定積分在生活中的應(yīng)用

1、PINGDINGSHAN UNIVERSIT院 系 :經(jīng)濟與管理學(xué)院題 目 :定積分在生活中的應(yīng)用年級專業(yè) :11 級市場營銷班學(xué)生姓名 :孫天鵬定積分在生活中的應(yīng)用定積分作為大學(xué)里很重要的一部分，在生活有廣泛的應(yīng)用。微積分是 與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬有引力導(dǎo)出行星 三定律，此后，微積分極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天 文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且隨著人類 知識的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類走向認(rèn)知的殿堂。 一、定積分的概述1、定積分的定義：設(shè)函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上有界 .在 a,b 中任意插入若干個分點 ax0 x1

2、 L xn 1 xn b, 把區(qū)間 a,b 分成n個小區(qū)間 x0,x1, x1,x2 ,L , xn1,xn ,且各個小區(qū)間的長度依次為x1x1 x0 ，x2 x2 x1， xnxn xn 1 。在每個小區(qū)間 xi 1,xi 上任取一點 i ，作函數(shù) f i與小區(qū)間長度xi 的乘積i xi ( i 1,2,L ,n )，n作出和 Si1i xi 。記 Pmax x1, x2,L , xn作極限 lPim0P 0 i1i xi如果不論對 a,b 怎樣分法，也不論在小區(qū)間 xi 1,xi 上點 i怎樣取法，只要當(dāng)P 0時，和S總趨于確定的極限 I ，這時我們稱這個極限 I為函數(shù) f x 在 區(qū)間

3、a,b 上的定積分（簡稱積分） ，記作 b f x dx，即abnf x dx=I a=limf i xi ,P 0 i i i1其中 f x 叫做被積函數(shù)， f x dx叫做被積表達式， x叫做積分變量， a 叫做 積分下限， b 叫做積分上限， a,b 叫做積分區(qū)間。2定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù) f x 和 g x 在 a,b 上都可積， k是常數(shù)，則 kf x 和 f x +g x 都可積，并且性質(zhì) 1bbkf x dx=k f x dx ;aa性質(zhì) 2gxbdx= fabx dx+ a g x dxbbbf x g x dx= f xdx- g xdx. aaa性質(zhì) 3 定積分對于積分區(qū)間的可

4、加性性質(zhì) 7定積分中值定理)如果設(shè) f x 在區(qū)間上可積，且a ，b和c都是區(qū)間內(nèi)的點，則不論 a，b和c的存一點 使得bf (x)dx f ( )(b a)性質(zhì)4如果在區(qū)間 a,b 上 f x1，則 1dx=abdx =b a 。a性質(zhì)5如果在區(qū)間 a,b 上 f xb0, 則 f x dx a0 a b 。性質(zhì)6如果在 a,b 上, m f (x)M , 則 m(b a)bf(x)dx M(b a)相對位置如何，都有 f x dx= f x dx+ f x dx 。 a a baf (x) 在a,b 上連續(xù)，則在 a,b 上至少3定理定理 1 微積分基本定理如果函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b

5、 上連續(xù),則積分上限函數(shù) x = xf t dt在 a,b 上ax可導(dǎo) , 并且它的導(dǎo)數(shù)是' x = a = f x a x b .dx定理 2 原函數(shù)存在定理如果函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上連續(xù),則函數(shù) x = xf t dt就是 f x 在aa,b 上的一個原函數(shù) .定理 3 如果函數(shù) F x 是連續(xù)函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上的一個原函數(shù) ,則 f x dx=F b F aa稱上面的公式為牛頓 - 萊布尼茨公式 .二 、定積分的應(yīng)用1、定積分在幾何中的應(yīng)用(1)設(shè)連續(xù)函數(shù) f(x)和g(x)滿足條件 g(x) f(x)，x a,b求曲線y f (x) ， y g(x) 及

6、直線 x a,x b所圍成的平面圖形的面積 S(如圖 1) 解法步驟：第一步：在區(qū)間 a,b上任取一小區(qū)間 x,x dx ，并考慮它上面的圖形的 面積，這塊面積可用以 f(x) g ( x)為高，以 dx為底的矩形面積近似，于是 dS f (x) g(x)dx 第二步：在區(qū)間 a,b上將 dS無限求和，得到 S f (x) g(x)dx.a(2)上面所訴方法是以 x 為積分變量進行微元， 再求得所圍成圖形的面積； 我們還可以將 y 作為積分變量進行微元，再求圍成的面積。由連續(xù)曲線 x (y) 、 x (y) 其中 (y) (y) 與直線 y c、 y d 所圍成的平面圖形(圖圖22)的面積為：

