平面問題的直角坐標(biāo)解答ppt課件

1、要點(diǎn)要點(diǎn) 用逆解法、半逆解法求解平面彈性用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問題。力學(xué)問題。3-1 3-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷3-4 3-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力3-5 3-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答3-6 3-6 簡支梁受恣意橫向載荷簡支梁受恣意橫向載荷主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容3-1 3-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答適用性：適用性：由一些直線邊境構(gòu)成的彈性體。由一些直線邊境構(gòu)成的彈性體。目的：目的：調(diào)查一些簡單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)調(diào)查一些簡單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能處理

2、什么樣的，能處理什么樣的力學(xué)問題。力學(xué)問題。逆解法cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 能否滿足雙調(diào)和方程：能否滿足雙調(diào)和方程：0244224444yyxx顯然顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因此可作為應(yīng)力函數(shù)。滿足雙調(diào)和方程，因此可作為應(yīng)力函數(shù)。11. 一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式23對應(yīng)的應(yīng)力分量：對應(yīng)的應(yīng)力分量：02yxxyXxyx22XxXx 0YyYy 0Yyxy22假設(shè)膂力：假設(shè)膂力：X = Y =0，那，那么有：么有：0 xyyx結(jié)論結(jié)論1：12一次多項(xiàng)式對應(yīng)于無膂力和無應(yīng)力形狀；一次多項(xiàng)式對應(yīng)于無膂力和無應(yīng)力形狀；在該函數(shù)在該函數(shù)(x

3、,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。2. 二次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式122cybxyax其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。(假定：假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 能否滿足雙調(diào)和方程，顯然有能否滿足雙調(diào)和方程，顯然有20, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )3由式由式2-26計(jì)算應(yīng)力分量：計(jì)算應(yīng)力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy結(jié)論結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。二次多項(xiàng)式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy0202yxy0

4、試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：例：xy00 xyyx0),(202),(yyx3. 三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式13223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 能否滿足雙調(diào)和方程，顯然有能否滿足雙調(diào)和方程，顯然有20, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：假定：X =Y = 0)3由式由式2-26計(jì)算應(yīng)力分量：計(jì)算應(yīng)力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222結(jié)論結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。三次多項(xiàng)式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。討論：討論：,3dy取)0(YX可

5、算得：可算得：0 xydyx60yxy12h2hll圖示梁對應(yīng)的邊境條件：圖示梁對應(yīng)的邊境條件：:2hy0, 0 xyy: lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可見：可見： 對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)常數(shù) d 與彎矩與彎矩 M 的關(guān)系：的關(guān)系：220hhxdy(1)由梁端部的邊境條件：由梁端部的邊境條件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果一樣，可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果一樣，闡明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)

6、果是正確的。闡明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max闡明：闡明：(1)組成梁端力偶組成梁端力偶 M 的面力須線性的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才分布，且中心處為零，結(jié)果才是準(zhǔn)確的。是準(zhǔn)確的。(2)假設(shè)按其它方式分布，如：假設(shè)按其它方式分布，如：那么此結(jié)果不準(zhǔn)確，有誤差；那么此結(jié)果不準(zhǔn)確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3) 當(dāng)當(dāng) l 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 h 時(shí)，誤差較?。环粗`差較大。時(shí)，誤差較小；反之誤差較大。4. 四次多項(xiàng)式四次多

7、項(xiàng)式1432234eydxyycxybxax檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 能否滿足雙調(diào)和方程能否滿足雙調(diào)和方程2cyx8244ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可見，對于函數(shù)：可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才干作為應(yīng)函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才干作為應(yīng)函數(shù)：033eca3應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。4特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy須滿

