理論力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、僅供個(gè)人參考第一篇靜力學(xué)第 1 章靜力學(xué)公理與物體的受力分析1.1靜力學(xué)公理公理 1二力平衡公理：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。F=-F工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件或二力桿。公理 2 加減平衡力系公理 ：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改變?cè)ο祵?duì)剛體的效應(yīng)。推論 力的可傳遞性原理 ：作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用。公理 3 力的平行四邊形法則 ：作用于物體上某點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，也作用于同一點(diǎn)上，其大小和方向可由這兩個(gè)力所組成的平行四

2、邊形的對(duì)角線來(lái)表示。推論 三力平衡匯交定理 ：作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力， 若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。公理 4 作用與反作用定律 ：兩物體間相互作用的力總是同時(shí)存在，且其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個(gè)物體上。公理 5 鋼化原理 ：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。對(duì)處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來(lái)研究。1.2約束及其約束力柔性體約束光滑接觸面約束光滑鉸鏈約束第 2 章平面匯交力系與平面力偶系1.平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力,合力的作用線通過(guò)各力作用線的匯交點(diǎn),其大小和

3、方向可由失多邊形的封閉邊來(lái)表示,即等于個(gè)力失的矢量和,即 FR=F1+F2+.+Fn= F2. 矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數(shù)和。3. 力對(duì)剛體的作用效應(yīng)分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力失來(lái)度量；力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來(lái)度量，即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量。（ Mo （ F） =± Fh）4. 把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系稱為力偶，記為（ F,F）。例 2-8如圖 2.-17（a）所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB 上作用一力偶，其力偶矩為 500kN?m

4、，求 A 、 C 兩點(diǎn)的約束力。解構(gòu)件 BC 只在 B、C 兩點(diǎn)受力， 處于平衡狀態(tài)， 因此 BC 是二力桿， 其受力如圖2-17（ b）所示。由于構(gòu)件AB 上有矩為 M 的力偶，故構(gòu)件AB 在鉸鏈 A 、 B 處的一對(duì)作用力FA 、 FB構(gòu)成一力偶與矩為M 的力偶平衡（見(jiàn)圖2-17（ c）。由平面力偶系的平衡方程Mi=0 ，得 Fad+M=0則有FA=FB N=471.40N不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考由于 FA 、FB為正值，可知二力的實(shí)際方向正為圖2-17（ c）所示的方向。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知FC=FB =471.40N ，方向如圖2-17（ b）所示。第 3 章 平面任意

5、力系1 合力矩定理：若平面任意力系可合成為一合力。則其合力對(duì)于作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。2 平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對(duì)于面內(nèi)任意一點(diǎn)Q 的主矩同時(shí)為零，即FR=0,Mo=0.3 平面任意力系的平衡方程: Fx=0, Fy=0, Mo(F)=0. 平面任意力系平衡的解析條件是 , 力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零, 各力對(duì)于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也是等于零.例 3-1如圖3-8（ a）所示，在長(zhǎng)方形平板的四個(gè)角點(diǎn)上分別作用著四個(gè)力，其中F1=4kN ，F(xiàn)2=2kN ，F(xiàn)3=F4=3kN ，平板上還作用著一

6、力偶矩為M=2kN ·m 的力偶。試求以上四個(gè)力及一力偶構(gòu)成的力系向O 點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。解 （1）求主矢 FR，建立如圖3-8（ a）所示的坐標(biāo)系，有FRx= Fx= F2cos60° +F3+F4cos30° =4.598kNFRy= Fy=F1 F2sin60 °+F4sin30 ° =3.768kN 所以，主矢為FR=5.945kN主矢的方向cos（ FR,i ） =0.773, (FR， i)=39.3 °cos（ FR,j ） =0.634，（ FR， j） =50.7°（2）求主矩，有M0

