2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試重慶卷

1、2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)共5頁。滿分150分。考試時間120分鐘。注意事項：1答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂 黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題 卡規(guī)定的位置上。4所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。5考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回。參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)二P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨立，那么P(A B

2、)=P(A) P(B)如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是 P,那么n次獨立重復(fù)試驗中 恰好發(fā)生k次的概率Pn(K)=kmPk(1-P)n_k以R為半徑的球的體積V=4 n R3.3一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題 給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)復(fù)數(shù) 1+2二i(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3設(shè)m,n是整數(shù)，則“ m,n均為偶數(shù)”是“ m+n是偶數(shù)”的(A) 充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件圓Oi：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是(A)相離(B)相交(C)

3、外切(D)內(nèi) 切已知函數(shù)y= 1=x 、x3的最大值為M,最小值為m,則的值為M(A”(B)1(C)彳 (D)于(5) 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,a2),則P(3) =11 1 1(A)|(B);(C)1(D)f(6) 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意X1M R有f(X1+X2)=f( X1 )+f(X2)+1,則下列說法一定正確的是(A)f(x)為奇函數(shù)(C) f(x)+1為奇函數(shù)(B) f(x)為偶函數(shù)(D)f(x)+1為偶函數(shù)(7) 若過兩點P1(-1,2),P2(5,6)的直線與x軸相交于點P,則點P分有向 線段屜所成的比的值為1 111(A) - 3(B) - 5(C)

4、5(D) 135532 2(8) 已知雙曲線 務(wù)-占=1 (a>0,b>0)的一條漸近線為y=kx(k>0),離a b心率e= . 5k，則雙曲線方程為2X2 a2(B)%a5a2=1(C)4b22b-12(D)話5b2 y b2(9) 如題(9)圖，體積為V的大球內(nèi)有4個小球, 每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只 有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中 心的正方形的4個頂點.Vi為小球相交部分(圖中 陰影部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則F列關(guān)系中正確的是(A) Vi>V(B) V2<2 2(C) Vi> V2( D)V

5、產(chǎn) V2(10)函數(shù) f(x)=(0 _x _2二)的值域是sin x -1(B)-1,0(D)3,0(A)-子,0(C) - .2,0二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上(11)設(shè)集合U=1,2,3,4,5, A=2,4,B=3,4,5,C=3,4,則(A 一 B) - (eU C)(12)已知函數(shù)f(x)= 2：-2cos x - 2sin x(當(dāng)x：°時)，在點x=0處連續(xù)，則a(當(dāng) x =0時)an21lxma2 n2 + n2 4(13)已知 a3 二一 (a>0)，則 log2a =93(14) 設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項和

6、，a12=-8,S 9=-9,則Sw二(15) 直線I與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于兩點A, B，弦AB的中(16) 某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如題(16)圖所示的6個點A、B、C、Ai、Bi、Ci上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種(用數(shù)字作答).三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.(17) (本小題滿分13分，(I)小問6分，(H)小問7分)設(shè)L ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a,b,c,且A= 60 , c=3b.求：(I) a的值

7、；c(H) cotB+cot C 的值.(18) (本小題滿分13分，(I)小問5分，(H)小問8分.)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加 而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打 滿6局時停止設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為 丄，且各局勝負(fù)相互2獨立求：(I)打滿3局比賽還未停止的概率；(H)比賽停止時已打局?jǐn)?shù) 的分別列與期望E .(19) (本小題滿分13分，(I)小問6分，(H)小問7分.)如題(19)圖，在L ABC中，B= 90 ,AC=15,D、E兩點分別在 AB、AC上.使ADA

8、EDB EC= 2,DE=3.現(xiàn)將L ABC沿DE折成直二角角，求:(I)異面直線AD與BC的距離;(H)二面角A-EC-B的大小(用反三角函數(shù)表示)(20) (本小題滿分13分.(I)小問5分.(H)小問8分.)設(shè)函數(shù) f (x) =ax2+bx + c(aM0),曲線 y=f(x)通過點(0, 2a+3),且在點(-1, f (-1)處的切線垂直于y軸.(I)用a分別表示b和c;(H)當(dāng)bc取得最小值時，求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.(21) (本小題滿分12分，(I)小問5分，(H)小問7分.)如圖(21)圖，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的兩點，動點 P 滿

9、足：PM +PN =6.BB(I)求點P的軌跡方程；(H)若PM PN =2，求點P的坐標(biāo).1 cosNMPN(22) (本小題滿分12分，(I)小問5分，(H)小問7分.)3設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 佝滿足印=2,an爲(wèi)aa 2(n N*).(I)若a-，求as, d，并猜想a2008的值(不需證明)；4(H)記bn =a1a2.an( n N*),若bn_2,2對n2恒成立，求a?的值及數(shù)列bn的通項公式.sin BsinC的結(jié)論得sin Asin BsinC sin2in A bc 37c214_ 3314、392008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一、選

10、擇題每小題5分，滿分50分.(1) A(2)A(3)B(4)C(5) D(7) A(8)C(9)D(10)B二、填空題每小題4分，滿分24分.(11)2,(12)1(13) 3(14) -72(15)3三、解答題滿分76分.（17）（本小題13分）(6) C解：（I）由余弦定理得2 2 2a= b c 2bcosAx-y+1=0(16) 21629c,=(1 c)2 ci_-cJc_A -7332(n)解法一：cot B - cotCcosBsinC cosC sin Bsin Bsin C =sin(B +C) sin A sin Bsin C由正弦定理和(I)143 故 cot B cot

