此沒作出成就，自認浪費了時間的證明，對此沒作出成就，自認浪費了時間n 18201820年年WW波爾約波爾約: : “我經(jīng)過了這個長我經(jīng)過了這個長夜的渺無希望的黑暗夜的渺無希望的黑暗, , 在這里埋沒了我一在這里埋沒了我一生的一切亮光和一切快樂生的一切亮光和一切快樂,或許這個或許這個無底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔無底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔般的牛頓般的牛頓, , 而使大地永無光明。而使大地永無光明?！眝1823年年11月月

32、23日，日， W.波爾約波爾約接到兒子接到兒子約翰約翰的來信：的來信：“我已從烏有中創(chuàng)造了整個世界我已從烏有中創(chuàng)造了整個世界.”v1832年年W.波爾約波爾約把兒子的論文把兒子的論文關(guān)于一個與歐幾里關(guān)于一個與歐幾里得平行公設(shè)無關(guān)空間的絕對真實性的學說得平行公設(shè)無關(guān)空間的絕對真實性的學說，做為，做為自己幾何著作的附錄出版，并請自己幾何著作的附錄出版，并請高斯高斯評價評價v高斯高斯回信說：回信說：“.稱贊他等于稱贊我自己稱贊他等于稱贊我自己.你兒子你兒子所采用的方法和他所達到的結(jié)果幾乎全部和我在所采用的方法和他所達到的結(jié)果幾乎全部和我在30年前已開始的個人深思相符合。年前已開始的個人深思相符合。.

33、我自己的著作，我自己的著作，雖然寫好的僅是一小部分，我本來永遠不愿意發(fā)雖然寫好的僅是一小部分，我本來永遠不愿意發(fā)表，表，.現(xiàn)在有了老友的兒子能夠把它寫下來，免現(xiàn)在有了老友的兒子能夠把它寫下來，免得它與我一同湮沒，那是我最高興的了得它與我一同湮沒，那是我最高興的了.”J. Bolyai，匈牙利匈牙利1802-1860 高斯高斯的回信使的回信使約翰約翰.波爾約波爾約感到感到沮喪，他不相信有人在他之前沮喪，他不相信有人在他之前已做了同樣的工作，并認為高已做了同樣的工作，并認為高斯剽竊了自己的成果斯剽竊了自己的成果. 當他第當他第一次看到羅巴切夫斯基一次看到羅巴切夫斯基1835年年的著作時，也以為那是

34、抄自他的著作時，也以為那是抄自他1832年出版的附錄年出版的附錄這一切都使年輕氣盛的數(shù)學天這一切都使年輕氣盛的數(shù)學天才才約翰約翰.波爾約波爾約對整個數(shù)學界非對整個數(shù)學界非常失望，因此而拋棄了自己心常失望，因此而拋棄了自己心愛的數(shù)學研究，轉(zhuǎn)而研究神學愛的數(shù)學研究，轉(zhuǎn)而研究神學去了去了波爾約波爾約(羅馬尼亞, 1960)波爾約父子之墓波爾約父子之墓羅巴切夫斯基的貢獻羅巴切夫斯基的貢獻l羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基( (俄俄, 1792-1856), 1792-1856)，喀山，喀山大學教授、校長大學教授、校長l18151815年著手研究平行線理論，試圖年著手研究平行線理論，試圖給出平行公設(shè)的證明給出平

35、行公設(shè)的證明l18231823年冷靜地把年冷靜地把“怪胎怪胎”看成世人看成世人罕見的罕見的“奇異果實奇異果實”l18551855年以口述方式（雙目失明）寫年以口述方式（雙目失明）寫下遺著下遺著泛幾何學泛幾何學，給了全新說明，給了全新說明l直至羅巴切夫斯基去世的直至羅巴切夫斯基去世的3030年內(nèi)，沒年內(nèi)，沒能贏得社會的承認和贊美能贏得社會的承認和贊美羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基（俄國）Nikolai Lobachevski （1792-1856） 1829年發(fā)表了題為年發(fā)表了題為幾何學原幾何學原理理的論文，這是歷史上第一的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻，篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻，但由于

36、是用俄文刊登在但由于是用俄文刊登在喀山喀山通報通報雜志上而未引起數(shù)學界雜志上而未引起數(shù)學界的注意。的注意。 1826年年2月月12日在喀山大學發(fā)日在喀山大學發(fā)表了表了關(guān)于幾何原本的扼要敘關(guān)于幾何原本的扼要敘述及平行線定理的一個嚴格證述及平行線定理的一個嚴格證明明的演講，報告了自己關(guān)于的演講，報告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)非歐幾何的發(fā)現(xiàn)羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基(蘇聯(lián), 1951)v羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與非歐幾何的基本思想與高斯、波爾約高斯、波爾約是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言：是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言：v 通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩

37、條通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線與已知直線不相交。直線與已知直線不相交。v作為替代第五公設(shè)，由此出發(fā)進行邏輯推導(dǎo)而得出作為替代第五公設(shè)，由此出發(fā)進行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學的定理一連串新幾何學的定理v羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個邏輯上可能的、無矛盾因而它的總體就形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學的理論，這個理論就是一種新的幾何學-非歐幾非歐幾里得幾何學。歐氏幾何在這里僅成了里得幾何學。歐氏幾何在這里僅成了羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基幾何幾何的一個特例的一個特例v沒有

38、找到這種幾何的實際應(yīng)用，所以取名為沒有找到這種幾何的實際應(yīng)用，所以取名為“虛幾虛幾何學何學”或或“想象幾何學想象幾何學”，后又改為，后又改為“泛幾何泛幾何”在冷漠中宣告新幾何誕生在冷漠中宣告新幾何誕生 v1826年年2月月12日，日，羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基在喀山大學學術(shù)會在喀山大學學術(shù)會議上宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文議上宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文幾何幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要學原理及平行線定理嚴格證明的摘要。這篇首創(chuàng)。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。然而，這性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學家的冷一重大成果

39、剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學家的冷漠和反對漠和反對v說的全是一些令人莫明其妙的話說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內(nèi)諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等等等v離奇古怪、離經(jīng)叛道、異端邪說離奇古怪、離經(jīng)叛道、異端邪說v疑惑、驚呆疑惑、驚呆 、冷漠、冷漠 v1832年，根據(jù)年，根據(jù)羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基的請求，喀山大的請求，喀山大學學術(shù)委員會把這篇論文呈送彼得堡科學院學學術(shù)委員會把這篇論文呈送彼得堡科學院審評審評v“看來，作者旨

40、在寫出一部使人不能理解的看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達到自己的目的。著作。他達到自己的目的?！?，“由此我得由此我得出結(jié)論，羅巴切夫斯基校長的這部著作謬誤出結(jié)論，羅巴切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學院的注意。連篇，因而不值得科學院的注意。” v“荒唐的笑話荒唐的笑話”，是“對真正數(shù)學家的嘲諷對真正數(shù)學家的嘲諷”權(quán)威的譏諷權(quán)威的譏諷v這篇論文不僅引起了學術(shù)界權(quán)威的惱怒，而且還激起了社會上反動勢力的敵對叫囂，以匿名CC在祖國之子雜志上撰文，公開指名對公開指名對羅巴切夫斯羅巴切夫斯基基進行人身攻擊。進行人身攻擊。v匿名者在題為評羅巴切夫斯基的著作“幾何學原理”一文中寫道

41、：寫道：“甚至難以理解，羅巴切夫斯甚至難以理解，羅巴切夫斯基先生是如何用數(shù)學中最簡明的幾何學，建立起晦基先生是如何用數(shù)學中最簡明的幾何學，建立起晦澀的、不可思議和神秘莫測的學說的。澀的、不可思議和神秘莫測的學說的。”文中嘲弄道：“為什么不能把黑的想象成白的，把圓的想象為什么不能把黑的想象成白的，把圓的想象成方的成方的？”v針對這篇污辱性的匿名文章，針對這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基撰寫了撰寫了反駁文章，但反駁文章，但祖國之子祖國之子雜志卻以維護雜志聲譽雜志卻以維護雜志聲譽為由，一直不予發(fā)表為由，一直不予發(fā)表匿名者的攻擊匿名者的攻擊v祖國之子祖國之子雜志刊登攻擊科學家的匿名文雜志

42、刊登攻擊科學家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原來這家雜志的把持者布爾加林和格列奇同沙皇秘密政治組織“第三廳”有著聯(lián)系，他們靠“第三廳”的資助維持雜志，并且充當幫兇，專門監(jiān)視和打擊先進的思想家和具有革專門監(jiān)視和打擊先進的思想家和具有革命傾向的科學家。命傾向的科學家。v明顯表現(xiàn)有無神論和唯物主義傾向的喀山大明顯表現(xiàn)有無神論和唯物主義傾向的喀山大學校長羅巴切夫斯基，自然要被他們列為危學校長羅巴切夫斯基，自然要被他們列為危險對象加以監(jiān)視險對象加以監(jiān)視。借歪曲、詆毀科學新成果，來壓制、打擊具有進步思想的科學家，是一切保守勢力的慣用伎倆。v羅巴切夫斯基羅巴