7、= M0 （ F） =M+2F2cos60 ° 2F2+3F4sin30 ° =2.5kN · m由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結(jié)果是一個(gè)合力FR，如圖3-8（ b）所示，F(xiàn)R=FR，合力 FR 到 O 點(diǎn)的距離為d=0.421m例 3-10連續(xù)梁由AC 和 CE 兩部分在C 點(diǎn)用鉸鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18（ a）所示，其中M=10kN · m， F=30kN ， q=10kN/m ， l=1m 。求固定端A 和支座 D 的約束力。解 先以整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-18（ a）所示。其上除受主動(dòng)力外，還受固定端A處的約束力Fa

8、x、 Fay 和矩為 MA 的約束力偶，支座D 處的約束力FD 作用。列平衡方程有 Fx=0，F(xiàn)axFcos45° =0 Fy=0， FAy 2ql+Fsin45° +FD=0 MA（ F） =0， MA+M 4ql 2+3FDl+4Flsin45°=0以上三個(gè)方程中包含四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程?，F(xiàn)選CE 為研究對(duì)象，其受力如圖3-（ b）所示。以 C 點(diǎn)為矩心，列力矩平衡方程有MC（ F） =0， ql 2+FDl+2Flsin45° =0 聯(lián)立求解得FAx=21.21kN ， Fay=36.21kN ， MA=57.43kN ·m， FD=

9、37.43kN不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考第4章 考慮摩擦的平衡問(wèn)題1.摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。tan m=fs2.自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力即合力Fa 的方向、大小改變時(shí)，只要Fa 的作用線在摩擦角內(nèi)， C點(diǎn)總是在 B 點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。例 4-3梯子 AB 靠在墻上，其重為 W=200N ，如圖 4-7 所示。梯長(zhǎng)為 l ，梯子與水平面的夾角為=60°已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N 的人沿梯上爬，問(wèn)人所能達(dá)到的最高點(diǎn)C到 A 點(diǎn)的距離s 為多少？解 整體受力如圖4-7 所示，設(shè) C 點(diǎn)為人所能達(dá)到的極限

10、位置，此時(shí)FsA=fsFNA，F(xiàn)sB=fsFNB Fx=0，F(xiàn)NB-FsA=0 Fy=0， FNA+FsB-W-W1=0 MA（ F） =0， -FNBsin -FsBlcos +W cos +W1scos =0聯(lián)立求解得S=0.456l第5章 空間力系1.空間匯交力系平衡的必要與充分條件是:該力系的合力等于零,即 FR= Fi=02. 空間匯交力系平衡的解析條件是 : 力系中各力在三條坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零.3. 要使剛體平衡 , 則主失和主矩均要為零 , 即空間任意力系平衡的必要和充分條件是: 該力系的主失和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零, 即 FR= Fi=0,Mo= Mo(Fi)=0

11、4.均質(zhì)物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀, 而與物體的重量無(wú)關(guān). 若物體是均質(zhì)薄板 , 略去 Zc, 坐標(biāo)為 xc= Ai*xi/A,yc= Ai*yi/A5.確定物體重心的方法(1) 查表法(2) 組合法 : 分割法 ; 負(fù)面積 ( 體積 ) 法(3) 實(shí)驗(yàn)法例 5-7試求圖 5-21 所示截面重心的位置。解 將截面看成由三部分組成：半徑為10mm 的半圓、 50mm× 20mm 的矩形、半徑為5mm的圓，最后一部分是去掉的部分，其面積應(yīng)為負(fù)值。取坐標(biāo)系 Oxy ， x 軸為對(duì)稱軸，則截面重心 C 必在 x 軸上，所以 yc=0. 這三部分的面積和重心坐標(biāo)分別為A1=mm 2

12、=157mm 2,x1=-=-4.246mm ， y1=0A2=50 × 20mm 2=1000mm 2 ， x2=25mm ， y2=0A3=- × 5 2mm 2=-78.5mm 2 ， x3=40mm ， y3=0用負(fù)面積法，可求得Xc=第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考6.2 直角坐標(biāo)法運(yùn)動(dòng)方程x= f(t)y=g(t)z=h(t)消去 t 可得到軌跡方程f（ x,y,z） =0 其中例題 6 -1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4（ a）所示，曲柄oc 以等角速度w 繞 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿AB帶動(dòng)滑塊 A 、 B 在水平和豎直槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OC=BC=AC=