8、足：須滿足：a + e =0總結(jié)：總結(jié)：多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì) 1 多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，那么系數(shù)可以恣意選取，總可滿足時(shí)，那么系數(shù)可以恣意選取，總可滿足 。04多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，那么系數(shù)須滿足一定條件，才干滿足時(shí)，那么系數(shù)須滿足一定條件，才干滿足 。04多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 越高，那么系數(shù)間需滿足的條件越越高，那么系數(shù)間需滿足的條件越多。多。2 一次多項(xiàng)式，對應(yīng)于無膂力和無應(yīng)力形狀；恣意應(yīng)力函數(shù)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)于無膂力和無應(yīng)力形狀；恣意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。二次

9、多項(xiàng)式，對應(yīng)均勻應(yīng)力形狀，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，二次多項(xiàng)式，對應(yīng)均勻應(yīng)力形狀，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。3 4 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法的方法 逆解法只能處理簡單直逆解法只能處理簡單直線應(yīng)力邊境問題。線應(yīng)力邊境問題。按應(yīng)力求解平面問題，其根本未知量為：按應(yīng)力求解平面問題，其根本未知量為： ，本節(jié)闡明，本節(jié)闡明如何由如何由 求出形變分量、位移分量？求出形變分量、位移分量？xyyx,xyyx,問題：問題：3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出以純彎曲梁為例，闡明如何由以純彎曲梁為例，闡明如何由 求出形變分量

10、、位移分量？求出形變分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM1. 形變分量與位移分量形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：12/3hMyyIMx0 xy0y平面應(yīng)力情況下的物理方程：平面應(yīng)力情況下的物理方程：1形變分量形變分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)將式將式a代入得：代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)2位移分量位移分量將式將式b代入幾何方程得：代入幾何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)2位移分量位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)將式將式c前兩式積分，得：前兩式積分，得：)(222x

11、fyEIMv)(1yfxyEIMu(d)將式將式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：)(),(21xfyf式中：式中：為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：0)()(21xfyfxEIM僅為僅為 x 的函數(shù)的函數(shù)僅為僅為 y 的函數(shù)的函數(shù)要使上式成立，須有要使上式成立，須有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：式中：為常數(shù)。為常數(shù)。 積分上式，得積分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf將上式代入式將上式代入式d，得，得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)1(f)討論：討論：式中：式中：u0、v0、 由位移邊境

12、條件確定。由位移邊境條件確定。常數(shù)00 xEIMyuxx當(dāng)當(dāng) x = x0 =常數(shù)常數(shù)xEIMyu2位移分量位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx闡明：闡明： 同一截面上的各鉛垂同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角一樣。線段轉(zhuǎn)角一樣。橫截面堅(jiān)持平面橫截面堅(jiān)持平面 材力中“平面堅(jiān)持平面的假設(shè)成立。2常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對將下式中的第二式對 x 求二階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)：0uyxyEIMu闡明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲闡明：在微小位移下，

13、梁縱向纖維的曲率一樣。即率一樣。即EIMxv221 資料力學(xué)中撓曲線微分方程資料力學(xué)中撓曲線微分方程2. 位移邊境條件的利用位移邊境條件的利用1兩端簡支兩端簡支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其邊境條件：其邊境條件：000yxu000yxv將其代入將其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回將其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力中結(jié)果一樣與材力中結(jié)果一樣00ylxv2懸臂梁懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEI

14、Mu(f)邊境條件邊境條件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式由式f可知，此邊境條件無法滿足。可知，此邊境條件無法滿足。邊境條件改寫為：邊境條件改寫為：0, 000ylxylxvu中點(diǎn)不動(dòng)中點(diǎn)不動(dòng)00ylxxv軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)代入式代入式f，有，有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2撓曲線方程：撓曲線方程：20)(2|xlEIMvy與資料力學(xué)中結(jié)果一樣與資料力學(xué)中結(jié)果一樣闡明：闡明： 1求位移的過程：求