43、切夫斯基開創(chuàng)了數(shù)學的一個新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)開創(chuàng)了數(shù)學的一個新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒能得到學術(shù)界的重視和承認造性工作在生前始終沒能得到學術(shù)界的重視和承認v就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學家就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學家布尼雅可夫布尼雅可夫斯基斯基（18041889）還對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試）還對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗認識的不一致性，來否圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗認識的不一致性，來否定非歐幾何的真實性定非歐幾何的真實性v英國著名數(shù)學家英國著名數(shù)學家莫爾甘莫爾甘（Morgan，18061871）對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)

44、得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：說：“我認為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾我認為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何何本質(zhì)上不同的另外一種幾何?！眝莫爾甘莫爾甘的話代表了當時學術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)的話代表了當時學術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)度度 在孤境中奮斗終生在孤境中奮斗終生v晚年的晚年的羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學術(shù)心情更加沉重，他不僅在學術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制上受到壓制，而且在工作上還受到限制v1846年人民教育部免去了他在喀山大學的所有職務(wù)。年人民教育部

45、免去了他在喀山大學的所有職務(wù)。被迫離開終生熱愛的大學工作，使羅巴切夫斯基在被迫離開終生熱愛的大學工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴重打擊精神上遭到嚴重打擊v臨去世的前一年，在身患重病，臥床不起，雙目失臨去世的前一年，在身患重病，臥床不起，雙目失明的困境下，口授他的學生完成最后一部巨著明的困境下，口授他的學生完成最后一部巨著泛泛幾何學幾何學v1856年年2月月12日，偉大的學者日，偉大的學者羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基在苦悶在苦悶和抑郁中離開了人世?？ι酱髮W師生為他舉行了隆和抑郁中離開了人世?？ι酱髮W師生為他舉行了隆重的追悼會。在追悼會上，他的許多同事和學生高重的追悼會。在追悼會上，他的許多同事和學

46、生高度贊揚他在建設(shè)喀山大學、提高民族教育水平和培度贊揚他在建設(shè)喀山大學、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的養(yǎng)數(shù)學人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因為此時，人們還普遍認為非非歐幾何研究工作，因為此時，人們還普遍認為非歐幾何純屬歐幾何純屬“無稽之談無稽之談”。v羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，從未動搖過，堅信終會有一天多年，從未動搖過，堅信終會有一天“可以像別的可以像別的物理規(guī)律一樣用實驗的方法來檢驗物理規(guī)律一樣用實驗的方法來檢驗”v在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，在創(chuàng)立和發(fā)展非歐

47、幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯羅巴切夫斯基基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者另一位發(fā)現(xiàn)者高斯高斯也不肯公開支持他也不肯公開支持他v高斯高斯憑借在數(shù)學界的聲望和影響，完全有可能減少憑借在數(shù)學界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進學術(shù)界對非歐幾何的承羅巴切夫斯基的壓力，促進學術(shù)界對非歐幾何的承認。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了勇氣認。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了勇氣v高斯高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴重限制了他在非歐的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴重限制了他在非歐幾何研究上所能達到的高度，而且客觀上助長了保幾何研究上

48、所能達到的高度，而且客觀上助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊 v高斯高斯看到看到羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作的德文非歐幾何著作平行平行線理論的幾何研究線理論的幾何研究后，內(nèi)心是矛盾的后，內(nèi)心是矛盾的v高斯高斯私下在朋友面前高度稱贊私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基是是“俄俄國最卓越的數(shù)學家之一國最卓越的數(shù)學家之一”，并下決心學習俄語，以，并下決心學習俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作v高斯高斯卻又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)卻又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)研究，也從不以任何

49、形式對研究，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基的非歐幾的非歐幾何研究加以公開評論何研究加以公開評論v高斯高斯積極推選積極推選羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學院通為哥廷根皇家科學院通訊院士，可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯訊院士，可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，基的推選通知書中，對羅巴切夫斯基在數(shù)學上的最對羅巴切夫斯基在數(shù)學上的最卓越貢獻卓越貢獻創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談 v歷史是最公允的，因為它終將會對各種思想、觀點歷史是最公允的，因為它終將會對各種思想、觀點和見解作出正確的評價。和見解作出正確的評價。1868年，意大利數(shù)學家年，意大

