17.2勾股定理的逆定理(2)

1、117.2 勾股定理的逆定理(2)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能能運(yùn)用勾股定理的逆定理解決簡單的實(shí)際問題.二、過程與方法1經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的方法，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用章識(shí).2在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.3在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識(shí).三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1在用勾股定理的逆定理探索解決實(shí)際問題的過程中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.2在解決實(shí)際問題的過程中，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考問題的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn) 運(yùn)用勾股定理的

2、逆定理解決實(shí)際問題.教學(xué)難點(diǎn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.教具準(zhǔn)備多媒體課件.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課活動(dòng)1問題1:小紅和小軍周日去郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛得又高又遠(yuǎn)，他倆很想知道風(fēng)箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎？問題2:如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測(cè)正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.A1-B(1)你能替他想想辦法完成任務(wù)嗎？(2)李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？(3)小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢

3、？2設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)兩個(gè)實(shí)際問題的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到勾股定理和勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力.在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時(shí)，肯定要有一定的困難，教師要給學(xué)生充分的時(shí)間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑.師生行為：先由學(xué)生自主獨(dú)立思考，然后分組討論，交流各自的想法.教師應(yīng)深入到學(xué)生的討論中去，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師急時(shí)給予引導(dǎo).在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生，1能否獨(dú)立思考，尋找解決問題的途徑.2能否積極主動(dòng)地參加小組活動(dòng)，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法.3能否由此活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.生：對(duì)于問題1,我們組

4、是這樣考慮的：小紅拉著風(fēng)箏站在原地，小軍到風(fēng)箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風(fēng)箏小紅放線，使線端到達(dá)他所站的位置，然后在線端做一記號(hào)，最后收回風(fēng)箏，量出放出的風(fēng)箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點(diǎn)間的距離BC,禾U用勾股定理便可以求出AB的長度（如下圖所示）M風(fēng)竽）n，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)用勾股定理的逆定理，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第(3)題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認(rèn)識(shí)勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們?cè)谂袛嗳切蔚男螤顣r(shí)，就可以避開很麻煩的運(yùn)算.師生行為：先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后小組交流.教師應(yīng)巡視學(xué)生解決問題的過程，對(duì)成績較差的同

5、學(xué)給予指導(dǎo).在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：1能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。2能否發(fā)現(xiàn)問題，反思后及時(shí)糾正.3能否積極主動(dòng)地與同學(xué)交流意見.生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.解：(1)因?yàn)?52+82=225+64=289，172=289，4所以152+82=172,這個(gè)三角形是直角三角形.(2)因?yàn)?32+142=169+196=365152=225所以132+142工l5這個(gè)三角形不是直角三角形.生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是

6、直角三角形的三邊長.(3)證明：mn、m、n是正整數(shù)2 2 2 2 2(mn)+(m+n)=2m2mn,即(mn)+(m+n)2mn又因?yàn)?m2n2)+2mn=m2+n(2mn),而2mn=m+(mn)0,所以(m2n2)+2mnm2+n2這三條線段能組成三角形.又因?yàn)?m2n2)2=m4+n42m2n2(m2+n2)2=m4+n4+2m2n22 2 2(2mn)=4m n,所以(m2n2)2+(2mn)2=m4+n42m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=(m2+n2)2所以，此三角形是直角三角形，m2n2、2mn、m2+n2(mn、m、n是正整數(shù))這三邊是直角三角形的三邊.師：我們

7、把像15、& 7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m可取值的不同會(huì)得到不同的勾股數(shù)，例如m=2,n=1時(shí)，m2n2=2212=3,m2+n2=22+12=5,2mn=2X2X1=4，而3、4、5就是一組勾股 數(shù).你還能找到不同的勾股數(shù)嗎？生：當(dāng)m=3,n=2時(shí)，m2n2=3222=5,m2+n2=13,2mn=2X3X2=12，所以5、12、13也是一組勾 股數(shù)，當(dāng)m=4,n=2時(shí)，m2n2=4222=12,m2+n2=20,2mn=2X4X2=16,所以12、16、20也是一組勾股數(shù).5師：由此

8、我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個(gè)，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法.17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個(gè)問題的啟發(fā)下，想到了一個(gè)更一般的問題，1637年，他提出了數(shù)學(xué)史上的一個(gè)著名猜想一一費(fèi)馬大定理，即當(dāng)n2時(shí)，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xn+yn=zn成立，費(fèi)馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們圍繞著這個(gè)定理頑強(qiáng)地探索著，試圖來證明它.1995年，英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯終于證明了費(fèi)馬大定理，解開了這個(gè)困惑世間無數(shù)智 者300多年的謎.活動(dòng)3問題：例2遠(yuǎn)航”號(hào)，海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口， 各自沿一固定方向航行，遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,海天”號(hào)每小時(shí)航行12海

9、里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道 遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)勾股定理的逆定理在航海中的應(yīng)用，從而樹立遠(yuǎn)大理想，更進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，師生行為：教師先鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討淪，教師需巡視，對(duì)有困難的學(xué)生一個(gè)啟示，幫助 他們尋找解題的途徑.在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：1學(xué)生能否根據(jù)題意畫出圖形.2學(xué)生能否積極主動(dòng)地參與活動(dòng).3學(xué)生是否充滿信心解決問題.生：我們根據(jù)題意畫出圖形，（如下圖），可以看到，由于 遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道海天”號(hào)的航向了.解：根據(jù)題意畫出下圖%P

10、 / 6PQ=16 X1.5=24,PR=12 X1.5=18,QA=30.因?yàn)?42+182=302,即即PQ2+PR2=QR2所以/QPR=90由 遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，/QPS=45所以/RPS=45即 海天”號(hào)沿西北或東南方向航行.三、鞏固提高活動(dòng)4設(shè)計(jì)意圖: 進(jìn)一步熟練掌握勾股定理的逆定理的應(yīng)用.師生行為：由學(xué)生獨(dú)立完成后，由一個(gè)學(xué)生板演，教師講解.解：BC2+AB2=52+122=169,AC2=132=169,所以BC2+AB2=AC2,即卩BC的方向與BA方向成直角，/ABC=90C地應(yīng)在B地的正北方向.四、課時(shí)小結(jié) 活動(dòng)5問題：談?wù)勥@節(jié)課的收獲有哪些？掌握勾股定理及逆定

11、理，來解決簡單的應(yīng)用題，會(huì)判斷一個(gè)三角形是直角 三角形.設(shè)計(jì)意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì).師生行為：教師課前可準(zhǔn)備一組小卡片，卡片上寫上針對(duì)這節(jié)課內(nèi)容不同形式的小問題，請(qǐng)同學(xué)們抽簽回答.板書設(shè)計(jì)17.2勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理一實(shí)際問題(判定直角三角形的形狀)2勾股數(shù)組3.在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題:A、B、C地在B地的什么方向7活動(dòng)與探究1如下圖，在正方形ABCD中.E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CF=寸CD.求證：KEF是直角三角形.過程：要證AAEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要證AE2+EF2=AF2即可.利用代數(shù)方法(即勾股定理的逆定理)計(jì)算三角形的三邊長，看它們是否是勾股數(shù)，以判斷三角形是否是直角 三角形，這是解決幾何問題常用的方法之一.113結(jié)果：設(shè)正方形ABCD的