13、L。求：（ 1）連桿上M 點(diǎn)（ AM=r ）的運(yùn)動(dòng)方程；（ 2） M 點(diǎn)的速度與加速度。解：（1）列寫(xiě)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程由于 M 點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，故建立坐標(biāo)系。點(diǎn)M 是 BA 桿上的一點(diǎn)，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)。曲柄做等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，=wt。由這些約束條件寫(xiě)出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程x=(2L-r)coswty=rsinwt消去 t 得軌跡方程：（ x 2L-r ） 2+（ y/x ） 2=1（2）求速度和加速度對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得dx/dt=-(2L-r)wsinwtdy/dt=rsinwt再求導(dǎo)a1=-(2L-r)w2coswta2=-rw2sinwt由式子可知a=a1i+a2j=-w2r

14、6.3 自然法2.自然坐標(biāo)系： b=t × n 其中 b 為副法線n 為主法線t3.點(diǎn)的速度v=ds/dt切向加速度at=dv/dt法向加速度an=v2/p習(xí)題 6-10滑道連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄 OA 長(zhǎng) r，按規(guī)律 = +wt轉(zhuǎn)動(dòng)（ 以 rad 計(jì)，t 以 s 計(jì)）， w 為一常量。求滑道上C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、速度及加速度方程。解：第七章剛體的基本運(yùn)動(dòng)7.1 剛體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡的形狀相同。在同一瞬時(shí)，所有各點(diǎn)具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平移問(wèn)題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：瞬時(shí)角速度w=lim t=d /dt瞬時(shí)角加速度a=lim w

15、t=dw/dt=d2 /dt2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的代數(shù)值等于該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積a= (a2 +b2)=R ( 2+w2) =arctan|a|/b =arctan| |/w2轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度和加速度的大小都與該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。例題 7-1 如圖所示平行四連桿機(jī)構(gòu)中，O1A=O2B=0.2m ,O1O2=AB=0.6m ,AM=0.2m ,如 O1A按 =15 t 的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，其中以 rad 計(jì)， t 以 s 計(jì)。試求 t=0.8s 時(shí)， M 點(diǎn)的速度與加速度。解：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿 AB始終與 O1O2 平行。因此，桿AB 為平移， O1A 為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)平移的特點(diǎn)

16、，在同一瞬時(shí)M 、 A 兩點(diǎn)具有相同的速度和加速度。A 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=O1A · =3 tm所以VA=ds/dt=3 m/s a =dv/dt=0a= ( VA) 2/O1A=45m/stAnA為了表示 V m 、am 的 2，需確定 t=0.8s 時(shí)， AB 桿的瞬時(shí)位置。當(dāng)t=0.8s 時(shí)， s=2.4 mO1A=0.2m ,=2.4 /0.2=12 ,AB 桿正好第 6 次回到起始位置 O 點(diǎn)處， Vm 、a 的方向m如圖所示。第 8 章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)8.1 合成運(yùn)動(dòng)的概念： 相對(duì)于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相對(duì)于其他參考系的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而成，這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。不

17、得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考當(dāng)研究的問(wèn)題涉及兩個(gè)參考系時(shí)，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系，簡(jiǎn)稱定系。吧相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系。研究的對(duì)象是動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。 動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著， 因此，牽連運(yùn)動(dòng)具體有剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，常見(jiàn)的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也可分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。 在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)， 如果適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)參考系， 往往能把比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。這種研究方法無(wú)論在理論

18、上或?qū)嵺`中都具有重要意義。動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度、相對(duì)加速度，分別用vr 和 ar表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，分別用va 和aa 表示。 換句話說(shuō)， 觀察者在定系中觀察到的動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度；在動(dòng)系中觀察到動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為相對(duì)速度和相對(duì)加速度。在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)M 相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M 的牽連點(diǎn)。如在某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)將沿著牽連點(diǎn)的軌跡而運(yùn)動(dòng)。牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)系上的哪一點(diǎn)，該點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。定義某瞬時(shí)牽連點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽

19、連速度、牽連加速度，分別用ve 和 ae 表示。動(dòng)系 Oxy與定系 Oxy 之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為x=x 0+x cos -ysiny=y 0+x sin +ycos在點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t，即得點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡；在點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間 t，即得點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。例題 8-4 礦砂從傳送帶A 落到另一傳送帶B 上，如圖所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為 v1=4 m/s ，方向與豎直線成 30 角。已知傳送帶 B 水平傳動(dòng)速度 v2=3 m/s. 求礦砂相對(duì)于傳送帶 B 的速度。解：以礦砂M 為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B 上。礦砂相對(duì)地面的速度v1 為絕對(duì)速度；牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系

20、上與動(dòng)點(diǎn)相重合的哪一點(diǎn)的速度。可設(shè)想動(dòng)參考系為無(wú)限大，由于它做平移，各點(diǎn)速度都等于v2 。于是 v2 等于動(dòng)點(diǎn)M 的牽連速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對(duì)速度必須是對(duì)角線，因此作出的速度平行四邊形如圖所示。根據(jù)幾何關(guān)系求得V r=（ ve2+va2-2v evacos60o） =3.6m/sV e與 va 間的夾角 =arcsin（ ve/vr *sin60o ）=46o12 總結(jié)以上， 在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí)， 首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系是運(yùn)動(dòng)的，因此它們不能處于同一物體；為便于確定相對(duì)速度，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)簡(jiǎn)單清楚。8.3 當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等

21、于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。第 9 章剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=f 1(t)y=f 2(t) =f 3(t) 完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點(diǎn)為基點(diǎn)而將平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)， 而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。9.2 剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度分析：平面圖形在某一瞬時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等，這就是速度投影定理。 Vcosa=vcosb例 9-1不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC 帶動(dòng)，曲柄以勻角速度 0 繞軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)，如

22、圖9-7 所示，OC=BC=AC=r ，求圖示位置時(shí)，滑塊A 、 B 的速度和橢圓規(guī)尺AB 的角速度。解 已知 OC 繞軸 O 做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，橢圓規(guī)尺AB 做平面運(yùn)動(dòng)，vc= 0r。（1）用基點(diǎn)法求滑塊A 的速度和 AB 的角速度。因?yàn)镃 的速度已知，選C 為基點(diǎn)。vA=Vc+V AC式中的 vc 的大小和方向是已知的，vA 的方向沿 y 軸， vAC 的方向垂直于AC ，可以作出速度矢量圖，如圖9-7 所示。由圖形的幾何關(guān)系可得vA=2vccos30 ° = 0r,Vac=Vc ， Vac= ABr解得 AB= 0（順時(shí)針）（ 2） 用速度投影定理求滑塊 B 的速度， B 的速度方向

23、如圖 9-7 所示。vBBC=vCBCVccos30° =vBcos30°解得Vb=vC= 0r例 9-5圖 9-15 所示機(jī)構(gòu)中，長(zhǎng)為l 的桿 AB 的兩端分別與滑塊A 和圓盤(pán) B 沿豎直方向光滑移動(dòng)，半徑為 R 的圓盤(pán) B 沿水平直線做純滾動(dòng)。已知在圖示的位置時(shí)，滑塊 A 的速度為vA ，求該瞬時(shí)桿 B 端的速度、桿AB 的角速度、桿AB 中點(diǎn) D 的速度和圓盤(pán)的角速度。解 根據(jù)題意，桿AB 做平面運(yùn)動(dòng)， vA 的方向已知，圓盤(pán)中心B 的速度沿水平方向，則桿AB 的速度瞬心為P 點(diǎn)，有 AB= =vB= AB ·BP=vAtan vD= AB · D

24、P=· =圓盤(pán) B 做平面運(yùn)動(dòng)， C 點(diǎn)為其速度瞬心，則 B=tan第三篇?jiǎng)恿W(xué)第 10 章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程1. 牛頓第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。又稱慣性定律。2. 牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。 F =m a3. 牛頓第三定律：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。例 10-2 ：曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖 10-2（ a）。曲柄 OA 以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)， OA=r ， AB=l ，當(dāng) =r/l 比較小時(shí)，以 O 為