50、利數(shù)學家倍倍爾特拉米爾特拉米（Beltrami，18351899）發(fā)表了一篇著）發(fā)表了一篇著名論文名論文非歐幾何解釋的嘗試非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)v這就是說，這就是說，非歐幾何命題可以非歐幾何命題可以“翻譯翻譯”成相應(yīng)的歐成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。人們既然承認歐幾里是歐幾何也就自然沒有矛盾。人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾

51、何沒有矛盾了了v直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術(shù)界的普遍注意和深入研究，術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術(shù)界的高度評價和一致贊美，性研究也就由此得到學術(shù)界的高度評價和一致贊美，他本人則被譽為他本人則被譽為“幾何學中的哥白尼幾何學中的哥白尼”v通常所說的非歐幾何學，主要指雙曲幾何學通常所說的非歐幾何學，主要指雙曲幾何學和橢圓幾何學和橢圓幾何學v雙曲幾何學是用雙曲平行公理：雙曲幾何學是用雙曲平行公理：“過直線過直線a外外一點一點A，至少有兩條直線與，至少有兩條直線與a不相交不相交.”代替歐代

52、替歐氏的第五公設(shè)，就可以得到雙曲幾何的一批氏的第五公設(shè)，就可以得到雙曲幾何的一批結(jié)論（雙曲平行公理的等價命題）：結(jié)論（雙曲平行公理的等價命題）：()10.3 非歐幾何學非歐幾何學v1、在平面內(nèi)，對于一條直線，存在不相交的垂線、在平面內(nèi)，對于一條直線，存在不相交的垂線和斜線和斜線v2、存在一個三角形，它沒有外接圓、存在一個三角形，它沒有外接圓v3、存在一個三角形，它的三條高不相交、存在一個三角形，它的三條高不相交v4、三角形的內(nèi)角和小于兩直角、三角形的內(nèi)角和小于兩直角v5、三角形的內(nèi)角和不是常數(shù)、三角形的內(nèi)角和不是常數(shù)v6、不存在矩形、不存在矩形v7、平面上不在書籍直線上且與此直線等距離的三、平

53、面上不在書籍直線上且與此直線等距離的三個點，不在同一直線上個點，不在同一直線上v8、在同一平面上的任何兩條直線，一條直線上的、在同一平面上的任何兩條直線，一條直線上的點到另一條直線上的距離是無界的點到另一條直線上的距離是無界的v9、如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三、如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等（所以不存在相似形）角形全等（所以不存在相似形）l模型與相容性模型與相容性l 1868年倍爾特拉米倍爾特拉米(意, Beltrami，1835-1899)曳物線曳物線擬球面擬球面擬球面擬球面由平面曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周而得由平面曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周而得倍爾特拉米倍爾特拉米

54、的模型：的模型： “ “擬球面擬球面”羅巴切夫斯基平面片上的羅巴切夫斯基平面片上的所有幾何關(guān)系與適當?shù)乃袔缀侮P(guān)系與適當?shù)摹皵M球面擬球面”片上的幾何關(guān)片上的幾何關(guān)系相符合。這使羅巴切夫系相符合。這使羅巴切夫斯基幾何立刻就有了現(xiàn)實斯基幾何立刻就有了現(xiàn)實意義意義缺點：具有片面性。還沒缺點：具有片面性。還沒有解決全部羅巴切夫斯基有解決全部羅巴切夫斯基幾何的無矛盾性問題幾何的無矛盾性問題克萊因克萊因的幾何模型：在普通歐幾的幾何模型：在普通歐幾里得平面上取一個圓，并且只考里得平面上取一個圓，并且只考慮整個圓的內(nèi)部。他約定把圓的慮整個圓的內(nèi)部。他約定把圓的內(nèi)部叫內(nèi)部叫“平面平面”，圓的弦叫，圓的弦叫“直直

55、線線”（端點除外，生成的（端點除外，生成的射影平射影平面面）這種圓內(nèi)部的普通幾何事實就變這種圓內(nèi)部的普通幾何事實就變成羅巴切夫斯基幾何的定理，而成羅巴切夫斯基幾何的定理，而且反過來，羅巴切夫斯基幾何中且反過來，羅巴切夫斯基幾何中的每個定理都可以解釋成圓內(nèi)部的每個定理都可以解釋成圓內(nèi)部的普通幾何事實。的普通幾何事實?？巳R因圓克萊因圓l 1870 1870年年克萊因克萊因( (德德, 1849-1925), 1849-1925)l在射影空間中實現(xiàn)了雙曲幾何的公理系統(tǒng)在射影空間中實現(xiàn)了雙曲幾何的公理系統(tǒng)v龐加萊龐加萊也對羅巴切夫斯基幾何給也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐幾里得模型。這就使出了一個歐幾