15、位移的過程：a將應(yīng)力分量代入物理方程將應(yīng)力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxyb再將應(yīng)變分量代入幾何方程再將應(yīng)變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvyc再利用位移邊境條件，確定常數(shù)。再利用位移邊境條件，確定常數(shù)。2假設(shè)為平面應(yīng)變問題，那么將資料常數(shù)假設(shè)為平面應(yīng)變問題，那么將資料常數(shù)E、作相應(yīng)交作相應(yīng)交換。換。3假設(shè)取固定端邊境條件為：假設(shè)取固定端邊境條件為：h/2h/20, 000ylxylxvu中點(diǎn)不動(dòng)中點(diǎn)不動(dòng)00ylxyu中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求

16、得：00uEIMlv220EIMl此結(jié)果與前面情形一樣。此結(jié)果與前面情形一樣。為什么？為什么？1024422444yyxx(2-27)2xyyx,然后將然后將 代入式代入式2-26求出應(yīng)力分量：求出應(yīng)力分量：),(yx先由方程先由方程2-27求出應(yīng)力函數(shù)：求出應(yīng)力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)3再讓再讓 滿足應(yīng)力邊境條件和位移單值條件多連體問題。滿足應(yīng)力邊境條件和位移單值條件多連體問題。xyyx,04按應(yīng)力求解平面問題的根本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的根本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆逆解解法法1根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件幾何外形、

17、受力特點(diǎn)、邊境條件等，幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，假設(shè)各種滿足相容方程假設(shè)各種滿足相容方程2-27的的(x,y) 的方式；的方式；2然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式2-26，求出，求出 具有待具有待定系數(shù)；定系數(shù)；xyyx,3再利用應(yīng)力邊境條件式再利用應(yīng)力邊境條件式2-18，來調(diào)查這些應(yīng)力函數(shù)，來調(diào)查這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對對應(yīng)什么樣的邊境面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)什么樣的邊境面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。1根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分

18、應(yīng)力分量 的某種函數(shù)方式的某種函數(shù)方式 ；xyyx,2根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的方式；的方式；xyyx,043最后利用式最后利用式2-26計(jì)算出計(jì)算出 并讓其滿足邊境條件和并讓其滿足邊境條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學(xué)根底：數(shù)理方程中分別變量法。半逆解法的數(shù)學(xué)根底：數(shù)理方程中分別變量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：1將已求得的應(yīng)力分量將已求得的應(yīng)力分量23xyyx,代入物理方程，求得應(yīng)變分量代入物理方程，求得應(yīng)變分量xyyx,將應(yīng)變分量將應(yīng)變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移分量代入幾

19、何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；表達(dá)式；由位移邊境條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。由位移邊境條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。3-3 3-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷要點(diǎn)要點(diǎn) 用半逆解法求解梁、長板類平面問題。用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起擠壓應(yīng)力。引起擠壓應(yīng)力。又又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式

20、確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的方式：的方式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函數(shù)恣意的待定函數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函數(shù)恣意的待定函數(shù)(3) 由由 確定：確定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442

21、yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：方程的特點(diǎn)：關(guān)于關(guān)于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。內(nèi)方程均成立。由由“高等代數(shù)實(shí)際，須有高等代數(shù)實(shí)際，須有x 的一、二次的系數(shù)、自在項(xiàng)同時(shí)為零。即：的一、二次的系數(shù)、自在項(xiàng)同時(shí)為零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對前兩個(gè)方程積分：對前兩個(gè)方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此處略去了此處

22、略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)對第三個(gè)方程得：對第三個(gè)方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：積分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)將將(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有式中含有

23、9個(gè)待定常數(shù)。個(gè)待定常數(shù)。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 應(yīng)力分量確實(shí)定應(yīng)力分量確實(shí)定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊境條件的運(yùn)用對稱條件與邊境條件的運(yùn)用22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊境條件的運(yùn)用對稱條件與邊境條件的運(yùn)用1對稱條件

24、的運(yùn)用：對稱條件的運(yùn)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 對稱、幾何對稱：對稱、幾何對稱：yx, x 的偶函數(shù)的偶函數(shù)xy x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式對恣意的要使上式對恣意的 y 成立，須有：成立，須有：0GFExyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy2邊境條件的運(yùn)用：邊境條件的運(yùn)用：(a) 上下邊境主要邊境：上下邊境主要邊境：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA

25、0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入應(yīng)力公式代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2qKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右邊境次要邊境：左右邊境次要邊境：由于對稱，只思索右邊境即可。由于對稱，只思索右邊境即可。, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：靜力等效條件：軸力軸力 N = 0；彎矩彎矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022d

26、yNhhlxx022dyyMhhlxxKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可見，這一條件自動(dòng)滿足。可見，這一條件自動(dòng)滿足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)截

27、面上的應(yīng)力分布：截面上的應(yīng)力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次拋物線三次拋物線q22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 與資料力學(xué)結(jié)果比較與資料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 與資料力學(xué)結(jié)果比較與資料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：截面寬：b=1 ,3121hI截面慣矩：截面慣矩：靜矩：靜矩：2822yhS彎矩：彎矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ將其代入式將其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx

28、22112hyhyqybIQSxy3-6xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy3-6比較，得：比較，得：1xxy第一項(xiàng)與材力結(jié)果一樣，為主要項(xiàng)。第一項(xiàng)與材力結(jié)果一樣，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)?shù)诙?xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng) h / l1，該，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時(shí)，較大時(shí)，須修正。須修正。2y為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不思索。中不思索。3與材力中一樣。與材力中一樣。留意：留意：按式按式3-6，梁的左右，梁的左右邊境存在程度面力：邊境存在程度面力：lxxX53422hyhy

29、q闡明式闡明式3-6在兩端不在兩端不適用。適用。解題步驟小結(jié)：解題步驟小結(jié)：123根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)面力分布規(guī)根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)面力分布規(guī)律、對稱性等，估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量律、對稱性等，估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量 的變化方的變化方式。式。xyyx,由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式的關(guān)系式2-26，求得應(yīng)，求得應(yīng)力函數(shù)力函數(shù) 的詳細(xì)方式具有待定函數(shù)。的詳細(xì)方式具有待定函數(shù)。xyyx,),(yx),(yx45將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程：代入相容方程： 確確定定 中的待定函數(shù)方式。中的待定函數(shù)方式。),(yx04),(yx

30、由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式的關(guān)系式2-26，求得應(yīng)，求得應(yīng)力分量力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由邊境條件確定由邊境條件確定 中的待定常數(shù)。中的待定常數(shù)。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的根本步驟：用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的根本步驟：應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的根本步驟：應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的根本步驟：1024422444yyxx(2-27)2xyyx,然后將然后將 代入式代入式2-26求出應(yīng)力分量：求出應(yīng)力分量：),(yx先由方程先由方程2-27求出應(yīng)力函數(shù)：求出應(yīng)力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)3再讓

31、再讓 滿足應(yīng)力邊境條件和位移單值條件多連體問題。滿足應(yīng)力邊境條件和位移單值條件多連體問題。xyyx,04求解方法：求解方法：逆逆解解法法1根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，假設(shè)各種滿足相容方程假設(shè)各種滿足相容方程2-27的的(x,y) 的方式；的方式；2然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式2-26，求出，求出 具有待具有待定系數(shù)；定系數(shù)；xyyx,3再利用應(yīng)力邊境條件式再利用應(yīng)力邊境條件式2-18，來調(diào)查這些應(yīng)力函數(shù)，來調(diào)查這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對對應(yīng)什么樣的邊境面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)什么樣的邊境面力問題，從而得知所

32、設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。 半逆解法的數(shù)學(xué)根底：數(shù)理方程中分別變量法。半逆解法的數(shù)學(xué)根底：數(shù)理方程中分別變量法。1根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，幾何外形、受力特點(diǎn)、邊境條件等，假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)方式的某種函數(shù)方式 ；xyyx,2根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的方式；的方式；xyyx,043最后利用式最后利用式2-26計(jì)算出計(jì)算出 并讓其滿足邊境條件和并讓其滿足邊境條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx,半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：1將已