7、dS c (y) ( y)dy例 1 求由曲線 y sin x，y cos x及直線 x 0，x 所圍成圖形的面積 A 解 ( 1)作出圖形，如圖所示易知，在 0, 上，曲線 y sin x與 y cosx的交點為 ( , 2) ；42(2)取 x為積分變量，積分區(qū)間為 0, 從圖中可以看出，所圍成的 圖形可以分成兩部分；(3)區(qū)間 0, 上這一部分的面積 A1和區(qū)間 , 上這一部分的面積 A2 44分別為A1 4 (cos x sin x)dx ，A2(sin x cos x )dx ，4所以，所求圖形的面積為A A1 A2= 4 (cosx sin x)dx+ (sin x cos x)d

8、x4sinx cosx 04cosx sinx 2 2 42b21的面積.例2 求橢圓 x2a解 橢圓關(guān)于 x軸, y軸均對稱 ,故所求面積為第一象限部分的面積的4倍,即S 4S1 4 a ydx 利用橢圓的參數(shù)方程x acosty bsint應(yīng)用定積分的換元法 , dx asintdt , 且當(dāng) x 0時, t ,x a時, t 0, 于 是0S 4 bsint( acost )dt24ab 02 sin2tdt4ab2 1 cos2t2 dt04ab t21sin2t 2ab2求旋轉(zhuǎn)體體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積，例如一個木塊的體積， 我們可以將此木塊作分割

9、 T : a x0 x1xn b 劃分成許多基本的小塊，每一塊的厚度為 xi (i 1,2, , n) ，假設(shè)每一個基本的小塊橫切面積為 A(xi)(i 1,2, ,n)，A(x)為 a,b 上連續(xù)函數(shù)，則此小塊的體積大 約是 A(xi) xi ，將所有的小塊加起來，令 T 0 ，我們可以得到其體積：lim A(xi ) xiT 0i 1 i iA(x)dx例 2 求由曲線 xy 4, 直線 x 1, x 4, y 0繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的 立體體積 .解 先畫圖形，因為圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)，所以取 x 為積分變量， x 的變化 區(qū)間為1,4 ，相應(yīng)于1 ，4上任取一子區(qū)間 x, x+dx的小

10、窄條，繞 x軸旋 轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為 dx ，底面積為 y2的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為2 4 2dV =y2 dx=( )2 dx,x于是，體積4421 ( ) 2dx1x=1641dx16 1 14 =12.x3. 求曲線的弧長(1)設(shè)曲線 y f(x)在 a,b 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(如下圖) , 利用微元法， 取 x為積分變量，在 a,b 上任取小區(qū)間 x,x dx ，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段MT的長度近似代替一段小弧 MN的長度，即 lMN ds.得弧長微元為： ds MT(dx)2 (dy)2 1 (y )2 dx, 再對其積分，則曲線的弧長為： s ds 1 (y

11、 )2dx1 f (x)2dxa a a2)參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長計算，設(shè)曲線x (t) 上t , 一段y (t)的弧長 . 這時弧長微元為：ds2 dx dt2 dy dtdt 即 dst dt3 16 2 140 = = 0333(2) 求擺線 xy aa(t1 scionstt), 在0t 2 上的一段弧的長度( a 0 )解 取 t為積分變量，積分區(qū)間為0, 2 由擺線的參數(shù)方程，得則曲線的弧長為 s ds (t)2 (t) 2dt23例 3 (1) 求曲線 y 2x2上從 0到 3一段弧的長度3解 由公式 s= a 1 y 2dx ( a b)知, 弧長為3 3 2 3 s= 0

12、1 y 2dx= 0 1 xdx=23 (1 x)2x a(1 cost)， y asint ，x2 y 2a2(1 cost) 2 a2sin2t于是，由公式( 16-13)，在 0 ta 2(1 cost) 2a |sin t |22tcos 8a202 上的一段弧的長度為2 t 2 ts 0 2a|sin 2|dt 0 2asin 2dt4a2、定積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用(1)、由經(jīng)濟函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟函數(shù)在區(qū)間上的增量 根據(jù)邊際成本，邊際收入，邊際利潤以及產(chǎn)量 x的變動區(qū)間 a,b 上的改 變量(增量)就等于它們各自邊際在區(qū)間 a,b 上的定積分：bR(b) R(a) R(x)dx(1)ab