25、坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊 B 的運(yùn)動(dòng)方程可近似表示為X=l(1-)+r(cos t+)如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB 的質(zhì)量，試求當(dāng) = t=0 和 時(shí)，連桿AB 所受的不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考力。解以滑塊 B 為研究對(duì)象，當(dāng)= t 時(shí)，其受力如圖10-2（ b）所示。由于連桿不計(jì)質(zhì)量， AB 應(yīng)為二力桿，所以受平衡力系作用，它對(duì)滑塊B 的拉力 F 沿 AB 方向。滑塊啱x軸的運(yùn)動(dòng)方程Max=-Fcos 由滑塊 B 的運(yùn)動(dòng)方程可得Ax=-r 2（ cos t+ cos2 t）當(dāng) t=0 時(shí)， ax=-r 2（1+ ），且 =0 ，得F=mr 2(1+ )桿 AB 受拉力。同理可得，當(dāng) t= 時(shí)

26、， F=-，桿 AB 受壓力例 10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5 所示。物塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為 a 時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解 以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)物塊在任意坐標(biāo)x 處彈簧變形量為 |x|，彈簧力大小為F=k|x|，并指向 O 點(diǎn)，如圖 10-5 所示，則此物塊沿 x 軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為m =Fx=-kx令 2n= ，將上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式+ 2nx=0上式的解可寫(xiě)為 X=Acos( nt+ )其中 A 、 為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，當(dāng)t=0 時(shí)，=0， x=a，代入上式，解得 =0， A=a

27、 ，代入式中，可解得運(yùn)動(dòng)方程為X=acos nt第 11 章 動(dòng)力定理p mvc1.動(dòng)量：等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積.2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 :微分形式 :質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和.積分形式 :質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一時(shí)間間隔內(nèi)的變化,等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在該指點(diǎn)系上所有外力的沖涼的矢量和.(沖涼定理 )3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如果所有作用于質(zhì)心系的外力在x 軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即F=0 ，則 Vcx= 常量，這表明質(zhì)心的橫坐標(biāo)xc 不變或質(zhì)心沿x 軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)均勻的。例 11-5 ：已知液體在直角彎管ABCD 中做穩(wěn)定流動(dòng)，流量為Q，密度為 ，AB

28、端流入截面的直徑為d，另一端CD 流出截面的直徑為d1。求液體對(duì)管壁的附加動(dòng)壓力。解取 ABCD 一段液體為研究對(duì)象，設(shè)流出、流入的速度大小為v1 和 v2, 則V1=， v2=建立坐標(biāo)系，則附加動(dòng)反力在x、 y 軸上的投影為FNx= Q(v2-0)=FNy= Q 0- （ -v1 ） 例 11-7 ：所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄 OA 受力偶作用以勻角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)，圖 11-6不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考滑塊 B 沿 x 軸滑動(dòng)。若OA=AB=l ，OA 及 AB 都為均質(zhì)桿，質(zhì)量都為m1，滑塊 B 的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及此系統(tǒng)的動(dòng)量。解 設(shè) t=0 時(shí)桿 OA 水平

29、，則有 =wt 。將系統(tǒng)看成是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，分別位于桿 OA 的中點(diǎn)、桿 AB 的中點(diǎn)和 B 點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為Xc=cos t=lcos tYc=sin t=lsin t上式即系統(tǒng)質(zhì)心C 的運(yùn)動(dòng)方程。由上兩式消去時(shí)間t,得xc 2+ 2=1即質(zhì)心 C 的運(yùn)功軌跡為一橢圓， 如圖 11-6 中虛線所示。 應(yīng)指出，系統(tǒng)的動(dòng)量， 利用式（ 11-15）的投影式，有Px=mvcx=(2m1+m2)=-2(m1+m2)l sin tPy=mvcy=(2m1+m2)=m1l cos t例 11-11 ：平板 D 放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿、套筒機(jī)構(gòu)，十字套筒 C 保證滑桿 AB 為平