33、求得的應(yīng)力分量將已求得的應(yīng)力分量23xyyx,代入物理方程，求得應(yīng)變分量代入物理方程，求得應(yīng)變分量xyyx,將應(yīng)變分量將應(yīng)變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；表達(dá)式；由位移邊境條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。由位移邊境條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。1. 應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起擠壓應(yīng)力。引起擠壓應(yīng)力。又又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由

34、應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的方式：的方式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函數(shù)恣意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)442244442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yfxyllqlql1yzh/2h/

35、2q2. 應(yīng)力分量確實(shí)定應(yīng)力分量確實(shí)定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyyxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)DCyByAy233. 由邊境條件確定待定常數(shù)由邊境條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q附：附：應(yīng)力函數(shù)確定的應(yīng)力函數(shù)確定的“資料力學(xué)方法資料力學(xué)方法要點(diǎn)：要點(diǎn)：利用資料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)利用資料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)方式。應(yīng)力分量的函數(shù)方式。適用性：適用性：直梁、長板條等受延續(xù)分布面力、桿端集中直梁、長板條等受延續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。

36、力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋簯?yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋?()(),(ygxfyx設(shè)法由邊境面力先確定設(shè)法由邊境面力先確定 其中之一，然后將其其中之一，然后將其代入代入 確定另外一個(gè)函數(shù)。確定另外一個(gè)函數(shù)。)()(ygxf或04材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：)()(2yfxQxy)()(1yfxMx式中：式中： M(x) 彎矩方程；Q(x) 剪力方程。當(dāng)有橫向分布力當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，y同時(shí)，橫向分布力同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對軸向應(yīng)力的擠壓作用時(shí)，對軸向應(yīng)力 也也產(chǎn)生影響

37、。產(chǎn)生影響。x應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy思索擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致思索擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04確定應(yīng)力函數(shù)確定應(yīng)力函數(shù) 的詳細(xì)方式。的詳細(xì)方式。例：例：懸臂梁，厚度為單位懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：解：(1) 應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定應(yīng)力函數(shù)確實(shí)定xQM取恣意截面，其內(nèi)力如圖：取恣意截面，其內(nèi)力如圖：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取取 作為分析對象，可假設(shè)：作為分析對象，可假

38、設(shè)：xy)()()(ybfyfxQxya f(y)為待定函數(shù)為待定函數(shù)xy由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：的關(guān)系，有：)(2ybfyxb對對 x 積分一次，有：積分一次，有：對對 y 再積分一次，有：再積分一次，有：)()()(321xfyfybxf)()(0yfybxfy其中：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1cxyOblxQM)()()(321xfyfybxfc04由由 確定待定函數(shù)：確定待定函數(shù)：024422444yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxfd要使上式對恣意的要使上式對恣意的x，y成立，有成立，有0)()()4(3)4(2xfy

39、f0)()4(1yfef由式由式 e求得求得CyByAyyf231)(g由式由式 f得得)()4(3xf)()4(2yfhi積分式積分式 h和和i得得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyfjkxyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊境條件確定。個(gè)待定常數(shù)，由邊境條件確定。(2) 應(yīng)力分量確實(shí)定應(yīng)力分量確實(shí)定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用邊境條件確定常數(shù)利用邊境條件確

40、定常數(shù)xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用邊境條件確定常數(shù)利用邊境條件確定常數(shù)22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可確定常數(shù)為：代入可確定常數(shù)為：0222CBA0111CBABAbC1代入式代入式m得得xyOblxQMxy0 x0yxy注：注：也可利用也可利用 Mx= 0，思索，思索0)()(yfxMx進(jìn)展分析。此時(shí)有：進(jìn)展分析。此時(shí)有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf為待定函數(shù)，由相容方程確定。為待定函數(shù)

