等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)案例使用

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)案例高平二中 公素玲【案例背景】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，尤其等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列是的兩個(gè)最基本模型，是高考的內(nèi)容之一。本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（5）（人教A版）中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）學(xué)生已掌握等差數(shù)列的定義、性質(zhì)及通項(xiàng)公式，在此基礎(chǔ)上研究其求和公式，并利用它解決數(shù)列求和問(wèn)題。等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”這一重要數(shù)學(xué)方法【案例描述】本節(jié)內(nèi)容共二課時(shí)，本節(jié)案例是第一課時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開(kāi)始，探究這種

2、方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法通過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問(wèn)題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)學(xué)生討論交流和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)（一）三維目標(biāo)1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用，會(huì)利用前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式研究Sn的最值；2. 通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想；3培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力，再次感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；難點(diǎn)是對(duì)等差數(shù)

3、列前n項(xiàng)和公式的理解及靈活應(yīng)用（三）教學(xué)方式提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主、合作、探究學(xué)習(xí)。（四）教學(xué)手段采用計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)，增大教學(xué)容量與直觀性。（五）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（1）創(chuàng)設(shè)情景世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？（多媒體展示三角形圖案） 設(shè)計(jì)意圖從實(shí)際問(wèn)題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，并且引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊（2）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問(wèn)題1 圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)

4、，并派代表將小組方法一一呈現(xiàn)學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式（12350）51方法2：原式0125051設(shè)計(jì)意圖 這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，方法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng)借此滲透化歸思想問(wèn)題2：求圖案中從第1層到第n層（1n 100，nN*）共有多少顆寶石？啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形設(shè)計(jì)意圖 借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型通過(guò)以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2 + 3 +（n1） + n

5、 n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)1+2+3+n=問(wèn)題3： 在公差為d的等差數(shù)列an中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)容易得出如下過(guò)程：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d (公式1)組織學(xué)生討論：在公式1中若將an=a1+（n1）d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即：（公式2）（3）通過(guò)典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用對(duì)于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問(wèn)題時(shí)，往往不知道該如何選取

6、教師應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析，根據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式例1 為了參加冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的3000m長(zhǎng)跑比賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練計(jì)劃（單位：m）如下表：3000350040004500500055006000問(wèn)這個(gè)同學(xué)7天一共將跑多長(zhǎng)的距離？設(shè)計(jì)意圖 該例題可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過(guò)兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注意選擇適當(dāng)?shù)墓?，以便于?jì)算例2 已知等差數(shù)列5，4 ，3 ，求(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為？(3)S

7、n的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。設(shè)計(jì)意圖 通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)基本元素，如果已知其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)知識(shí)鏈接（1）由若令可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的知識(shí)解決的最值問(wèn)題；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和（），則數(shù)列一定是等差數(shù)列；（3）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小。（4）鞏固練習(xí)，及時(shí)反饋練習(xí)1 已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.練習(xí)2 等差數(shù)列an中，a1= 4，

8、 a8= 18， n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.設(shè)計(jì)意圖 分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到實(shí)踐，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅（5）回顧反思，深化知識(shí)1.從特殊到一般的研究方法；2.體會(huì)倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程（組）思想；3. 前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；（6）布置作業(yè)板書(shū)設(shè)計(jì)等差數(shù)列前N項(xiàng)和1、公式的推導(dǎo)倒序相加法2、前N項(xiàng)和公式，3、公式的應(yīng)用例1、例24、鞏固練習(xí)1和2【案例反思】1、從三維目標(biāo)看： 按照課程目標(biāo)制定，制定的合理準(zhǔn)確，符合學(xué)生的實(shí)際。在整個(gè)教學(xué)中，

9、重、難點(diǎn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)確、本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路 2、知識(shí)的呈現(xiàn)方式上：   為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了分析、解決問(wèn)題的一般思路，創(chuàng)設(shè)良好學(xué)習(xí)情境，搭設(shè)合理認(rèn)知臺(tái)階，運(yùn)用多媒體展示，通過(guò)師生互動(dòng)、學(xué)生互動(dòng)，最后得出結(jié)論，體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，凸顯了學(xué)生的主體位置。  3、教學(xué)方式的轉(zhuǎn)化：    有效的運(yùn)用了多媒體與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合，使問(wèn)題具有直觀性，教師角色定位準(zhǔn)確，體現(xiàn)了雙主方針。例如：課上學(xué)生能說(shuō)明的，學(xué)生能做的，都由學(xué)生完成，教師不包辦代替。 調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，注重了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，能夠很好的傾聽(tīng)學(xué)生的發(fā)言，充分體現(xiàn)課堂民主、和諧的關(guān)系。&#