第四講等差數(shù)列與等比數(shù)列

1、第四講 等差數(shù)列與等比數(shù)列【基礎(chǔ)回顧】一、知識梳理：1、用類比的方法梳理等差數(shù)列與等比數(shù)列基礎(chǔ)知識等差數(shù)列等比數(shù)列定 義an+1an=d=q（q為常數(shù)，an0）；an2=an-1an+1（n2，nN+）通項公式an=a1+(n-1)d常用變通公式:an=a1qn-1， 常用變通公式： an=amqn-m求和公式Sn=na1+d或 時，是關(guān)于n的二次型,且無常數(shù)項.等差中項a, A，b成等差數(shù)列，A為a, b的等差中項。且A=a, G，b成等比數(shù)列，G為a, b的等比中項。且注：兩正數(shù)的等比中項有兩個常用性質(zhì)若m,n,p,qN+,且m+n=p+q，則特別地：2p=m+n m,n,p,N+，則若m

2、,n,p,qN+,m+n=p+q，則aman=apaq特別地：2p=m+n，m,n,pN+，則為正整數(shù)且成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列為正整數(shù)且成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列Sn, S2nSn, S3nS2n 成等差數(shù)列Sn, S2nSn, S3nS2n（Sn0）成等比數(shù)列2、用聯(lián)系的視野對等差數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行整合（1）如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列（總有意義）必成等比數(shù)列（2）如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列（3）如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列 是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件3、在理解的基礎(chǔ)上對等差數(shù)列與等比數(shù)列某些性質(zhì)進(jìn)行延伸研究（

3、方法）（1）若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、成等差數(shù)列（2）若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；（3）在等差數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（這里即）；（4）在等比數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（5）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（6）若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1.已知等比數(shù)列的公比不等于1，給出5個數(shù)列：（1） （2） （3）（4） （5）其中仍為等比數(shù)列的序號為 2.在等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則 3.

4、等差數(shù)列中，公差不為零，且恰好是某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列的公比為 4. 已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則 .5. 已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是 【典型例題】例題1：設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列和滿足成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，且，求通項例題2：已知等差數(shù)列的首項 公差,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項。（1）求數(shù)列和的通項公式（2）設(shè)數(shù)列對均有成立，求例題3：在數(shù)列中，且（）（1）設(shè)（），證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項例題4：如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)

5、）滿足條件，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列” 例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對稱數(shù)列” （1）設(shè)是7項的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，依次寫出的每一項； （2）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公比為的等比數(shù)列，求各項的和； （3）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公差為的等差數(shù)列求前項的和 【鞏固練習(xí)】1.設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項，則 2. 等比數(shù)列的前項和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為3已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點是，則等于 4. 已知數(shù)列對于任意，有.，若，則5. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則6設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為_。7. 已知等比數(shù)列中，則其前3項的

6、和的取值范圍是 8. 已知數(shù)列的前項和，第項滿足，則 9.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則“的方差為1”的充要條件是d= 10.設(shè)若是的等比中項，則的最小值為 11.已知數(shù)列的前n項和，求（1）通項 （2）求的最大值（3）求12.已知數(shù)列中，已知且數(shù)列是公差為-1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前n項和公式13.已知數(shù)列，滿足，且（）（I）令，求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的通項公式及前項和公式14. 等差數(shù)列的前項和為（）求數(shù)列的通項與前項和；（）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列【拓展提高】（1）定義：，已知數(shù)列滿足：，若對任意正整數(shù)，都有成立，則的值為 （

7、2）已知數(shù)列滿足：數(shù)列滿足。（1）若是等差數(shù)列，且求的值及的通項公式；（2）若是等比數(shù)列，求的前項和；（3）當(dāng)是公比為的等比數(shù)列時，能否為等比數(shù)列？若能，求出的值；若不能，請說明理由?！究偨Y(jié)反思】第四講 等差數(shù)列與等比數(shù)列【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1. （2）（3）（4） 2. 3. 4 4. 6 5.5【典型例題】例1略解：由已知可得 即 故 代入得： 即所以數(shù)列是等差數(shù)列，因為，得 所以 ，所以 代入得 又，適合上式，所以綜上， 例2 解：（1）由已知 ，又，則 所以 又，故公比 所以（2） 由當(dāng)兩式相減得：所以 又 所以 所以所以例3：解：（1）證明：由題設(shè)（），得，即，又，所以是首項為1，公比為的等

8、比數(shù)列（2）解法：由（），（）將以上各式相加，得（）所以當(dāng)時，上式對顯然成立（3）解：由（），當(dāng)時，顯然不是與的等差中項，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以對任意的，是與的等差中項例4：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為 （2） 67108861 （3） 由題意得 是首項為，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上所述， 【鞏固練習(xí)】（1）4（2） （3）2 （4）4 （5）7 （6） （7） （8） （9） （10）4 （11）（1） （2） （3）（12） （13）（）解：由題設(shè)得，即（）易知是首項為，公差為的等差數(shù)列，通項公式為（II）解：由題設(shè)得，令，則易知是首項為，公比為的等比數(shù)列，通項公式為由解得，求和得（14）解：（1）由已知得，故（2）由（1）得假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則即，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項都不可