41、，由相容方程確定。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：剪力：可假設(shè)剪應(yīng)力：可假設(shè)剪應(yīng)力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy3-4 3-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力要點(diǎn)要點(diǎn)半逆解法因次或量綱分析法半逆解法因次或量綱分析法ggxyO問題的提法：問題的提法：楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面受水壓作用：g)m/N(3水的容重；水的容重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形體的容重；楔形體的容重；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 xyyx,1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1) 分析：分析：(a),

42、gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的方式應(yīng)為：的方式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxaxgggyxyO(2) 應(yīng)力分量應(yīng)力分量3223eycxyybxax思索到：思索到：X = 0，Y = 常膂力常膂力gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2. 邊境條件的利用邊境條件的利用(1) x=

43、0 應(yīng)力邊境：應(yīng)力邊境：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式代入式a，那么應(yīng)力分量為：，那么應(yīng)力分量為：gggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) 應(yīng)力邊境：應(yīng)力邊境： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中：其中：sin將將(b)代入，有代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：代入，可求得：gggyxyObxxy2g

44、yxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式代入式b，有：，有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)xyx)(y)( 李維李維Levy解答解答沿程度方向的應(yīng)力分布沿程度方向的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比較：與材力結(jié)果比較：xyxy 沿程度方向不變，在材力中無法求得。沿程度方向不變，在材力中無法求得。 沿程度方向線性分布，與材力中偏心受壓沿程度方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果一樣。公式算得結(jié)果一樣。 沿程度方向線性分布，材力中為拋物線分布。沿程度方向線性分布，材力中為拋物線分布。gyxyggxggy)cot()cot2c

45、ot(232cotgxyxxy(3-7) 李維李維Levy解答解答gggyxyOxyx)(y)(沿程度方向的應(yīng)力分布沿程度方向的應(yīng)力分布結(jié)果的適用性：結(jié)果的適用性：1當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。差較大。2假定壩下端無限延伸，可自在假定壩下端無限延伸，可自在變形。而實(shí)踐壩高有限，底部變形。而實(shí)踐壩高有限，底部與根底相連，有地基約束，故與根底相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。底部處結(jié)果誤差較大。3實(shí)踐壩頂非尖頂，壩頂處有其它實(shí)踐壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。 三角形重

46、力壩的準(zhǔn)確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。三角形重力壩的準(zhǔn)確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程運(yùn)用：工程運(yùn)用： 求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度 ，稱為安息角。，稱為安息角。因次分析法量綱分析法：因次分析法量綱分析法：ggxyO楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面受水壓作用：g)m/N(3水的溶重；水的溶重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形體的溶重；楔形體的溶重；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 xyyx,分析思緒：分析思緒：(a),gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的方式應(yīng)為：的方式應(yīng)為：xgygxgygx,的線

47、性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxax平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的直角坐標(biāo)解答一、多項(xiàng)式解答一、多項(xiàng)式解答逆解法逆解法二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy思索擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致思索擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04確定應(yīng)力函數(shù)確定應(yīng)力函數(shù)

48、的詳細(xì)方式。的詳細(xì)方式。三、三角形板、楔形體的求解方法三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法量綱分析法：因次分析法量綱分析法：ggxyO楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面受水壓作用：g)m/N(3水的溶重；水的溶重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形體的溶重；楔形體的溶重；分析思緒：分析思緒：(a),gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的方式應(yīng)為：的方式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可

49、假設(shè)為：3223eycxyybxax例：例：圖示矩形板，長為圖示矩形板，長為 l ，高為，高為 h ，膂力不計(jì)，膂力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能處理什試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能處理什么問題。式中么問題。式中k、q為常數(shù)。為常數(shù)。xyOlhhkxyhkxy23233解：解：(1) 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：32212hkxyx022xyhkhkyyxxy236322邊境條件：邊境條件：02326322hkhhkhyxy02hyy顯然，上下邊境無面力作用。顯然，上下邊境無面力作用。上下邊境上下邊境(2)xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhh

50、xdyhkxyydy左邊境左邊境223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右邊境右邊境: lx 01222322hhhhxdyhklydy22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhhklykl223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl結(jié)論：可處理懸臂梁左端結(jié)論：可處理懸臂梁左端受集中力問題。受集中力問題。例：例：圖示矩形截面簡支梁，長為圖示矩形截面簡支梁，長為 l ，高為，高為 h ，受，受有三角形分布載荷作用，膂力不計(jì)。試求其有三角形分布載荷作用，膂力不計(jì)。試求其應(yīng)力分布。應(yīng)力分布。解：解

51、：1應(yīng)力函數(shù)方式確實(shí)定應(yīng)力函數(shù)方式確實(shí)定梁截面上彎矩和剪力為：梁截面上彎矩和剪力為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxylxqxM3)(30lxqxQ2)(20lxqxq0)(由資料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分別變量方式：由資料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分別變量方式：)()(320130yflxqyflxq)(30yflxq)(2420yflxq取應(yīng)力分量取應(yīng)力分量 分析，分析，y取應(yīng)力分量取應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：y22xy)(10yflxq對此式積分：對此式積分：22xy)(10yflxq對此式積分：對此式積分：)()(210y

52、fdxyflxqx)()(22120yfyflxq)()()(3210yfdxyfdxyflxq )()()(232120yfdxyfyflxq)()()(632130yfyxfyflxq為待定函數(shù)為待定函數(shù))(),(),(321yfyfyf2由相容方程確定待定函數(shù)由相容方程確定待定函數(shù)044x)()()(6)4(3)4(2)4(13044yfyxfyflxqy)(22)2(10224yflxqyx代入代入024422444yyxx0)()(2)()(6)4(310)4(2)4(130yfyflxqyxfyflxq0)()(2)()(6)4(3)2(10)4(2)4(130yfyflqyfxy

53、flxq要使上述方程對恣意的要使上述方程對恣意的 x 成立，有成立，有0)()4(1yf0)(2)(210)4(2yflqyf0)()4(3yf)()()(632130yfyxfyflxq(a)(b)(c)積分式積分式a，得，得DCyByAyyf231)(將上式代入將上式代入b積分，得積分，得GyFyyEyByAlqyf2345023610)(積分式積分式c，得，得233)(KyHyyf(d)(e)(f)將求得的將求得的)(),(),(321yfyfyf代入應(yīng)力函數(shù)，有代入應(yīng)力函數(shù)，有3計(jì)算應(yīng)力分量計(jì)算應(yīng)力分量22yxBAylxq26630FEyByAylxq2222230KHy2622xyD

54、CyByAylxq230yxxy2CByAylxq232220GFyEyByAylq23222340GyFyyEyByAlxq234503610DCyByAylxq2330623KyHy (g)(h)3利用邊境條件確定待定常數(shù)利用邊境條件確定待定常數(shù)上邊境：上邊境：2hy xlqy00 xyDhChBhAlxq222230CBhhAlxq2202320412322340GFhEhBhAhlq124823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEhBhAh(i)(j)(k)下邊境：下邊境：2hy 0y0 xy024823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEh

55、BhAh(l)(m)(n)左邊境：左邊境：0 x0220hhxxdy0220hhxxydy0220hhxxydy0)26(22hhdyKHy0)26(222hhdyKyHy02322222340dyGFyEyByAylqhh左邊境：左邊境：lx 022hhlxxdyMydyhhlxx22620lqQdyhhlxxy2220lq(o)(p)(q)(r)(s)(t)聯(lián)立求解式聯(lián)立求解式it,可得詳細(xì)的可得詳細(xì)的應(yīng)力分量。應(yīng)力分量。注：位移邊境條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊境條件。注：位移邊境條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊境條件。12試按資料力學(xué)中確定應(yīng)力的方法，寫出試按資料力學(xué)中確定應(yīng)力的方法，寫出圖示兩梁一切應(yīng)力分量方式。