13、C(b) C(a)C (x)dx(2)abL（b） L（a） aL （x）dx（3）a例1 已知某商品邊際收入為 0.08x 25（萬元/t ），邊際成本為 5（萬元 /t ），求產(chǎn)量 x從 250t 增加到 300t 時銷售收入 R（x），總成本 C（x） ，利潤 I（x） 的改變量（增量）。解 首先求邊際利潤L (x) R (x) C (x) 0.08x 25 5 0.08x 20所以根據(jù)式（ 1）、式（ 2）、式（ 3），依次求出：R(300)R(250)R(x)dx250C (300)C(250)300C (x)dx250L(300)L (250)300L (x)dx250300300

14、( 0.08x 25)dx =150萬元250300dx =250 萬元250300250 ( 0.08x 20)dx = 100 萬元2）、由經(jīng)濟函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率t2f （t）dtt1為該經(jīng)濟函數(shù)在時間間隔設(shè)某經(jīng)濟函數(shù)的變化率為 f （t），則稱t1t2,t1 內(nèi)的平均變化率。例2 某銀行的利息連續(xù)計算，利息率是時間 t （單位：年）的函數(shù)：r(t) 0.08 0.015 t求它在開始 2年，即時間間隔 0 ，2 內(nèi)的平均利息率。由于20 r(t)dt0 (0.08 0.015 t)dt 0.16 0.01t t02 0.16 0.02 2所以開始2 年的平均利息

15、率為20 r(t)dtr 0 0.08 0.01 2 0.09420例 3 某公司運行 t （年）所獲利潤為 L（t） （元）利潤的年變化率為L（t） 3 105 t 1（元/ 年）求利潤從第 4年初到第 8年末，即時間間隔 3，8 內(nèi)年平均變化率由于83L (t)dt3 3 105 t 1dt 2 105 (t 1)2383 38 105所以從第4 年初到第 8 年末，利潤的年平均變化率為83 L (t)dt837.6 105 (元 / 年)即在這 5 年內(nèi)公司平均每年平均獲利 7.6 105元。（3）、由貼現(xiàn)率求總貼現(xiàn)值在時間區(qū)間上的增量設(shè)某個項目在 t （年）時的收入為 f（t）（萬元）

16、，年利率為 r ，即貼現(xiàn) 率是 f （t）e rt ，則應(yīng)用定積分計算， 該項目在時間區(qū)間 a,b上總貼現(xiàn)值的增量 為 f （t）e rt ndt 。a設(shè)某工程總投資在竣工時的貼現(xiàn)值為 A（萬元），竣工后的年收入預(yù)計 為 a （萬元）年利率為 r ，銀行利息連續(xù)計算。在進行動態(tài)經(jīng)濟分析時，把 竣工后收入的總貼現(xiàn)值達到 A，即使關(guān)系式T rt0 ae rt dt A成立的時間 T（年）稱為該項工程的投資回收期。例4 某工程總投資在竣工時的貼現(xiàn)值為 1000萬元，竣工后的年收入預(yù) 計為 200 萬元，年利息率為，求該工程的投資回收期。解 這里 A 1000，a 200，r 0.08，則該工程竣工后

17、 T 年內(nèi)收入的總貼現(xiàn)值為令T0 200e0.08tdt200 0.08te0.08T 0.08T0 2500(1 e )2500（1 e 0.08T ） =1000，即得該工程回收期為ln(10.081000)2500)1 ln 0.6 =0.08年）3、定積分在物理中的應(yīng)用1、求變速直線運動的路程 我們知道，作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程 s，等于其速度函數(shù) v=v (t) ( v(t)0) 在時間區(qū)間 a,b 上的定積分，即 s v(t)dta例 1 、一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示求汽車在這 1 min行駛的路程解：由速度一時間曲線可知：3t,0 t 10,v(t) 30,10 t 401.5t 90,40 t 60.因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：1040 60s 3tdt 30dt ( 1.5t 90)dt010 403