30、移，如圖示。已知曲柄 OA 是一長(zhǎng)為 r，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿，以勻角速度 w 繞軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑮U AB 的質(zhì)量為 4m,套筒 C 的質(zhì)量為 2m，機(jī)構(gòu)其余部分的質(zhì)量為20m，設(shè)初始時(shí)機(jī)構(gòu)靜止，試求平板D 的水平運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t) 。解去整體為質(zhì)點(diǎn)系，說(shuō)受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因?yàn)橥饬υ谒捷S上的投影為零， 且初始時(shí)靜止， 因此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。建立坐標(biāo)系，并設(shè)平板 D 的質(zhì)心距 O 點(diǎn)的水平距離為 a， AB 長(zhǎng)為 l ， C 距 O 點(diǎn)的水平距離為 b,則初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的水平軸的坐標(biāo)為Xc1=設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t ，平板 D 向右移動(dòng)了x(t) ，曲柄 OA 轉(zhuǎn)動(dòng)

31、了角度wt, 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)為Xc2=因?yàn)樵谒椒较蛏腺|(zhì)心守恒，所以xc1=xc2,解得： X(t)=(1-cos t)P207 習(xí)題 11-3第 12 章 動(dòng)量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 :指點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O 的動(dòng)量矩失在z 軸的投影 ,等于對(duì) z 軸的動(dòng)量矩 ,即 Lo(mv) =Lz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O 的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O 的動(dòng)量矩的矢量和.即 :Lo= Lo(mv)2. 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的裝動(dòng)慣量與角速度的乘積.(Lz=wJz)不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考3. 平行軸定理 :剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ,等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣

32、量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.4. 動(dòng)量矩定理 :質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一點(diǎn)的矩.例 12-2 ：已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量都為m,圓盤(pán)半徑為R，桿長(zhǎng) 3R，求擺對(duì)通過(guò)懸掛點(diǎn)O 并垂直于圖面的Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 擺對(duì) Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz=Jz 桿 +Jz 盤(pán)桿對(duì) Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz 桿 = ml 2=m（3R ） 2=3mR 2圓盤(pán)對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jzc2= mR 2利用平行軸定理Jz 盤(pán) = Jzc2+m（ R+l 2 ） = mR 2+16mR2=mR2所以Jz= Jz 桿 +Jz 盤(pán) =3mR 2+mR2=mR 2例 12-

33、3 ： 質(zhì)量為 M1 的塔倫可繞垂直于圖面的軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)，繞在塔輪上的繩索于塔輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)， 繞在半徑為r 的輪盤(pán)上的繩索于剛度系數(shù)為k 的彈簧相連接， 彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R 的輪盤(pán)上的繩索的另一端豎直懸掛質(zhì)量為M2 的重物。若塔輪的質(zhì)心位于輪盤(pán)中心 O，它對(duì)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jo=2mr,R=2r,M1=m,M2=2m. 求彈簧被拉長(zhǎng) s 時(shí)，重物 M2 的加速度。解塔輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)該瞬時(shí)角速度為w,重物作平移運(yùn)動(dòng)，則它的速度為v=Rw, 它們對(duì) O 點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為L(zhǎng)o1 ， Lo2 ，大小為L(zhǎng)o1=-Jo · w=-2mr2 ， Lo2=-2mR2w=-8

34、mr2 2系統(tǒng)對(duì) O 點(diǎn)的外力矩為M0 （） =F· r-m2g· R=ksr-4mgr根據(jù)動(dòng)量矩定理L0= M0（）得 10mr2=(4mg-ks)r=因重物的加速度a2=R ，所以： a2=R =第 13 章 動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分,等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所做元功的和,這就是質(zhì)點(diǎn)系微分形式的動(dòng)能定理 .(13-23)2.質(zhì)點(diǎn)系積分形式的動(dòng)能定理:質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量,等于作用在質(zhì)點(diǎn)系不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考上所有力在這一過(guò)程中所做的功的和.(13-24,13-25)3.力的功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度大小的乘積(13-28)4.作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功率等于該力堆轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積.(13-29)5.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在指點(diǎn)系