56、里得模型。這就使非歐幾何具有了至少與歐幾里得非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實性。因為我們可幾何同等的真實性。因為我們可以設(shè)想，如果羅巴切夫斯基幾何以設(shè)想，如果羅巴切夫斯基幾何中存在任何矛盾的話，那么這種中存在任何矛盾的話，那么這種矛盾也必然會在歐幾里得幾何中矛盾也必然會在歐幾里得幾何中表現(xiàn)出來，也就是說，只要歐幾表現(xiàn)出來，也就是說，只要歐幾里得幾何沒有矛盾，那么羅巴切里得幾何沒有矛盾，那么羅巴切夫斯基幾何也不會有矛盾。夫斯基幾何也不會有矛盾。v至此，解決了雙曲幾何的公理的至此，解決了雙曲幾何的公理的相容性。非歐幾何作為一種幾何相容性。非歐幾何作為一種幾何的合法地位才充分建立起來。的合

57、法地位才充分建立起來。l 1882 1882年年龐加萊龐加萊( (法法, 1854-1912), 1854-1912)l在歐氏空間是實現(xiàn)了雙曲幾何在歐氏空間是實現(xiàn)了雙曲幾何龐加萊龐加萊法法, Poincare，1854-1912 1854年，年，黎曼黎曼發(fā)表論文發(fā)表論文關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè) B. Riemann, 1826-1866 發(fā)展了羅巴切夫斯基發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，并建立了一等人的思想，并建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。羅巴切所稱的黎曼幾何。羅巴切夫斯基幾何以及歐幾里得夫斯基幾何以及歐幾里得幾何都只不過是這種幾何幾何都只不過是

58、這種幾何的特例。的特例。黎曼黎曼的研究是以高斯關(guān)于的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊微分幾何為基曲面的內(nèi)蘊微分幾何為基礎(chǔ)的。礎(chǔ)的。 10.3 黎曼對非歐幾何的貢獻黎曼對非歐幾何的貢獻 1846 1846年進入哥廷根大學專修語言和神學年進入哥廷根大學專修語言和神學 1847-18481847-1848年到柏林大學年到柏林大學, , 進入數(shù)學領(lǐng)域進入數(shù)學領(lǐng)域 1849-18511849-1851年在哥廷根大學年在哥廷根大學, , 取得博士學位取得博士學位, , 學位論文學位論文“單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)” 18541854年講師職位講演年講師職位講演: : 關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)關(guān)于幾何

59、基礎(chǔ)的假設(shè), 1857, 1857年年副教授副教授, 1859, 1859年教授年教授 18621862年得肺結(jié)核年得肺結(jié)核, 1866, 1866年在意大利逝世年在意大利逝世 18761876年出版年出版黎曼全集黎曼全集( (發(fā)表論文發(fā)表論文1818篇篇, , 遺稿遺稿1212篇篇) ) 偉大的分析學家：復(fù)變函數(shù)論、阿貝爾函數(shù)論、超幾偉大的分析學家：復(fù)變函數(shù)論、阿貝爾函數(shù)論、超幾何級數(shù)與常微分方程、解析數(shù)論、實分析、幾何學、數(shù)何級數(shù)與常微分方程、解析數(shù)論、實分析、幾何學、數(shù)學物理、物理學學物理、物理學黎曼黎曼( (德德, 1826-1866), 1826-1866) “ “ 黎曼是一個富有想

60、象的天才黎曼是一個富有想象的天才, , 他的想法即使沒有證明他的想法即使沒有證明, , 也鼓舞了也鼓舞了整整一個世紀的數(shù)學家整整一個世紀的數(shù)學家.”.”在在黎曼幾何黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，有以下三種的常曲率空間，對于三維空間，有以下三種情形：曲率為正常數(shù)；曲率為負常數(shù)；曲率情形：曲率為正常數(shù)；曲率為負常數(shù)；曲率恒等于零。恒等于零。黎曼黎曼指出后兩種情形分別對應(yīng)于指出后兩種情形分別對應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學和通常的歐幾里羅巴切夫斯基的非歐幾何學和通常的歐幾里得幾何學，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)得幾何學，而第一種情形則是黎曼