11、C =-9解法二：由余弦定理及（I）的結(jié)論有2 2 2a +c bcosB2ac1*2；故 sin B = 1 - cos2 B(18)(本小題13分)2 2cosC 二 a7 2 1 2 22 -c 2ab12,7，1 282*7sinC 二 1cos C 二從而 cotB cotC =COSB sin Bsin C 3914“9解：令A(yù)k, Bk,Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知, 賽還未停止的概率為打滿3局比P(AC2B3)P(BC2A3)丄二1234的所有可能值為2，3，4，5,6,且111222111P( =3) = P3C

12、2C3) PgCs)廿224. 11P( =4H P3C2B3B4) PPGAsAr J c42 2P( =5) =P(AC2B3A4A5)P(BC2A3B4B5)P( =6) =P(AC2B3A4C5)P(BQ2A3B4C5)= 1P( =2)=p(aa) p®B2)8丄2512 2116丄16故有分布列1 116 16(19)(本小題解法一:“ 1 1從而E =234241 5丄6丄8 16 1647 (局)1613 分)AD(I)在答(19)圖1中，因一一DB，故 BE/ BC.又因 B= 90°,CE從而AD 丄 DE.在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，

13、AD丄DE,故AD丄底面DBCE，從而AD丄DB.而DB丄BC,故DB為異面直線 AD與BC的公垂線.ADAEDE AD 2下求DB之長.在答（19）圖1中，由二竺=2,得竺二竺二蘭CBBCBC AB 339又已知DE=3,從而BCDE .2 2AB 二AC2 -BC2I =6.因 DB =1,故 DB = 2.AB 3（n）在第（19）圖2中，過D作DF丄CE,交CE的延長線于F，連接AF.由（1）知, AD丄底面DBCE,由三垂線定理知 AF丄FC,故/ AFD為二面角 A-BC-B的平面 角.DEF= / BCE,=52，4在底面DBCE中，/DB =2,EC3 25DE=3,因此 si

14、n BCEEC從而在Rt DFE中，DF =DEsi nDEF= DEsin BCE=255在 Rt AFD 中，AD =4,tan AFD=5.DF 35 因此所求二面角 A-EC-B的大小為arctan.3解法二:（I）同解法一 的方向為X、（n）如答（19）圖3由（I）知，以 D點為坐標(biāo)原點,y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（ 0，0，0），A（ 0，0，4），f 9）C 2, ,0 ，E（ 0，3，0）.23AD= -2,- ,AD=( 0, 0,- 4).過 D 作 DF 丄 CE,交 CE 的延長線 I 2丿于F,連接AF.T設(shè) F(x), y0,0),從而 DF =(&#

15、171;0,0),EF =化,y°3,0).由 DF _ CE ,3DFLCE =0,即 2x0y0 =0.2又由cm,得爭心聯(lián)立、，解得X03625,y04836 48即 F .-, ,0 |，得 AF =25 I 25 25 丿V 25 25 丿因為 AFCCe二-36=Q故AF丄CE ,又因DF丄CE,所以卡二,0 ,有I 25 25 丿12,AD =4,所以 tan AFD =5DFDFA為所求的二面角 A-EC-B的平面角.因DF -5 因此所求二面角 A-EC-B的大小為arctan .解：（I ）因為f （x）（20）（本小題13分）二 ax2 bx c,所以f (x)

16、二 2ax b.又因為曲線y = f （x）通過點（0, 2a+3）故 f(0) =2a 3,而f (0) =c,從而c = 2a 3.又曲線y = f (x)在(-1 , f(-i)處的切線垂直于 y軸，故f (_1)=0,即-2 a+b=0,因此 b=2a3 9(n)由(i)得 bc=2a(2a 3)=4(a)2 - ,4 43 9故當(dāng)a 時，bc取得最小值-4 4此時有b = _?, c = 3.2 23 233.33從而 f (x) x x , f (x) x ,4 2222x 3 233xg(xH-f(x)c"=(3x”步,4223所以 g (x) = (f (x) - f

17、 (x)e=(x2-4)e4令 g(x) =0，解得 = -2,x2 =2.當(dāng) (-：，-2)時,g(x)：0,故g(x)在x (-：，-2)上為減函數(shù)；當(dāng)x (-2,2)時，g(x) 0,故g(x)在x (2,=)上為減函數(shù).當(dāng)x (2：)時，g(x)：0,故g(x)在x (2,二)上為減函數(shù).由此可見，函數(shù) g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,-2 ）和（2, +R）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-2 , 2）（21）（本小題12分）解：（I ）由橢圓的定義，點 P的軌跡是以 M N為焦點，長軸長2a=6的橢圓.因此半焦距c=2,長半軸a=3，從而短半軸b= . a2 _ c2 = 、5 ,2 2所以橢圓

18、的方程為11.95n )由 pm Lpn|21 一 cosMPNPM LPN cosMPN = PM JPN -2.因為cosMPN -1,P不為橢圓長軸頂點，故P、M N構(gòu)成三角形.在厶PMN中,MN=4,由余弦定理有MN2=PM2pn -2 PMLPN cosMPN .將代入,242 = PM故點p在以+ pn_2(PM|_P叫 2).M N為焦點，實軸長為 2J3的雙曲線 3一八上-由（I ）知，點p的坐標(biāo)又滿足2X 丿 + 92y =1，所以5由方程組5宀9八45,（X2 +3y2 =3.解得即P點坐標(biāo)為3.33、. 32 ，,3.3(v，（22）（本小題12分）解：（I ）因印=2,a2 =2 =故3"24a3 = aa22 ,3a4 二 a2a3 2 = 2-由此有印=22）t,a22（劉皚=2®,比=2®，故猜想an的通項為an(-2)n *=2()(n N ).（n）令xn =log2an,Sn表示人的前n項和，則0=2*由題設(shè)知xi=1且3*Xn Xn iXn 2(n N )；23Sn = X1 X2III Xn -