56、含有待定函圖示兩梁一切應(yīng)力分量方式。含有待定函數(shù)數(shù)課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：3-5 3-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答問題的提出問題的提出多項(xiàng)式解答：多項(xiàng)式解答： 只能求解載荷簡單，且延續(xù)分布的問題。只能求解載荷簡單，且延續(xù)分布的問題。不能求解載荷復(fù)雜，且延續(xù)分布的問題。不能求解載荷復(fù)雜，且延續(xù)分布的問題。級數(shù)式解答：級數(shù)式解答：),(yx其根本思緒是將應(yīng)力函數(shù)其根本思緒是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于分解成關(guān)于 xy 的的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積。兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積。 分別變量法。分別變量法。屬逆解法屬逆解法1. 級數(shù)方式的應(yīng)力函數(shù)級數(shù)方式的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：假設(shè)：)(sin),(yfxyx(a)式中：式中：為恣意常

57、數(shù)，其量綱為為恣意常數(shù)，其量綱為 ,1長度)(yf為為 y 的恣意待定函數(shù)。的恣意待定函數(shù)。)(sin)2(2224yfxyx)(sin444yfxx)(sin)4(44yfxy將其代入將其代入 ：04載荷復(fù)雜，且延續(xù)分布的問題，可由級數(shù)式解答處理。載荷復(fù)雜，且延續(xù)分布的問題，可由級數(shù)式解答處理。有：有：)(cos),(1yfxyx442244442yyxx)(sin)(sin2)(sin)4()2(24yfxyfxyfx0)()(2)(sin4)2(2)4(yfyfyfx(b)解上述方程，得解上述方程，得0)()(2)(4)2(2)4(yfyfyf其中：其中：A、B、C、D 都是恣意常數(shù)，都

58、是恣意常數(shù)， 將其代入應(yīng)力函數(shù)將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得，得ychyshyBchysh)(DyCyAyf(c)再取如下應(yīng)力函數(shù)：再取如下應(yīng)力函數(shù)：y)chyshyBchysh(sin),(DyCyAxyx式中：式中：也為恣意常數(shù)也為恣意常數(shù) ,為為 y 的恣意待定函數(shù)。的恣意待定函數(shù)。)(1yf類似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：類似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：(d)顯然，將式顯然，將式(c) 與與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：)chshchsh(cos),(yyDyyCyByAxyx1)chshchsh(cosmmmmmmmmmmyyDyyCyByAx)c

59、hshchsh(sin),(yDyyCyyByAxyx(e)取取 和和 的一系列值，即?。旱囊幌盗兄?，即?。簃,m)(m將由此構(gòu)成的將由此構(gòu)成的 加起來，有加起來，有),(yx)chshchsh(cosyyDyyCyByAx1)chshchsh(sinmmmmmmmmmmyyDyyCyByA(3-8)顯然，式顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加假設(shè)干個(gè)滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。再加假設(shè)干個(gè)滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。2. 級數(shù)方式的應(yīng)力分量級數(shù)方式的應(yīng)力分量將上述應(yīng)力函數(shù)將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表

60、達(dá)式代入應(yīng)力分量表達(dá)式2-26，有，有),(yx12ch)2(sh)2(cosmmmmmmmmmmmyCByDAx1222ch)2(sh)2(sinmmmmmmmmmmmxyCByDAxyyyDyyCmmmmchshyyDyyCmmmmchsh122myx12mxyyx(3-9) 式式3-9滿足相容方程、平衡方程，滿足相容方程、平衡方程，只需適中選取：只需適中選?。?mmmmmmmmmmDCBADCBA,;,使其滿足邊境條件，即為某問題的解。使其滿足邊境條件，即為某問題的解。3-6 3-6 簡支梁受恣意橫向載荷簡支梁受恣意橫向載荷邊境條件邊境條件1. 邊境條件的級數(shù)表示邊境條件的級數(shù)表示上下邊